浙江省20届高考数学一轮 第2章 高考专题突破1
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1、高考专题突破一 高考中的不等式问题题型一 含参数不等式的解法例 1 解关于 x 的不等式 x2ax 10(a R)解 对于方程 x2ax 10,a 24.(1)当 0,即 a2 或 a3 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是_答案 (,4)(2 ,)解析 依题意得,|x1| xm| |(x1)( xm)|m1|,即函数 y|x1| xm|的最小值是|m 1|,于是有 |m1|3,m13,由此解得 m2.因此实数 m 的取值范围是(,4)(2 ,) 题型二 线性规划问题例 2 (2018浙江五校 联考)已知实数 x,y 满足约束条件Error!且 zaxy 的最大值为 16,则实数 a_,z
2、的最小值为_答案 2 1解析 如图,作出不等式组所表示的可行域 (ABC 及其内部区域)目标函数 zaxy 对应直线 axyz0 的斜率 k a.(1)当 k(,1,即a1, a1 时,目标函数在点 A 处取得最大值,由Error!解得 A(5,6),故 z 的最大值为 5a6,即 5a616,解得 a2.(2)当 k(1,),即a1,a0,yR ,则 xy 的最小值是( )A. B3 C1 D232答案 A解析 由 x24xy30,得 y ,3 x24x即有 xyx .3 x24x 34(x 1x)x0,x 2,即 xy ,1x 32当且仅当 x ,即 x1,y 时,xy 取得最小值 .1x
3、 12 32(2)已知 a0,b0,c 1,且 ab1,则 c 的最小值为_(a2 1ab 2) 2c 1答案 42 2解析 a2 1ab a2 a b2ab 2a2 2ab b2ab 22 22 2,2ab ba 2abba 2当且仅当Error!即Error! 时等号成立, c 2 c(a2 1ab 2) 2c 1 2 2c 12 (c1) 222c 1 22 2 42 ,22c 1 2c 1 2 2当且仅当 2 (c1) ,即 c1 时,等号成立22c 1 22综上,所求最小值为 42 .2思维升华 利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定 值,主
4、要思路有两种:对条件使用基本不等式,建立所求目标 函数的不等式求解 条件变 形,进行“1”的代换求目标函数最值(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法跟踪训练 3 (1)已知 xy1,且 0 ,22 2所以 x2y0. x2y 4,x2 4y2x 2y x 2y2 4xyx 2y 4x 2y当且仅当 x 1,y 时等号成立33 12(2)若实数 x,y 满足 x2y 2xy1,则 xy 的最大值是_答案 233解析 由 x2y 2xy1,得 1(xy
5、) 2xy,(xy) 21 xy1 ,x y24解得 x y (当且仅当 xy 时取得最大值) ,x y 的最大值为 .233 233 33 233题型四 绝对值不等式的应用例 4 (1)(2018浙江五校联考) 已知 aR ,则“a9”是 “2|x2|5 2x |1 B. 1a 1 1b 1Ca 3b3 Da|b|0答案 B解析 由 a0,所以(a1) ,故选 B.1a 1b 1 1a 1 1b 12(2018浙江绍兴一中期末) 若关于 x 的不等式|x2| xa|3,则实数 m 的取值范围是( )A(1,0) B(0,1)C(1,) D( ,1)答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域,如
6、 图中阴影部分所示 (包含边界),当目标函数zx2 y 经过直线 xm0 与 ym0 的交点时取得最大值,即 zmaxm2m3m,则根据题意有3m3,即 m0,b0)在该约束条件下取到最小值 2 时,a 2b 2 的最小值为( )5A5 B4 C. D25答案 B解析 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界) 所示,可知当目 标函数过直线xy10 与 2xy30 的交点 A(2,1)时取得最小值,所以有 2ab2 .因为 a2b 2 表5示原点(0,0)到点(a,b)的距离的平方,所以 的最小 值为原点到直线 2ab2 0 的a2 b2 5距离,即( )min 2,所以 a2b 2
7、的最小值是 4,故选 B.a2 b2| 25|22 128(2018嘉兴教学测试)若直线 axby1 与不等式组Error!表示的平面区域无公共点,则2a3b 的取值范围是( )A(7,1) B( 3,5)C(7,3) DR答案 C解析 不等式组Error!表示的平面区域是以 A(1,1),B(1,1),C (0, 1)为顶点的三角形区域(包含边界) ;因为直线 axby 1 与不等式组Error! 表示的平面区域无公共点,所以 a,b 满足Error!或Error! 故点(a, b)在如图所示的三角形区域( 除边界且除原点)内,所以 2a3b 的取值范围为(7,3),故选 C.9(2019诸
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