2020年数学中考总复习:正多边形与圆的有关的证明和计算含解析
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1、2020年中考总复习:正多边形与圆的有关的证明和计算【考纲要求】1了解正多边形的概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法;会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积;2结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养合情推理能力,发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力;通过这一章的学习,进一步培养综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】 【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念:(1) 正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距正多边形中心到正
2、多边形各边的距离.(正多边形内切圆的半径)(5)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系:(1)将一个圆n(n3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆. (3)把圆分成n(n3)等分,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.(4)任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.3、正多边形性质:(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中
3、心当边数是偶数时,它又是中心对称图形,它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比,边心距的比,半径的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方(4)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.要点诠释:(1)正n边形的有n个相等的外角,而正n边形的外角和为360度,所以正n边形每个外角的度数是;所以正n边形的中心角等于它的外角.(2)边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长(或半径、边心距)的比.面积比等于它们边长(或半径、边心距)平方的比.考点二、圆中有关计算1圆中有关计算圆的面积公式:,周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为,半径为R,弧长为的扇形的
4、面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为的圆柱的体积为,侧面积为,全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为,高为的圆锥的侧面积为,全面积为,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释:(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的,即;(2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点类似,可类比记忆;(4)扇形两个面积公式之间的联系:.【典型例题】类型一、正多边形有关
5、计算1如图是一个组合烟花的横截面,其中16个圆的半径相同,点ABCD分别是四个角上的圆的圆心,且四边形ABCD为正方形若圆的半径为r,组合烟花的高为h,则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要(接缝面积不计)()A26rh B24rh+rh C12rh+2rh D24rh+2rh【思路点拨】截面的周长等于12个圆的直径和1个半径为r的圆的周长的和,用周长乘以组合烟花的高即可【答案】D;【解析】解:由图形知,正方形ABCD的边长为6r,其周长为46r=24r,截面的周长为:24r+2r,组合烟花的侧面包装纸的面积为:(24r+2r)h=24rh+2rh故选D【总结升华】本题考查了相切两圆的性质及扇形的
6、面积的计算,解题的关键是判断组合烟花的截面.举一反三:【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地面的距离是_米【答案】. 解析:如图,以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C,所以ABAO1+O1C+BC【正多边形与圆的有关证明与计算 自主学习4】【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是_.【答案】【正多边形与圆的有关证明与计算 自主学习2】【变式3】正n边形的内切圆与外接圆的面积之比是()A. B. C. D. 【答案】B.类型二、正多边形与圆有关面积的计算2(1)如图(a),扇形OAB的圆心角为90,分别以OA,OB为直径在扇形内
7、作半圆,P和Q分别表示阴影部分的面积,那么P和Q的大小关系是( )APQ BPQ CPQ D无法确定 (2)如图(b),ABC为等腰直角三角形,AC3,以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D,则图中阴影部分的面积是_(3)如图(c),AOB中,OA3cm,OB1cm,将AOB绕点O逆时针旋转90到AOB,求AB扫过的区域(图中阴影部分)的面积(结果保留)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时,可采用和差法、转化法、方程法等,有时也需要运用变换的观点来解决问题【答案与解析】解:(1)阴影部分的面积直接求出十分困难,可利用几个图形面积的和差进行计算: ; (2)(转化法“凑整”)利用,
8、则阴影部分的面积可转化为ACD的面积,等于ABC面积的一半,答案为;(3)(旋转法)将图形ABM绕点O逆时针旋转到ABM位置,则【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法;(2)割补法;(3)旋转法;(4)拼凑法;(5)等积变形法;(6)构造方程法举一反三:【变式】如图,在ABC中,ABAC,AB8,BC12,分别以AB、AC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是( )A B C D【答案】 解:如图,由AB,AC为直径可得ADBC,则BDDC6在RtABD中, 答案选D.3如图所示,A是半径为2的O外一点,OA4,AB是O的切线,B为切点,弦BCOA,连AC,求阴影部分的面积【思路点拨】
9、图中的阴影是不规则图形,不易直接求出,如果连接OB、OC,由BCOA,根据同底等高的三角形面积相等,于是所求阴影可化为扇形OBC去求解【答案与解析】 解:如图所示,连OB、OC BCOA OBC和ABC同底等高, SABCSOBC, AB为O的切线, OBAB OA4,OB2, AOB60 BCOA, AOBOBC60 OBOC, OBC为正三角形 COB60, 【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形,在等积转化中可根据平移、旋转或轴对称等图形变换;可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化举一反三:【变式】如图所示,半圆的直径AB10,P为AB上一点,点C,D为半圆的三等
10、分点,则阴影部分的面积等于_ 【答案】解:连接OC、OD、CD C、D为半圆的三等分点, AOCCODDOB 又 OCOD, OCDODC60, DCAB, , 4如图所示,四边形OABC为菱形,点B、C在以点O为圆心的上,若OA1,12,则扇形OEF的面积为( ) A B C D【思路点拨】根据弧长公式面积公式,看已知什么条件,还缺什么条件,如何求出所缺条件【答案与解析】解:连接OB,由四边形OABC为菱形,可得OCCBOB, OBC为等边三角形, BOC60,同理AOB60,又12, 1+BOE2+BOEAOB60 EOF120, 扇形OEF中n120,R1 答案:C【总结升华】求弧长的有
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