2019年中考山东省各地市数学专题汇编与解析:二次函数综合题
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1、2019年中考山东省各地市 “二次函数综合题”专题汇编与解析一解答题(共14小题)1(2019聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A(2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P,D,E(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得PEA和AOC相似的点P的坐标;(3)作PFBC,垂足为F,当直线l运动时,求RtPFD面积的最大值2(2019菏泽)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,
2、2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PDx轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x1(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在第二象限内,且PEOD,求PBE的面积(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由3(2019枣庄)已知抛物线yax2+x+4的对称轴是直线x3,与x轴相交于A,B两点(点B在点A右侧),与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;(2)如图1,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),是否存在点P
3、,使四边形PBOC的面积最大?若存在,求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)如图2,若点M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN3时,求点M的坐标4(2019滨州)如图,抛物线与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,将直线AB绕点A逆时针旋转90,所得直线与x轴交于点D(1)求直线AD的函数解析式;(2)如图,若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时,求点P的坐标和最大距离;当点P到直线AD的距离为时,求sinPAD的值5(2019德州)如图,抛物线ymx2mx4与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,与y
4、轴交于点C,且x2x1(1)求抛物线的解析式;(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上的两点,当ax1a+2,x2时,均有y1y2,求a的取值范围;(3)抛物线上一点D(1,5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上,当BDCMCE时,求点M的坐标6(2019济南)如图1,抛物线C:yax2+bx经过点A(4,0)、B(1,3)两点,G是其顶点,将抛物线C绕点O旋转180,得到新的抛物线C(1)求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标;(2)如图2,直线l:ykx经过点A,D是抛物线C上的一点,设D点的横坐标为m(m2),连接DO并延长,交抛物线C于点E,交直线l于点M,若DE2
5、EM,求m的值;(3)如图3,在(2)的条件下,连接AG、AB,在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P,使得DEPGAB?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由7(2019莱芜区)如图,抛物线yax2+bx+c经过A(3,0),B(1,0),C(0,3)三点(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,P为抛物线上在第二象限内的一点,若PAC面积为3,求点P的坐标;(3)如图2,D为抛物线的顶点,在线段AD上是否存在点M,使得以M,A,O为顶点的三角形与ABC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由8(2019日照)如图1,在平面直角坐标系中,直线y5x+5与x轴,y轴分别交于A,
6、C两点,抛物线yx2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B(1)求抛物线解析式及B点坐标;(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;(3)如图2,若P点是半径为2的B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC+PA的值最小,请求出这个最小值,并说明理由9(2019烟台)如图,顶点为M的抛物线yax2+bx+3与x轴交于A(1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CDy轴交抛物线于另一点D,作DEx轴,垂足为点E,双曲线y(x0)经过点D,连接MD,BD(1)求抛物线的
7、表达式;(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,BPD的度数最大?(请直接写出结果)10(2019东营)已知抛物线yax2+bx4经过点A(2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标;(3)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使CMG的周长最小?若存在,求出点G的
8、坐标;若不存在,请说明理由11(2019淄博)如图,顶点为M的抛物线yax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(1)求这条抛物线对应的函数表达式;(2)问在y轴上是否存在一点P,使得PAM为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DAOA,过D作DGx轴于点G,设ADG的内心为I,试求CI的最小值12(2019泰安)若二次函数yax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,2),且过点C(2,2)(1)求二次函数表达式;(2)若点P为抛物线上第一象限内的点,且SPBA4,求点P的坐标
9、;(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使ABOABM?若存在,求出点M到y轴的距离;若不存在,请说明理由13(2019临沂)在平面直角坐标系中,直线yx+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线yax2+bx+c(a0)经过点A、B(1)求a、b满足的关系式及c的值(2)当x0时,若yax2+bx+c(a0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围(3)如图,当a1时,在抛物线上是否存在点P,使PAB的面积为1?若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由14(2019潍坊)如图,在平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),ABO的中线AC与y
10、轴交于点C,且M经过O,A,C三点(1)求圆心M的坐标;(2)若直线AD与M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式;(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PEy轴,交直线AD于点E若以PE为半径的P与直线AD相交于另一点F当EF4时,求点P的坐标参考解析一解答题(共14小题)1(2019聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A(2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P,D,E(1)求抛物线
