2018年天津市红桥区高考数学二模试卷（理科）含答案解析

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1、2018 年天津市红桥区高考数学二模试卷（理科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 Ux |3 x3，x Z，A1 ，2，B2，1，2，则A（ UB）（ ）A1 B1 ，2 C0 ，1，2 D 1，0，1，22 （5 分）已知命题 p：x R，sinx1，则（ ）Ap：xR，sinx1 Bp：x R，sin x1Cp：x 0R，sin x01 Dp：x 0R，sinx 013 （5 分）不等式组 ，所表示平面区域的面积为（ ）A B C1 D34 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A3 B10 C6 D155 （5 分）设

2、 aln3，b 3，c 3 2 ，则（ ）Aabc Bbac Cacb Dc ba6 （5 分）设函数 f（x ）sinx+cosx（ 0）的最小正周期为 ，将 yf （x）的图象向左平移 个单位得函数 yg（x）的图象，则（ ）第 2 页（共 24 页）Ag（x）在（0， ）上单调递增Bg（x）在（ ， ）上单调递减Cg（x）在（ 0， ）上单调递减Dg（x）在（ ， ）上单调递增7 （5 分）点 A 是抛物线 C1： y22px（p0） ，与双曲线 C2： （a0，b0）的一条渐近线的一个交点，若点 A 到抛物线 C1 的焦点的距离为 P，则双曲线 C2 的离心率等于（ ）A B C D8

3、 （5 分）已知定义在1， +）上的函数在区间1， 3）上的解析式为 f（x）当 x3 时，函数满足 f（x）f（x4）+1，若函数 g（x）f（x ）kx k 有 5 个零点，则实数 k 为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）已知复数 为纯虚数，那么实数 a 10 （5 分）在（2x y） 7 展开式中，x 5y2 的系数是 11 （5 分）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 ，则该正方体的表面积为 12 （5 分）如图，在ABC 中，AD AB， ，| |1，则 13 （5 分）4 名大学生到三家企业应聘，

4、每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有 种 （用数字作答）14 （5 分）已知定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）2f（x+2） ，当 x0，2）时，第 3 页（共 24 页）f（x）2x 2+4x设 f（x ）在2 n2，2n）上的最大值为 an（nN*） ，且a n的前 n 项和为 Sn，则 Sn 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2csinC（2ba）sinB+（2ab）sin A（）求角 C 的大小；（）若 c2，且

5、sinC+sin（BA）2sin2 A，求ABC 的面积16 （13 分）随着某品牌手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式某店对最近 100 位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如表所示付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期频数 35 25 a 10 b已知分 3 期付款的频率为 0.15，并且销售一部该手机，顾客分 1 期付款，其利润为 1000元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 1500 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 2000 元，以频率作为概率（）求 a，b 的值，并

6、求事件 A：“购买该手机的 3 位顾客中，至多有 1 位分 4 期付款”的概率；（）用 X 表示销售一部该手机的利润，求 X 的分布列及数学期望 EX17 （13 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PA底面ABCD， M 是棱 PD 的中点，且 PAABAC 2，BC2 （）求证：CD平面 PAC；（）求二面角 MAB C 的大小；（）如果 N 是棱 AB 上一点，且直线 CN 与平面 MAB 所成角的正弦值为 ，求的值第 4 页（共 24 页）18 （13 分）已知数列a n中，a 11，a n+1 （nN*）（）求 a2，a 3；（）求证： 是等比数列，并求a

7、 n的通项公式 an；（）数列b n满足 bn（3 n1） an，数列b n的前 n 项和为 Tn，若不等式（1） nT n 对一切 nN*恒成立，求 的取值范围19 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： （ab0）的离心率为 ，右顶点为 A，直线 BC 过原点 O，且点 B 在 x 轴上方，直线 AB 与 AC 分别交直线 l：x a +1 于点 E、F （）若点 B（ ） ，求椭圆 C 的方程；（）若点 B 为动点，设直线 AB 与 AC 的斜率分别为 k1，k 2试探究： k1k2 是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；求 AEF 的面积的最小值

