浙江省20届高考数学一轮 第2章 2.4 基本不等式及其应用
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1、2.4 基本不等式及其应用最新考纲 考情考向分析掌握基本不等式 (a,b0)及其应用.aba b2 理解基本不等式成立的条件,会利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查,加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识常在解答题中考查,难度为中档.1基本不等式: aba b2(1)基本不等式成立的条件:a0,b0 .(2)等号成立的条件:当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b 22ab(a,bR)(2) 2(a, b 同号)ba ab(3)ab 2 (a,bR)(a b2 )(4) 2 (a,bR)a2 b22 (a b2 )以上不等式等号成立的条件均为
2、ab.3算术平均数与几何平均数设 a0,b0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ,基本不等式可叙述为两个a b2 ab正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0,y0,则(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最 小值 2 .(简记:积定和最小)p(2)如果和 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最 大值 .(简记:和定积最大)p24概念方法微思考1若两个正数的和为定值,则这两个正数的积一定有最大值吗?提示 不一定若这两个正数能相等,则这两个数的积一定有最大值;若这两个正数不相等,则这两个正数的积无最大值2函数 y
3、x 的最小值是 2 吗?1x提示 不是因为函数 yx 的定义域是x| x0 ,当 x0 且 y0”是“ 2”的充要条件( )xy yx(3)(ab )24ab(a,bR)( )(4)若 a0,则 a3 的最小值为 2 .( )1a2 a(5)不等式 a2b 22ab 与 有相同的成立条件( )a b2 ab(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项( )题组二 教材改编2P100A 组 T1设 x0,y0,且 xy18,则 xy 的最大值为( )A80 B77 C81 D82答案 C解析 x0,y0 , ,x y2 xy即 xy 281,当且仅当 xy9 时, (xy)max81.(x y2
4、 )3P100A 组 T2若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_ m2.答案 25解析 设矩形的一边为 x m,面积为 y m2则另一边为 (202x)(10x)m,00”是“x 2 成立”的( )1xA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 当 x0 时,x 2 2.1x x1x因为 x, 同号,所以若 x 2,则 x0, 0,所以“x0”是“x 2 成立”的充要条件,1x 1x 1x 1x故选 C.5若正数 x,y 满足 3xy5xy,则 4x3y 的最小值是( )A2 B3 C4 D5答案 D解析 由 3xy 5xy
5、,得 5,3x yxy 3y 1x所以 4x3y(4x 3y )15(3y 1x)15(4 9 3yx 12xy) (492 )5,15 36当且仅当 ,即 y2x 时,等号成立,3yx 12xy故 4x3y 的最小值为 5.故选 D.6(2018温州市适应性考试) 已知 2a4 b2(a,bR),则 a2b 的最大值为_答案 0解析 因为 22 a4 b2 ,当且仅当 ab0 时等号成立,所以 a2b0,即 a2b2a 2b的最大值为 0.题型一 利用基本不等式求最值命题点 1 配凑法例 1 (1)已知 00 时,x (a0)的最小值为 3,则实数 a 的值为_ax 1答案 4解析 因为当
6、x0,a0 时,x x 1 12 1,当且仅当 x1 时,等ax 1 ax 1 a ax 1号成立,又 x (a0)的最小 值为 3,所以 2 13,解得 a4.ax 1 a命题点 2 常数代换法例 2 (2018浙江部分重点中学调研) 已知 a0,b0,且满足 a2b2.若不等式 abt(t2)ab1 恒成立,则实数 t 的取值范围是 _答案 ( ,94解析 因为对于任意的 a0,b0,a2b2,不等式 abt(t2)ab1 恒成立,即 t 恒成立因为 1 ,当且1a 2b 1 1a 2b 1 (1a 2b 1)(a4 b 12 ) 54 b 12a a2b 1 54 94仅当 ,即 ab1
