2018年北京市通州区高考数学三模试卷(理科)含答案解析
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1、2018 年北京市通州区高考数学三模试卷(理科)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1 (5 分)若集合 Ax| x0,Bx|x 21,则 AB( )A x|x1 Bx|x0 C x|1x0 D x|0x12 (5 分)复数(1i) (3+i)在复平面内对应的点在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )A B C D4 (5 分)如果 x,y 满足 ,那么 的最大值为( )A B C1 D25 (5 分)已知函数 f(x )xsinx ,则 f( ) 、f (
2、1) 、f( )的大小关系为( )A BC D6 (5 分)已知非零向量 , , 则“ ”是“ ”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件第 2 页(共 22 页)C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A B C D8 (5 分)标准的围棋棋盘共 19 行 19 列,361 个格点,每个格点上可能出现“黑” “白”“空”三种情况,因此有 3361 种不同的情况;而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中,也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即 1000052,下列数据最接近 的是 (lg 3
3、 0.477) ( )A10 37 B10 36 C10 35 D10 34二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9 (5 分)双曲线 y 21 的顶点到其渐近线的距离等于 10 (5 分)等差数列a n满足 a11,a 35,若 a2,a 5, am 成等比数列,则 m 11 (5 分)在极坐标系中,曲线 cos1 与 2sin 的公共点到极点的距离为 12 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,角 以 Ox 为始边,终边位于第一象限,且与单位第 3 页(共 22 页)圆交于点 ,则 13 (5 分)能够说明“设 a,b,c 是任意实数若 abc,则 abbc”是假命题的一组
4、整数 a,b,c 的值依次为 14 (5 分)设 f(x )是定义在 D 上的函数,若存在两个不相等的实数 x1,x 2D,使得,则称函数 f(x )具有性质 P那么下列函数中f (x )x 3;f(x)lnx ;f (x)| x21|;f(x)e |x|2 具有性质 P 的所有序号是 三、解答题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15 (13 分)在ABC 中,sinC3sin B,A60,b1()求 a 的值;()求 tanB 的值16 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD平面ABCD, PAAD,ABBC, ADBC ,PAABBC 1,A
5、D 2,E 是棱 PC 上一点,平面 AED 与棱 PB 交于点 F()求证:ADEF ;()求二面角 APDC 的余弦值;()是否存在点 E,使得 AE平面 PCD?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由17 (13 分)某公司(人数众多)为鼓励员工利用网络进行营销,准备为员工办理手机流量套餐为了解员工手机流量使用情况,通过抽样,得到 100 位员工每人手机月平均使用流量 L(单位:M)的数据,其频率分布直方图如图所示:将频率视为概率,以直方图给的数据作为依据,回答以下问题:第 4 页(共 22 页)()从该公司的员工中随机抽取 3 人,求这 3 人中至少有 1 人手机月流量不低于700M
6、 的概率;()据了解,某网络营运商推出两款流量套餐,详情如下:套餐名称 月套餐费(单位:元) 月套餐流量(单位:M)A 20 700B 30 1000流量套餐的规则是:每月 1 日收取套餐费如果手机实际使用流量超出套餐流量,则需要购买流量叠加包,每一个叠加包(包含 200M 的流量)需要 10 元,可以多次购买;如果当月流量有剩余,将会被清零该企业准备为所有员工订购其中一款流量套餐,保证员工的流量使用,并支付所有费用你认为该企业订购哪一款套餐更经济?请说明理由18 (14 分)已知抛物线 C: y22px(p0) ,直线 l 与抛物线 C 交于两点 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)
7、 ()若直线 l 经过抛物线 C 的焦点,|AB| 3p,求 x1+x2 的值;()若直线 l 过点 M(m, 0) (m 0) ,问在 x 轴上是否存在一点 N,使得ANM 与BNM 的面积之比始终为|AN|:| BN|,若存在,请求出点 N 坐标;若不存在,说明理由19 (13 分)已知函数 ,其中 ,a2()若 a,判断函数 f(x)的单调性;()求函数 f(x )的最大值20 (13 分)若数列b n满足:对于 nN*,都有 bn+2b nd(常数) ,则称数列 bn是公第 5 页(共 22 页)差为 d 的准等差数列()若 判断c n是否为准等差数列,并求出c n的第 8项,第 9
8、项以及前 9 项的和 T9;()设数列a n满足:a 1a,且对于 nN*,都有 an+an+12n 成立, an的前 n 项和为 Sn(i)求证:a n为准等差数列,并求其通项公式;(ii)求证:a n为等差数列的充分必要条件是 第 6 页(共 22 页)2018 年北京市通州区高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1 (5 分)若集合 Ax| x0,Bx|x 21,则 AB( )A x|x1 Bx|x0 C x|1x0 D x|0x1【分析】化简集合 B,根据交集的定义写出 AB【解答】
9、解:集合 Ax| x0,B x|x21x| x1 或 x1 ,ABx|x1故选:A【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题2 (5 分)复数(1i) (3+i)在复平面内对应的点在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简,求出复数所对应点的坐标得答案【解答】解:(1i) (3+i )42i,复数(1i) (3+i)在复平面内对应的点的坐标为(4, 2) ,在第四象限故选:D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题3 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )第 7 页(共 22 页