8、第 5 页（共 24 页）20 （14 分）已知函数 f（x ）a 2x2+axlnx（）当 a0 时，求函数 f（ x）的单调区间；（）设 g（x）a 2x2f（x） ，且函数 g（x）在点 x1 处的切线为 l，直线 ll，且l在 y 轴上的截距为 1，求证：无论 a 取任何实数，函数 g（x）的图象恒在直线 l的下方；（）已知点 A（1，g（1） ） ，Q （x 0，g（x 0） ） ，且当 x01 时，直线 QA 的斜率恒小于2，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 24 页）2018 年天津市红桥区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一

9、项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 Ux |3 x3，x Z，A1 ，2，B2，1，2，则A（ UB）（ ）A1 B1 ，2 C0 ，1，2 D 1，0，1，2【分析】可解出集合 U2，1，0，1，2，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解：U2，1，0，1，2； UB0，1；A（ UB）1故选：A【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集和补集的运算2 （5 分）已知命题 p：x R，sinx1，则（ ）Ap：xR，sinx1 Bp：x R，sin x1Cp：x 0R，sin x01 Dp：x 0R，sinx 01【分析】利用“p”即可得出【解答】解：命题 p：x R，sinx

10、1，p：x 0R，sin x01故选：D【点评】本题考查了“非命题”的意义，考查了推理能力，属于基础题3 （5 分）不等式组 ，所表示平面区域的面积为（ ）A B C1 D3【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域即可求出面积【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的区域为ABC，其中 B（0，3） ，A（0，0） ，由 ，解得，即 C（ 1，2） ，则ABC 的面积 S 31 ，第 7 页（共 24 页）故选：B【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合作出对应的图象是解决本题的关键4 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A3 B10

11、 C6 D15【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算出输出 S1 2+223 2+42的值，代入运算可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是计算并输出 S1 2+223 2+42 的值，可得：S1 2+223 2+4210故选：B第 8 页（共 24 页）【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据循环条件判断出循环变量的终值，进而结合循环体分析出程序的功能是解答本题的关键，属于基础题5 （5 分）设 aln3，b 3，c 3 2 ，则（ ）Aabc Bbac Cacb Dc ba【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解【解答】解：aln3lne1，b 3 0

12、，c3 2 ，acb故选：C【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6 （5 分）设函数 f（x ）sinx+cosx（ 0）的最小正周期为 ，将 yf （x）的图象向左平移 个单位得函数 yg（x）的图象，则（ ）Ag（x）在（0， ）上单调递增Bg（x）在（ ， ）上单调递减Cg（x）在（ 0， ）上单调递减Dg（x）在（ ， ）上单调递增【分析】化简解析式可得 f（ x） sin（x+ ） ，由周期可求 ，从而得 f（x）sin（2x+ ） ，向左平移 个单位得函数 g（x ） cos2x 的图象，从而可

13、求单调区间【解答】解：f（x ）sinx+cosx sin（x+ ） ，T ，2 ，第 9 页（共 24 页）f（x） sin（2x + ） ，将 yf（x）的图象向左平移 个单位得函数 yg（x）的图象，则 yg（x） sin2（x+ ）+ sin（2x+ ） cos2x，令 2k2x2k+，kZ 可解得：k ，kZ，当 k0 时，x0，即 g（x）在（0， ）上单调递减故选：C【点评】本题主要考查了函数 yAsin （ x+）的图象变换，三角函数的单调性，周期性，属于基础题7 （5 分）点 A 是抛物线 C1： y22px（p0） ，与双曲线 C2： （a0，b0）的一条渐近线的一个交点，