11、的表达式;(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得PEA和AOC相似的点P的坐标;(3)作PFBC,垂足为F,当直线l运动时,求RtPFD面积的最大值【解】:(1)将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故抛物线的表达式为:yx2+2x+8;(2)点A(2,0)、C(0,8),OA2,OC8,lx轴,PEAAOC90,PAECAO,只有当PEAAOC时,PEAAOC,此时,即:,AE4PE,设点P的纵坐标为k,则PEk,AE4k,OE4k2,将点P坐标(4k2,k)代入二次函数表达式并解得:k0或(舍去0),则点P(,);(3)在RtPFD中,PFDCOB90,ly轴,PDFC
12、OB,RtPFDRtBOC,SPDFSBOC,而SBOCOBOC16,BC4,SPDFSBOCPD2,即当PD取得最大值时,SPDF最大,将B、C坐标代入一次函数表达式并解得:直线BC的表达式为:y2x+8,设点P(m,m2+2m+8),则点D(m,2m+8),则PDm2+2m+8+2m8(m2)2+4,当m2时,PD的最大值为4,故当PD4时,SPDFPD22(2019菏泽)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PDx轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x1(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在第二
13、象限内,且PEOD,求PBE的面积(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由【解】:(1)点A的坐标是(2,0),抛物线的对称轴是直线x1,则点B(4,0),则函数的表达式为:ya(x2)(x+4)a(x2+2x8),即:8a2,解得:a,故抛物线的表达式为:yx2+x2;(2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式:ymx+n并解得:直线BC的表达式为:yx2,则tanABC,则sinABC,设点D(x,0),则点P(x,x2+x2),点E(x,x2),PEOD,ODx,PE(x2+x2
14、+x+2)x2+x,解得:x0或5(舍去x0),即点D(5,0)SPBEPEBD(x2+x2x+2)(4x);(3)由题意得:BDM是以BD为腰的等腰三角形,当BDBM时,过点M作MHx轴于点H,BD1BM,则MHyMBMsinABC1,则xM,故点M(,);当BDDM(M)时,同理可得:点M(,);故点M坐标为(,)或(,)3(2019枣庄)已知抛物线yax2+x+4的对称轴是直线x3,与x轴相交于A,B两点(点B在点A右侧),与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;(2)如图1,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),是否存在点P,使四边形PBOC的面积
15、最大?若存在,求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)如图2,若点M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN3时,求点M的坐标【解】:(1)抛物线的对称轴是直线x3,3,解得a,抛物线的解析式为:yx2+x+4当y0时,x2+x+40,解得x12,x28,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(8,0)答:抛物线的解析式为:yx2+x+4;点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(8,0)(2)当x0时,yx2+x+44,点C的坐标为(0,4)设直线BC的解析式为ykx+b(k0),将B(8,0),C(0,4)代入ykx+b得,解得,直线BC的
16、解析式为yx+4假设存在点P,使四边形PBOC的面积最大,设点P的坐标为(x,x2+x+4),如图所示,过点P作PDy轴,交直线BC于点D,则点D的坐标为(x,x+4),则PDx2+x+4(x+4)x2+2x,S四边形PBOCSBOC+SPBC84+PDOB16+8(x2+2x)x2+8x+16(x4)2+32当x4时,四边形PBOC的面积最大,最大值是320x8,存在点P(4,6),使得四边形PBOC的面积最大答:存在点P,使四边形PBOC的面积最大;点P的坐标为(4,6),四边形PBOC面积的最大值为32(3)设点M的坐标为(m,+4)则点N的坐标为(m,),MN|+4()|+2m|,又M
17、N3,|+2m|3,当0m8时,+2m30,解得m12,m26,点M的坐标为(2,6)或(6,4);当m0或m8时,+2m+30,解得m342,m44+2,点M的坐标为(42,1)或(4+2,1)答:点M的坐标为(2,6)、(6,4)、(42,1)或(4+2,1)4(2019滨州)如图,抛物线与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,将直线AB绕点A逆时针旋转90,所得直线与x轴交于点D(1)求直线AD的函数解析式;(2)如图,若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时,求点P的坐标和最大距离;当点P到直线AD的距离为时,求sinPAD的值【解】:(1)当x0时,y4,则点A
18、的坐标为(0,4),当y0时,0x2+x+4,解得,x14,x28,则点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(8,0),OAOB4,OBAOAB45,将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD,BAD90,OAD45,ODA45,OAOD,点D的坐标为(4,0),设直线AD的函数解析式为ykx+b,得,即直线AD的函数解析式为yx+4;(2)作PNx轴交直线AD于点N,如右图所示,设点P的坐标为(t, t2+t+4),则点N的坐标为(t,t+4),PN(t2+t+4)(t+4)t2+t,PNx轴,PNy轴,OADPNH45,作PHAD于点H,则PHN90,PH(t2+t)t(t6)2+,当t6时
19、,PH取得最大值,此时点P的坐标为(6,),即当点P到直线AD的距离最大时,点P的坐标是(6,),最大距离是;当点P到直线AD的距离为时,如右图所示,则t,解得,t12,t210,则P1的坐标为(2,),P2的坐标为(10,),当P1的坐标为(2,),则P1A,sinP1AD;当P2的坐标为(10,),则P2A,sinP2AD;由上可得,sinPAD的值是或5(2019德州)如图,抛物线ymx2mx4与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴交于点C,且x2x1(1)求抛物线的解析式;(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上的两点,当ax1a+2,x2时,均有y1y2,求
20、a的取值范围;(3)抛物线上一点D(1,5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上,当BDCMCE时,求点M的坐标【解】:(1)函数的对称轴为:x,而且x2x1,将上述两式联立并解得:x1,x24,则函数的表达式为:ym(x+)(x4)m(x24x+x6),即:6m4,解得:m,故抛物线的表达式为:yx2x4;(2)由(1)知,函数的对称轴为:x,则x和x2关于对称轴对称,故其函数值相等,又ax1a+2,x2时,均有y1y2,结合函数图象可得:,解得:2a;(3)如图,连接BC、CM,过点D作DGOE于点G,而点B、C、D的坐标分别为:(4,0)、(0,4)、(1,5),则OBOC4,C
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