2020年中考数学总复习：图形的变换学案含解析

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1、2020年中考总复习：图形的变换【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图

2、形的形状和大小【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据2平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确

3、表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据考点二、轴对称变换1轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2轴对称变换的性质关于直线对称的两个图形是全等图形.如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么

4、交点在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3轴对称作图步骤找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.考点三、旋转变换1旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.旋转作图步骤分析题目要

5、求，找出旋转中心，确定旋转角.分析所作图形，找出构成图形的关键点.沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 按原图形连结方式顺次连结各对应点.中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5中心对称作图步骤 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对

6、称点. 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.【要点诠释】图形变换与图案设计的基本步骤确定图案的设计主题及要求；分析设计图案所给定的基本图案；利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；对图案进行修饰，完成图案.【典型例题】类型一、平移变换1.如图1，两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得到图2，则阴影部分的周长为_. 【思路点拨】根据两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2，即可得

7、出答案【答案与解析】两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，AM=AN=MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB，OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2；【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出AM=AN=MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB是解决问题的关键举一反三： 【变式】如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A处，得新正方形ABCD，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A.

8、B. C.1 D.【答案】B.2如图（1），已知的面积为3，且现将沿CA方向平移CA长度得到.（1）求所扫过的图形面积；（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若求AC的长.【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到SEFA=SBAF=SABC，从而便可得到四边形CEFB的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF与BE的位置关系为垂直；（3）作BDAC于D，结合三角形的面积求解【答案与解析】（1）由平移的性质得AFBC，且AF=BC，EFAABC四边形AFBC为平行四边形SEFA=SBAF=SABC=3四边形EFBC的

9、面积为9；（2）BEAF证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形BFAC，且BF=AC又AE=CABFAE且BF=AE四边形EFBA为平行四边形又已知AB=ACAB=AE平行四边形EFBA为菱形BEAF；（3）如上图，作BDAC于DBEC=15，AE=ABEBA=BEC=15BAC=2BEC=30在RtBAD中，AB=2BD设BD=x，则AC=AB=2xSABC=3，且SABC=ACBD=2xx=x2x2=3x为正数x=AC=2【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力类型二、轴对称变换3生活中，有人喜欢把传送的便条折成某些形状，折叠过

10、程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)： 如果由信纸折成的长方形纸条(图)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题： (1)为了保证能折成图的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围(2)如果不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)【思路点拨】可以实际动手折一折，看一看.【答案与解析】【总结升华】本题考查学生的动手操作能力，难点是得到纸条除去两端使用的纸条的长度举一反三：【变式】用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABC

11、DE，其中BAC度.【答案】ABC=108，ABC是等腰三角形，BAC=BCA=36度4. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a0).(1)求APB的度数；(2)求正方形ABCD的面积.【答案】(1)将ABP绕点B顺时针方向旋转90得CBQ. 则ABPCBQ且PBQB. 于是PB=QB=2a，. 在PQC中， ，. . . PBQ是等腰直角三角形， BPQ=BQP=45. 故APB=CQB=90+45=135.(2) APQ=APB+BPQ=135+45=180， 三点A、P、Q在同一直线上. 在RtAQC中，. 正方形ABCD的面积.中考总复习：图形的变换-巩固练习（基础）【巩固练

12、习】一、选择题1. 以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）. A4个 B5个 C6个 D3个2有以下现象：温度计中，液柱的上升或下降；打气筒打气时，活塞的运动；钟摆的摆动；传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ）. A B C D3.在图形的平移中，下列说法中错误的是（ ）. A图形上任意点移动的方向相同； B图形上任意点移动的距离相同 C图形上可能存在不动点； D图形上任意对应点的连线长相等4.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形可由OBC平移得到的是（ ）.A.OCDB.OABC.OAFD.OEF5.如图，将边长

13、为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A处，得新正方形ABCD，新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ).A B C1 D 第4题 第5题 第6题6.如图所示，ABC中，AC5，中线AD7，EDC是由ADB旋转180所得，则AB边的取值范围是（ ）AlAB29 B4AB24 C5AB19 D9AB19二、填空题7. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，B45，AE为BC边上的高，将ABE沿AE所在直线翻折后得AGE，那么AGE与四边形AECD重叠部分的面积是 第7题 第8题8. 如图，ABBC，AB=BC=2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC

14、、弧CO、弧OA所围成的面积是_cm2. 9. 如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形纸，小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去，使AB边和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判定方法是_ 第9题 第10题10. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB2cm，点E在BC上，且AECE若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC cm11.(2019上海)如图，在RtABC中，C=90，A=30，BC=1，点D在AC上，将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果ADED，那么线段DE的长为 . 第11题 第12题12.如图,为矩形ABCD的中心，将直角三角板

15、的直角顶点与点重合，转动三角板使两直角边始终与相交，交点分别为.如果，则与的关系式为 . 三、解答题13. 如图1，往66的方格纸中，给出如下三种变换：P变换，Q变换，R变换将图形F沿x轴向右平移1格得图形，称为作1次P变换；将图形F沿y轴翻折得图形，称为作1次Q变换；将图形F绕坐标原点顺时针旋转90得图形，称为作1次R变换规定：PQ变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；QP变换表示先作1次P变换，再作1次Q变换；变换表示作n次R变换解答下列问题：(1)作变换相当于至少作_次Q变换；(2)请在图2中画出图形F作变换后得到的图形；(3)PQ变换与QP变换是否是相同的变换？请在图3中画出PQ变换