14、若点 A 到抛物线 C1 的焦点的距离为 P，则双曲线 C2 的离心率等于（ ）A B C D【分析】先根据条件求出店 A 的坐标，再结合点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p；得到 ，再代入离心率计算公式即可得到答案【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y x，联立 ；故 A（ ， ） 点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p， + p； 第 10 页（共 24 页）双曲线 C2 的离心率 e 故选：A【点评】本题考查双曲线的性质及其方程双曲线 的离心率e 和渐近线的斜率 之间有关系 8 （5 分）已知定义在1， +）上的函数在区间1， 3）上的解析式为 f（x）当 x3 时，函数满足

15、 f（x）f（x4）+1，若函数 g（x）f（x ）kx k 有 5 个零点，则实数 k 为（ ）A B C D【分析】将问题转化为 yf（x）与 yk（x +1）有 5 个交点，作出函数图象，求出两函数图象恰有 5 个交点的 k 值，即可【解答】解：令 g（x）0 得 f（x）k（x+1） 作出 yf（x）与 yk （x +1）的函数图象，由图象可知 M（1，0）为两函数图象的一个交点当直线 yk（x +1）与f（x）在3 ，4）上的函数图象相切时，两函数图象有恰好有 5 个交点，由 f（x）f（x 4）+1，可将 f（x）在（1，1）的图象向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位，可得

16、 f（x）在（ 3，4）的图象，设此时直线斜率为 k1，A （4，1） ，则 tanAMx ，ktan2AMx 故选：D第 11 页（共 24 页）【点评】本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，准确作出函数图象，寻找 k 的临界值是解题的关键，属于中档题二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）已知复数 为纯虚数，那么实数 a 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 ，又已知复数 为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案【解答】解： ，又已知复数 为纯虚数， ，解得 a 故答案为： 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题

17、10 （5 分）在（2x y） 7 展开式中，x 5y2 的系数是 【分析】写出二项展开式的通项，由 y 的指数为 2 求得 r 值，则答案可求【解答】解：（2x y） 7 展开式的通项为： ，第 12 页（共 24 页）令 r2，则 ， ，在（2x y） 7 展开式中，x 5y2 的系数是 故答案为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题11 （5 分）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 ，则该正方体的表面积为 24 【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，

18、然后求正方体的表面积【解答】解：设球的半径为 R，由 得 ，所以 a2，表面积为 6a224故答案为：24【点评】本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题12 （5 分）如图，在ABC 中，AD AB， ，| |1，则 【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题【解答】解： ， ， ， ，cosDACsinBAC，在ABC 中，由正弦定理得 变形得|AC|sin BAC |BC|sinB，第 13 页（共 24 页）|BC |sinB ，故答案为 【点评】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算

19、的训练，尤其是与三角形综合的问题13 （5 分）4 名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有 60 种 （用数字作答）【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：，4 名大学生都被录用，分 2 步分析先将 4 名大学生分成 3 组，再将分好的三组，对应三个企业，只有三名大学生被录用，由排列数公式可得其情况数目，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论：，4 名大学生都被录用，分 2 步分析：先将 4 名大学生分成 3 组，有 C426 种分组方法，再将分好的三组，对应三个企业，有 A336 种情况，则此时有 6636 种情况；，

20、只有三名大学生被录用，有 A4324 种情况，则一共有 36+2460 种情况故答案为：60【点评】本题考查排列、组合的应用，注意没有要求每名大学生都被录用14 （5 分）已知定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）2f（x+2） ，当 x0，2）时，f（x）2x 2+4x设 f（x）在 2n2，2n）上的最大值为 an（nN*） ，且a n的前 n 项和为 Sn，则 Sn 4 【分析】根据定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）2f（x+2） ，可得 f（x +2）f（x） ，从而 f（x +2n） f（x） ，利用当 x0，2）时，f （x ）2x 2+4x，可求（x）在2 n