10、)A B C D【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S+ + 的值,利用裂项法即可计算得解【解答】解:模拟程序的运行,可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S+ + 的值,由于 S + + 2 (1 )+( )+( ) 故选:D【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题4 (5 分)如果 x,y 满足 ,那么 的最大值为( )A B C1 D2【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识, 表示可行域内点于定点 P(0,1)连线的斜率即可求出最值【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,
11、 表示可行域内点于定点 P(0,1)连线的斜率,由图象可知动点为 A 时,此时斜率最大,即为 故选:B第 8 页(共 22 页)【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法5 (5 分)已知函数 f(x )xsinx ,则 f( ) 、f (1) 、f( )的大小关系为( )A BC D【分析】判断函数 f(x )xsinx 是偶函数,推出 ,利用导数说明函数在( ,0)时,得 y0,函数是减函数,从而判断三者的大小【解答】解:由于 f(x )xsin(x )xsinxf (x)则 f(x)为偶函数, ;又由 f(x) sinx+xcosx 在( ,0)内有 f
12、(x)0,所以 f(x)在( ,0)内递减,因为 ,所以 ,故 ,故选:A【点评】本题是中档题,考查正弦函数的单调性,奇偶性,导数的应用,考查计算能力,导数大于 0,函数是增函数,是解题的关键第 9 页(共 22 页)6 (5 分)已知非零向量 , , 则“ ”是“ ”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】若 pq,则 p 是 q 的充分条件;若 pq,则 p 是 q 的必要条件由此可判断充要条件【解答】解:非零向量 , , 则“ ”不一定推出“ ”,也可能是“ ”,反之,一定成立,所以非零向量 , , 则“ ”是“ ”的必要而不充分条件故
13、选:B【点评】本题考查了向量数量积、充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力,属于基础题7 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A B C D【分析】由已知中的三视图可得该几何体是正方体的一部分的三棱锥,利用三视图的数据转化求解几何体的体积【解答】解:几何体是直观图如图:三棱锥 ABCD,把三棱锥扩展为三棱柱如图ACFBED ,第 10 页(共 22 页)所以三棱锥的体积为: 故选:A【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键8 (5 分)标准的围棋棋盘共 19 行 19 列,361 个格点,每个格点上可能出现“黑
14、” “白”“空”三种情况,因此有 3361 种不同的情况;而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中,也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即 1000052,下列数据最接近 的是 (lg 3 0.477) ( )A10 37 B10 36 C10 35 D10 34【分析】根据题意,对 取对数可得lg lg3 361lg10000 52361lg352435.8,即可得第 11 页(共 22 页)10 35.8 ,分析选项即可得答案【解答】解:根据题意,对于 ,有lg lg3 361lg10000 52361lg352435.8,则 10 35.8 ,分析选项
15、:B 中 1036 与其最接近,故选:B【点评】本题考查对数的计算,关键是掌握对数的运算性质二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9 (5 分)双曲线 y 21 的顶点到其渐近线的距离等于 【分析】求出双曲线的渐近线方程,顶点坐标,利用点到直线的距离求解即可【解答】解:双曲线 y 21 的顶点坐标(2,0) ,其渐近线方程为 y x,所以所求的距离为 故答案为: 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力10 (5 分)等差数列a n满足 a11,a 35,若 a2,a 5, am 成等比数列,则 m 14 【分析】利用等差数列求出 a5,然后通过 a2,a 5,a m
16、 成等比数列,列出方程求解 m 即可【解答】解:等差数列a n满足 a11,a 35,所以 a2 3,可得 a52519a2,a 5,a m 成等比数列,可得:9 23a m,a m27,271+(m1 )2,解得 m14第 12 页(共 22 页)故答案为:14【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,考查计算能力11 (5 分)在极坐标系中,曲线 cos1 与 2sin 的公共点到极点的距离为 【分析】曲线 cos1 与 2sin 的直角坐标方程为 x1 和 x2+y22y ,联立方程组求出曲线 cos1 与 2sin 的公共点的直角坐标,极点的直角坐标为(0,0) ,由此能求出曲线 c
17、os1 与 2sin 的公共点到极点的距离【解答】解:曲线 cos1 与 2sin 的直角坐标方程为 x1 和 x2+y22y ,联立 ,得曲线 cos1 与 2sin 的公共点的直角坐标为(1,1) ,极点的直角坐标为(0,0) ,曲线 cos 1 与 2sin 的公共点到极点的距离为 d 故答案为: 【点评】本题考查两点间距离的求法,考查极坐标、直角坐标的互化、两点间距离公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题12 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,角 以 Ox 为始边,终边位于第一象限,且与单位圆交于点 ,则 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得 sin、c
18、os 的值,再利用两角和的正弦公式求出 的值【解答】解:由题意可得 y ,故 sin y ,cos , sin cos+cos sin + ,故答案为: 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两角和的正弦公式的应用,属于基础题13 (5 分)能够说明“设 a,b,c 是任意实数若 abc,则 abbc”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为 1,0,2 【分析】令整数 a,b,c 的值依次为 1,0,2,可得命题“设 a,b,c 是任意实数,第 13 页(共 22 页)若 abc,则 abbc ”是假命题【解答】解:设 a,b,c 是任意实数若 abc,则 abbc”是假命题,可设
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