7、 ,b 时,取到最小 值,所以 t .b 12a a2b 1 43 13 94命题点 3 消元法例 3 已知正实数 a,b 满足 a2b40,则 u ( )2a 3ba bA有最大值 B有最小值145 145C有最小值 3 D有最大值 3答案 B解析 a 2b40,b a24,aba 2a4.又a,b0, ,aa b aa2 a 4 ,aa b aa2 a 4u 3 32a 3ba b aa b aa2 a 43 3 ,1a 4a 112 a4a 1 145当且仅当 a2,b8 时取等号故选 B.思维升华 (1)前提:“一正” “二定” “三相等” (2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和
8、为常数的形式,然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法跟踪训练 1 (1)(2018杭州高级中学高考仿真测试)若正数 x,y 满足 x22xy 10,则 2xy的最小值是( )A. B. C. D.22 2 32 3答案 D解析 由 x22xy10,得 y ,所以 2xy2x x 12x x2 12x x2 32 12x 12 (3x 1x) ,当且仅当 3x ,即 x 时,等号成立,此时 y ,符合题意,所以 2xy 的最3x1x 3 1x 33 33小值为 ,故选 D.3(2)(2018浙江绍兴一中模拟)已知 x,y
9、0,且 xy ,则 的最小值是1x 12y 194 3x 716y_答案 14解析 因为 xy ,所以1x 12y 194 x y x y ,当且仅当 x ,y3x 716y 3x 716y 1x 12y 194 4x 116y 194 92 194 14 4x,即 x2,y 时,取等号116y 14题型二 基本不等式的综合应用命题点 1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例 4 在ABC 中,点 P 满足 2 ,过点 P 的直线与 AB,AC 所在直线分别交于点BP PC M,N,若 m , n (m0,n0),则 m2n 的最小值为 ( )AM AB AN AC A3 B4 C. D.83
10、 103答案 A解析 AP AB BP AB 23(AC AB ) ,13AB 23AC 13mAM 23nAN M,P,N 三点共线, 1,13m 23nm2n(m 2n)(13m 23n) 13 43 2n3m 2m3n 253 2n3m2m3n 3,53 43当且仅当 mn1 时等号成立命题点 2 求参数值或取值范围例 5 (2018杭州七校联考)设 x,y 是正实数,若不等式 a 恒成x4x y yx 4y xx 4y y4x y立,则实数 a 的值是_答案 25解析 令 t 0,则 yx x4x y yx 4y 14 yxyx1 4yx 14 t t1 4t 14 t 14 16t
11、14 ,当且 仅当 t1,即 xy4 16t 4 t4 t4 16t 14 15t16 68t 16t2 14 1516t 16t 68 14 15100 14 25时,取等号,所以 a .又 125 xx 4y y4x y 11 4yxyx4 yx 11 4t t4 t 11 4t 44 t11 1 1 ,当且 仅当 t1,即 xy 时,取4 t 4 16t1 4t4 t 15t4 17t 4t2 154t 4t 17 1525 25等号,所以 a .综上,a .25 25跟踪训练 2 (2018金华名校统练 )已知正实数 x,y 满足 xy0,xy20,若 m 2x 3y恒成立,则实数 m
12、 的取值范围是 _1x y答案 ( ,3 224 解析 2x 3y 1x y ( 2x 3y 1x y) 44 ( 2x 3y 1x y)(2x 2y4 ) (2x 3y 1x y)x 3y y x4 143 2x yx 3y x 3yx y ,14(3 2 2x yx 3yx 3yx y) 3 224当且仅当 xy2, 时取等号,2x yx 3y x 3yx y此时 x2 1,y32 ,符合题意,2 2所以 的最小值为 ,即 m .2x 3y 1x y 3 224 3 224利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学的 语言表达 问题,用数学的方法构建模型解决问题过程
13、主要包括:在实际 情景中从数学的视角发现问题 、提出 问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改 进模型,最 终解决 实际问题例 某厂家拟在 2019 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量( 即该厂的年产量)x万件与年促销费用 m 万元(m0) 满足 x3 (k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品km 1的年销售量只能是 1 万件已知 2019 年生产该产品的固定投入为 8 万元每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将 2019 年该产品的利润 y 万元
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