21、2，2n）上的解析式，从而可得 f（x ）在2 n2，2n）上的最大值为 an，进而利用等比数列的求和公式，即可求得a n的前 n 项和【解答】解：定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）2f（x+2） ，f（x+2） f（x ） ，f（x+4） f（x +2） f（x） ，第 14 页（共 24 页）f（x+6） f（x +4） f（ x） ，f（x+2n） f（x ）设 x2n2， 2n） ，则 x（ 2n2）0，2）当 x0，2）时， f（x）2x 2+4xfx （2n2 ）2（x（2n2） 2+4x（2n2 ） f（x） 2（x2n+1） 2+2f（x）2 1 n2（x 2n+1

22、） 2+2，x 2n2，2n） ，x2n1 时，f（x）的最大值为 22na n2 2na n表示以 2 为首项， 为公比的等比数列a n的前 n 项和为 Sn 4 故答案为：4 【点评】本题考查数列的前 n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、等比数列的性质的合理运用三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2csinC（2ba）sinB+（2ab）sin A（）求角 C 的大小；（）若 c2，且 sinC+sin（BA）2sin2 A，求ABC 的面

23、积【分析】 （）直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理求出 C 的值（）利用三角函数的关系式的变换，利用分类讨论思想求出三角形的面积【解答】解：（）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2csinC（2ba）sinB+（2ab）sin A第 15 页（共 24 页）整理得：2c 2（2ba）b+（2ab）a，即：b 2+a2c 2ab，则： ，由于：0C，则：C （）由于：sinC+sin（BA）2sin2 A，则：sinC +sin（BA）sin（A+ B）+sin（BA） ，整理得：sinBcosA2sinAcosA，所以：cosA 0 ，或 sinB2

24、sin A（1）当 cosA 0 时，A ，c2则：b ，所以： （2）sinB2sinA，即：b2a，利用余弦定理得： ，解得： ，所以： 所以： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用16 （13 分）随着某品牌手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式某店对最近 100 位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如表所示付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期频数 35 25 a 10 b已知分 3 期付款的频率为 0.15，并且销

25、售一部该手机，顾客分 1 期付款，其利润为 1000第 16 页（共 24 页）元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 1500 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 2000 元，以频率作为概率（）求 a，b 的值，并求事件 A：“购买该手机的 3 位顾客中，至多有 1 位分 4 期付款”的概率；（）用 X 表示销售一部该手机的利润，求 X 的分布列及数学期望 EX【分析】 （）由 0.15，35+25+a+10+b100，能求出 a，b 的值，并能求出事件A：“购买该手机的 3 位顾客中，至多有 1 位分 4 期付款”的概率（）记分期付款期数为 ，则 P（1）0.35，P（2）0.25，

26、P（3）0.15，P（4）0.1，P（5）0.15，X 的所有可能取值为 1000，1500，2000，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（X） 【解答】解：（）由 0.15，解得 a15，35+25+a+10+b100，b15，事件 A：“购买该手机的 3 位顾客中，至多有 1 位分 4 期付款”的概率：P（A）（10.1） 3+ 0.972（）记分期付款期数为 ，则 P（1）0.35，P（2）0.25，P（3）0.15，P（4）0.1，P（5）0.15，X 的所有可能取值为 1000，1500，2000，P（X1000）P （1）0.35，P（X1500）P （2）+P（3

27、）0.4，P（X2000）P （4）+P（5）0.25，X 的分布列为：X 1000 1500 2000P 0.35 0.4 0.25E（X）10000.35+15000.4+20000.251450【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布表等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题17 （13 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PA底面第 17 页（共 24 页）ABCD，M 是棱 PD 的中点，且 PAABAC 2，BC 2 （）求证：CD平面 PAC；（）求二面角 MAB C 的大小；（）如果 N