16、后得到的图形，在图4中画出QP变换后得到的图形14.把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针方向旋转（旋转角满足条件：090)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图）.(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH=，GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使GKH的面积恰好等于ABC面积的？若存在

17、，求出此时的值；若不存在，说明理由.15.如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠: 对折、展平, 得折痕EF(如图); 沿GC折叠, 使点B落在EF上的点B 处(如图)； 展平, 得折痕GC(如图); 沿GH折叠, 使点C落在DH上的点C 处(如图); 沿GC 折叠(如图)； 展平, 得折痕GC、GH(如图).(1)求图中BCB 的大小；(2)图中的GCC 是正三角形吗?请说明理由. 16.已知矩形纸片，.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.（1）如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G（如图（1），求DE的长.（2）如果折痕FG分别与CD，AB交于点F，G（如图（2），的外接圆与直

18、线BC相切，求折痕FG的长. 【答案与解析】一选择题1【答案】A2【答案】D.【解析】温度计中液柱的上升或下降改变图形的大小，不属于平移；打气筒打气时，活塞的运动属于平移；钟摆的摆动是旋转，不属于平移；传送带上瓶装饮料的移动符合平移的性质，属于平移3【答案】C.4【答案】C.5【答案】B.【解析】平移后，正方形ABCD对角线是正方形ABCD对角线的一半，因为相似形面积比是线段比的平方，所以正方形ABCD面积是正方形ABCD面积的，而正方形ABCD面积是2，所以正方形ABCD面积是.6【答案】D.【解析】ADB绕点D旋转180，得到EDC，AB=EC,AD=DE，而AD=7，AE=14，在ACE

19、中，AC=5，AE-ACECAC+AE，即14 -5EC14+5，9AD19 二填空题7【答案】2-2【解析】在边长为2的菱形ABCD中，B=45，AE为BC边上的高，故AE=，由折叠易得ABG为等腰直角三角形，SABG=BAAG=2，SABE=1，CG=2BE-BC=2-2，CO=OG=2-，SCOG=3-2，重叠部分的面积为2-1-（3-2）=2-28【答案】2.【解析】连结AC，如图，ABBC，AB=BC=2cm，ABC为等腰直角三角形，又弧OA与弧OC关于点O中心对称，OA=OC，弧OA=弧OC，弓形OA的面积=弓形OC的面积，AB、BC、弧CO、弧OA所围成的图形的面积=三角形ABC

20、的面积=22=2（cm2）9【答案】对角线平分内角的矩形是正方形.10【答案】4cm.【解析】AB=2cm，AB=AB1AB1=2cm，四边形ABCD是矩形，AE=CE，ABE=AB1E=90AE=CE，AB1=B1C，AC=4cm11.【答案】-1【解析】在RtABC中，C=90，A=30，BC=1，=，即AC=,将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，ADB=EDB，DE=AD，ADED，CDE=ADE=90，EDB=ADB=135，CDB=EDB-CDE=135-90=45，C=90，CBD=CDB=45，CD=BC=1，DE=AD=AC-CD=-1.12【答案】.三.综合题13【解

21、析】(1).2；(2).正确画出图形；(3).变换PQ与变换QP不是相同的变换.正确画出图形，.14【解析】(1).在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变证明：连接CG，KH，ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，CG=BG，CGAB，ACG=B=45，BGH与CGK均为旋转角，BGH=CGK，在BGH与CGK中，BGHCGK（ASA），BH=CK，SBGH=SCGKS四边形CHGK=SCHG+SCGK=SCHG+SBGH=SABC=44=4，即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；（2）AC=BC=4，BH=x， CH=4-x，CK=x 由S

22、GHK=S四边形CHGK-SCHK， 得y=4 -x（4-x）， y=x2-2x+4由090，得到BH最大=BC=4，0x4；（3）存在根据题意，得x2-2x+4=8，解这个方程，得x1=1，x2=3，即：当x=1或x=3时，GHK的面积均等于ABC的面积的15【解析】（1）由折叠的性质知：BC=BC，在RtBFC中，cosBCF=，BCF=60，即BCB=60；（2）根据题意得：GC平分BCC，GCB=GCC=BCB=30，GCC=BCD-BCG=60，由折叠的性质知：GH是线段CC的对称轴，GC=GC，GCC是正三角形16.【解析】在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，D=90根据轴对称的

23、性质，得EF=AF=DF=AD-AF=在RtDEF中，DE= （2）设AE与FG的交点为O根据轴对称的性质，得AO=EO取AD的中点M，连接MO则MO=DE，MODC设DE=x，则MO=x，在矩形ABCD中，C=D=90，AE为AED的外接圆的直径，O为圆心延长MO交BC于点N，则ONCD,CNM=180-C=90,ONBC，四边形MNCD是矩形MN=CD=AB=2ON=MN-MO=2-x.AED的外接圆与BC相切，ON是AED的外接圆的半径,OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x在RtAED中，AD2+DE2=AE2，12+x2=（4-x）2解这个方程，得x= DE=，OE=2-x=根据轴对称的性质，得AEFGFOE=D=90可得,即FO=又ABCD，EFO=AGO，FEO=GAO FEOGAOFO=GOFG=2FO=折痕FG的长是