浙江省20届高考数学一轮 第4章 4.2 第2课时 导数与函数的极值、最值
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1、第 2 课时 导数与函数的极值、最值题型一 用导数求解函数极值问题命题点 1 根据函数图象判断极值例 1 设 f(x)是一个三次函数,f ( x)为其导函数,如图所示的是 yxf( x)的图象的一部分,则 f(x)的极大值与极小值分别是( )Af(2) 与 f(2) Bf (1)与 f(1)Cf(2) 与 f(2) Df (1)与 f(1)答案 A解析 由图象知,当 x0;当22 时,f(x)0.所以 f(x)在区间(,2)上为增函数,在区 间(2,2) 上为减函数,在区间(2,)上为增函数,所以 f(x)的极大值与极小值分别是 f(2)与 f(2)命题点 2 求函数的极值例 2 设函数 f(
2、x)ln(x1)a( x2x),其中 aR .讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由解 f(x) a(2 x1)1x 1 (x1)2ax2 ax a 1x 1令 g(x)2ax 2 axa1,x ( 1,) 当 a0 时,g(x )1,此时 f(x)0,函数 f(x)在( 1, ) 上单调递增,无极 值点当 a0 时,a 28a(1a) a(9a8) a当 0 时,0 ,89设方程 2ax2axa10 的两根为 x1,x2(x1 .12 14 14由 g(1) 10,可得10,f(x)0,函数 f(x)单调递增;当 x(x 1,x2)时,g(x )0,f(x)0,函数 f(x)单调递增因此
3、函数有两个极值点当 a0 ,由 g(1) 10,可得 x10,f(x)0,函数 f(x)单调递增;当 x(x 2,)时,g(x ) 时,函数 f(x)有两个极值点89命题点 3 根据极值求参数例 3 (1)函数 f(x)e xmx 21 在 x0 处的切线方程为_ ,若函数 f(x)有两个极值点,则实数 m 的取值范围为 _答案 xy20 (e2, )解析 f(x) e x2mx ,f(0)1, f(0)2,所以函数 f(x)在 x0 处的切线方程为 xy20.由题意可知,f(x)e x2mx0 有两个根,即 2m 有两个根记 g(x) ,则 g(x)exx exx,在(,0),(0,1) 上
4、,g( x)0.所以当 x0 时,g(x )0 且在(0,1)上单调递减,在 (1, )上单调递增,所以只需 2mg(1)e,故 m .e2(2)(2018金华十校期末考试)已知函数 f(x)x 32x 2ax1 在(1,1)上恰有一个极值点,则实数 a 的取值范围是_答案 1,7)解析 由题意可知 f(x )3x 24xa0 有两个不等根,其中一个在( 1,1)上,另一个不在该区间上因为导函数 f(x) 的对称轴是 x ,所以只能是一根在 上,另一根在23 ( 23,1)(,1 上,所以Error! 解得1a0,f(x)在 x1 处取到极小值故 选 C.(2)若函数 f(x) (12a)x2
5、ln x(a0)在区间 内有极大值,则 a 的取值范围是( )ax22 (12,1)A. B(1 ,)(1e, )C(1,2) D(2,)答案 C解析 f(x) ax(1 2a) (a0,x0),若 f(x)在区间 内有极大值,2x ax2 2a 1x 2x (12,1)即 f(x )0 在 内有解,且 f( x)在区间 内先大于 0,再小于 0,(12,1) (12,1)则Error! 即Error!解得 10,由 ke,则 x a,则实数 a 的取值范围x22是_答案 ( ,72)解析 由题意知,f(x)3x 2x2,令 f(x )0,得 3x2x20,解得 x1 或 x ,23又 f(1
6、) ,f ,f(1) ,f(2)7,72 ( 23) 15727 112故 f(x)min ,a0)的导函数 yf(x)的两个零点为3 和 0.ax2 bx cex(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)的极小值为 e3,求 f(x)在区间 5,)上的最大值解 (1)f(x) 2ax bex ax2 bx cexex2 . ax2 2a bx b cex令 g(x)ax 2(2 ab)xbc,因为 ex0,所以 yf(x) 的零点就是 g(x)ax 2(2 ab)xbc 的零点且 f(x) 与 g(x)符号相同又因为 a0,所以当30,即 f(x)0,当 x0 时,g(x )5f (0
7、),5e 5所以函数 f(x)在区间5,)上的最大值是 5e5.思维升华 (1)求极值、最 值时,要求步骤规范,含参数 时,要讨论参数的大小(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论(3)求函数在无穷区间(或开区 间)上的最值,不 仅要研究其极 值情况, 还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致 图象,然后借助 图象 观察得到函数的最值跟踪训练 3 已知函数 f(x)ax 32x 24x5,当 x 时,函数 f(x)有极值,则函数 f(x)在233,1上的最大值为_答案 13解析 f(x) 3ax 24x 4,由 f 0 可得 a1,经验证 f
8、为极值;(23) (23)f(x)x 32x 24x 5,f(x)3x 24x 4.令 f(x )0,解得 x2 或 x .23当 x 变化时,f( x),f(x)的取值及变化情况如表所示:x 3 (3,2) 2 ( 2,23) 23 (23,1) 1f(x ) 0 0 f(x) 8 13 9527 4函数 f(x)在3,1上的最大值为 13.利用导数求函数的最值例 (15 分) 已知函数 f(x)ln xax(aR )(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)当 a0 时,求函数 f(x)在1,2上的最小值规范解答 解 (1)f(x) a( x0),1x当 a0 时,f(x) a0,即函数 f
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