28、是棱 AB 上一点，且直线 CN 与平面 MAB 所成角的正弦值为 ，求的值【分析】 （）连结 AC，由已知数据和勾股定理可得 ABAC，可得 ACCD，再由线面垂直关系可得；（）如图建立空间直角坐标系，由数量积和垂直关系可得平面 MAB 的法向量（0，1，1） ，又可得 （0，0，2）是平面 ABC 的一个法向量，计算可得cos ， ，可得二面角；（）设 N（x ，0，0） ，由题意可得 x 的方程 ，解方程可得【解答】证明：（）连结 AC，在ABC 中，AB AC2， ，BC 2AB 2+AC2，ABAC ，ABCD，ACCD，又PA底面 ABCD，PA CD，ACPAA，CD 平面 PA

29、C；（）如图建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0） ，P（0，0，2） ，B（2，0，0） ，C （0，2，0） ，D（2，2，0） ，M 是棱 PD 的中点，M （1，1，1） ， （1，1，1） ， （2，0，0） ， 第 18 页（共 24 页）设 （x，y，z）为平面 MAB 的法向量， ，即令 y1，则 ，平面 MAB 的法向量 （0，1，1）PA平面 ABCD， （0，0，2）是平面 ABC 的一个法向量cos ， 二面角 MAB C 为锐二面角，二面角 MAB C 的大小为 ；（）N 是在棱 AB 上一点，设 N（x，0， 0） ， （x，2，0） ， 设直线 CN 与平面 M

30、AB 所成角为 ，因为平面 MAB 的法向量 （0，1，1） ， ，解得 x1，即 AN1，NB1， 1【点评】本题考查空间位置关系，涉及向量法和线面垂直的证明，属中档题第 19 页（共 24 页）18 （13 分）已知数列a n中，a 11，a n+1 （nN*）（）求 a2，a 3；（）求证： 是等比数列，并求a n的通项公式 an；（）数列b n满足 bn（3 n1） an，数列b n的前 n 项和为 Tn，若不等式（1） nT n 对一切 nN*恒成立，求 的取值范围【分析】 （1）利用 a11，a n+1 ，可求 a2，a 3；（2）把题目给出的数列递推式取倒数，即可证明数列 + 是

31、等比数列，由等比数列的通项公式求得 + ，则数列 an的通项 an 的通项可求；（3）把数列a n的通项 an 代入 bn（3 n1） an，由错位相减法求得数列 bn的前 n 项和为 Tn，对 n 分类，则答案可求【解答】解：（1） （2 分）（2）由 得即 （4 分）又所以 是以 为首项，3 为公比的等比数列（6 分）所以即 （8 分）（3） （9 分）第 20 页（共 24 页）两式相减得 ， （11 分）若 n 为偶数，则若 n 为奇数，则 ，23（14 分）【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，考查了利用分类讨论的数学思想方法求解数列不

32、等式，是中档题19 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： （ab0）的离心率为 ，右顶点为 A，直线 BC 过原点 O，且点 B 在 x 轴上方，直线 AB 与 AC 分别交直线 l：x a +1 于点 E、F （）若点 B（ ） ，求椭圆 C 的方程；（）若点 B 为动点，设直线 AB 与 AC 的斜率分别为 k1，k 2试探究： k1k2 是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；求 AEF 的面积的最小值【分析】 （I）由题意可得： ， 1，a 2b 2+c2，联立解出即可得出第 21 页（共 24 页）（II）k 1k2 为定值设 B（x 0，y

33、0） ，C （x 0，y 0）. + 1由 ，a 2b 2+c2，可得 a22b 2利用斜率计算公式可得 k1k2 ，即可即可得出设直线 AB 的方程为：yk 1（x a） ，直线 AC 的方程为：yk 2（xa） ，令xa+1，可得 yEk 1，y Fk 2，S AEF |EF|1 |k2k 1|，由图形可得：k10，k 20，k 1k2 利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（I）由题意可得： ， 1，a 2b 2+c2，联立解得 a28，b2c，椭圆 C 的方程为： + 1（II）k 1k2 为定值设 B（x 0，y 0） ，C （x 0，y 0）. + 1由 ，a 2b 2+c2，可

