浙江省20届高考数学一轮 第3章 3.3 函数的奇偶性与周期性
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1、3.3 函数的奇偶性与周期性最新考纲 考情考向分析1.理解并会判断函数的奇偶性2.了解函数的周期性、最小正周期的含义.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主,常与函数的单调性、周期性交汇命题,加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识,题型以选择、填空题为主,中等偏上难度.1函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(x)f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴对称奇函数一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(x)f(x ),那么函数 f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数:对
2、于函数 yf(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(xT) f(x),那么就称函数 yf(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函数 f(x),g(x)的奇偶性,那么函数 f(x)g(x),f(x) g(x)的奇偶性有什么结论?提示 在函数 f(x),g(x)公共定义域内有:奇奇奇,偶偶偶,奇奇偶,偶偶偶,奇偶奇2已知函数 f(x)满足下列条件,你能得到什么结论?(1)f(xa) f( x)(a0)_ (2)f(x
3、a) (a0)_1fx(3)f(xa) f(xb)(ab)_ 提示 (1)T2|a| (2)T 2|a| (3)T|ab|题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)函数 yx 2,x (10,)是偶函数( )(2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点( )(3)若函数 yf(x a)是偶函数,则函数 yf (x)关于直线 xa 对称( )(4)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x),则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数( )(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( )(6)若 T 是函数的一个周期,则 nT(nZ,n0)
4、也是函数的周期 ( )题组二 教材改编2P39A 组 T6已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时,f(x) x(1x),则f(1)_.答案 2解析 f(1)122,又 f(x)为奇函数,f(1)f(1)2.3P45B 组 T4设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x1,1)时,f( x)Error!则 f_.(32)答案 1解析 f f 4 221.(32) ( 12) ( 12)4. P39A 组 T6设奇函数 f(x)的定义域为 5,5,若当 x0,5 时,f (x)的图象如图所示,则不等式 f(x)0 的解集为_答案 (2,0) (2,5解析 由题图可
5、知,当 0x 2 时,f (x)0;当 2x5 时,f(x)0,又 f(x)是奇函数, 当2x0 时,f( x)0,当5x0.综上,f(x) 0 的解集为(2,0)(2,5 题型一 判断函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x) ;3 x2 x2 3(2)f(x) ;lg1 x2|x 2| 2(3)f(x)Error!解 (1)由Error!得 x23,解得 x ,3即函数 f(x)的定义域为 , ,3 3f(x) 0.3 x2 x2 3f(x )f(x )且 f(x) f(x),函数 f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由Error!得定义域为(1,0)(0,1),关于原点对称x
6、20, |x2| 2x,f (x) .lg1 x2 x又f(x) f(x),lg1 x2x lg1 x2x函数 f(x)为奇函数(3)显然函数 f(x)的定义域为( , 0)(0,),关于原点对称当 x0 时, x0,则 f(x )(x) 2x x 2xf (x);当 x0 时, x0,则 f(x )(x) 2x x 2xf (x);综上可知,对于定义域内的任意 x,总有 f(x )f (x),函数 f(x)为奇函数思维升华 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称, 这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考 虑定义域;(2)判断 f(x)与 f(x)是否具有等量关
7、系在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f(x)f(x) 0(奇函数)或 f(x)f(x )0(偶函数)是否成立跟踪训练 1 (1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( )Ayxsin 2x Byx 2cos xCy 2x Dyx 2sin x12x答案 D解析 对于 A,f(x )xsin 2(x)(x sin 2x)f(x ),为奇函数;对于 B,f(x)(x )2cos(x)x 2cos xf(x),为偶函数;对于 C,f(x)2 x 2 x f(x),为偶函数;12 x 12x对于 D,yx 2sin x 既不是偶函数也不是奇函数,故 选 D.(2)已知函数
8、 f(x) ,g(x) ,则下列结论正确的是( )x2x 1 x2Ah(x)f(x) g(x)是偶函数Bh(x)f( x)g(x )是奇函数Ch(x)f( x)g(x)是奇函数Dh(x)f(x) g(x)是偶函数答案 A解析 易知 h(x)f(x)g(x) 的定义域为 x|x0因为 f(x) g(x) f (x)g(x ), x2 x 1 x2 x2x1 2x x2 x1 2x x1 2x x2 x2x 1 x2所以 h(x)f(x)g(x) 是偶函数故 选 A.题型二 函数的周期性及其应用1奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x1) 为偶函数,且 f(1)2,则 f(4)f(5) 的值为
9、( )A2 B1 C1 D2答案 A解析 f(x1)为偶函数,f(x 1)f(x 1),则 f( x)f (x2) ,又 yf(x) 为奇函数, 则 f(x)f(x)f(x2) ,且 f(0)0.从而 f(x4)f(x 2)f(x),y f(x) 的周期为 4.f(4)f(5)f(0) f(1)022.2已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)2 ,且对任意的 x 都有 f(x2) ,则 f(2 31 fx020)_.答案 2 3解析 由 f(x 2) ,得 f(x4) f (x),所以函数 f(x)的周期为 4,所以 f(2 020)1 fx 1 fx 2f(4)因为 f(22) ,
10、所以 f(4) 2 .故 f(2 020)2 .1 f2 1f2 12 3 3 33若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函数,且在0,2上的解析式为 f(x)Error!则 f f(294)_.(416)答案 516解析 由于函数 f(x)是周期为 4 的奇函数,所以 f f f f(294) (416) (24 34) (24 76)f f f f( 34) ( 76) (34) (76) sin .316 6 5164定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6) f (x),当3x f(2x1)成立的 x 的取值范围为11 x2_答案 (13,1)解析 由已知得函数 f(x)为偶函
11、数,所以 f(x)f (|x|),由 f(x)f(2x1),可得 f(|x|)f(|2x1|)当 x0 时,f(x) ln(1x) ,11 x2因为 yln(1 x)与 y 在(0 ,) 上都单调递增,所以函数 f(x)在(0 , ) 上单调递11 x2增由 f(|x|)f(|2x1|),可得|x |2x1| ,两边平方可得 x2(2x1) 2,整理得 3x24x10 B减函数且 f(x)0 D增函数且 f(x)0,又函数 f(x)为奇函数,(0,12 12log所以在区间 上函数也单调递增,且 f(x)0 时,x0 恒成立axy1 ,ax2令 y0 得 ax 2(x1),a1.又由当 x1
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