34、得 a22b 2则 k1k2 设直线 AB 的方程为：yk 1（x a） ，直线 AC 的方程为：yk 2（xa） ，令 xa+1，则 yEk 1，y Fk 2，SAEF |EF|1 |k2k 1|，由图形可得：k 10，k 20，k1k2 S AEF （k 2k 1） ，当且仅当 k2k 1 时取等号第 22 页（共 24 页）AEF 的面积的最小值为 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、三角形面积计算公式、直线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题20 （14 分）已知函数 f（x ）a 2x2+axlnx（）当 a0 时，求函数 f（ x）的单调区间；（）设 g

35、（x）a 2x2f（x） ，且函数 g（x）在点 x1 处的切线为 l，直线 ll，且l在 y 轴上的截距为 1，求证：无论 a 取任何实数，函数 g（x）的图象恒在直线 l的下方；（）已知点 A（1，g（1） ） ，Q （x 0，g（x 0） ） ，且当 x01 时，直线 QA 的斜率恒小于2，求实数 a 的取值范围【分析】 （I）先求导并化简，从而由导数的正负列表确定函数的单调性及单调区间即可；（II）化简函数 g（x）a 2x2f （x）lnxax，再求导 ，从而得到直线l 的斜率 kl1a，再由 l l，且 l在 y 轴上的截距为 1 写出直线 l的方程y（1a）x+1，再令 h（x

36、） g（x） （1a）x +1并化简，从而可把无论 a 取任何实数，函数 g（x）的图象恒在直线 l的下方化为 h（x）0（a R， x0）恒成立，再求导求函数的最大值即可证明（III）化简 A（1，a） ，Q（x 0，lnx 0ax 0） ，从而写出直线 QA 的斜率，从而可化恒成立问题为 lnx0（a+2） （x 01）0 恒成立，再令 r（x）lnx （a+2） （x1） （x 1） ，求导 ，再讨论以确定 r（x）的最大值情况即可求出实数 a 的取值范围【解答】 （I）解：f（x ）a 2x2+axlnx，所以，a0 时，f（x ）与 f（x）的变化情况如下：x第 23 页（共 24

37、页）f（x） 0 +f（x） 因此，函数 f（x ）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 （II）证明：g（x）a 2x2f （x）lnxax， ，所以 g（1）1a，所以 l 的斜率 kl1a因为 ll，且 l在 y 轴上的截距为 1，所以直线 l的方程为 y（1a）x+1，令 h（x）g（x ）（1a）x+1lnxx 1（x0） ，则无论 a 取任何实数，函数 g（x）的图象恒在直线 l的下方可化为h（x）0（a R，x 0） ，而 当 x（0，1）时， h（x）0，当 x（1，+）时，h（x）0，所以函数 h（x）的（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，从而当 x1 时，h（x ）

38、取得极大值 h（1）2，即在（0，+）上，h（x）取得最大值 h（1）2，所以 h（x）20（aR，x0） ，因此，无论 a 取任何实数，函数 g（x）的图象恒在直线 l的下方（III）因为 A（1，a） ，Q（x 0，lnx 0ax 0） ，所以 ，所以当 x01 时， ，即 lnx0（a+2） （x 01）0 恒成立，令 r（x ）lnx（a+2 ） （x 1） （x 1） ，则 ，因为 x1，所以 （i）当 a2 时，a+20，此时 r（x）0，第 24 页（共 24 页）所以 r（x）在（1，+）上单调递增，有 r（x）r（1）0 不满足题意；（ii）当2a1 时，0a+21，所以当 时，r（x）0，当 时，r（x）0，所以至少存在 ，使得 r（t）r（1）0 不满足题意；（iii ）当 a1 时，a+2 1 ，此时 r（x）0，所以 r（x）在（1，+）上单调递减，r（x）r（1）0，满足题意综上可得 a1，故所求实数 a 的取值范围是1，+ ） 【点评】本题考查了导数的综合应用、函数的性质应用及直线的斜率的求法，同时考查了恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于难题