2017-2018学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷（含答案解析）

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1、2017-2018学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷一、选择图：（本大题共10个小，每小3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项悬符合题目求的.1（3分）已知点A（1，1），B（1，2），则向量（）A（0，1）B（2，3）C（2，3）D（2，1）2（3分）若直线过点（1，1），（2，1），则此直线的倾斜角的大小为（）A30B45C60D903（3分）在ABC中，若BC2+AC2AB2，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定4（3分）已知向量（x，1），（4，x），若向量和方向相同，则实数x的值是（）A2BC0D25（3分）给出下列说法：梯形的四个顶点共面

2、：三条平行直线共面：有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定3个平面其中正确的序号是（）ABCD6（3分）已知M是ABC的BC边上的中点，若，则等于（）A+B2C2D2+7（3分）已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，则该直四棱柱外接球的体积为（）A24B6C64D88（3分）直线x2y+10关于直线x1对称的直线方程是（）Ax+2y10B2x+y10C2x+y30Dx+2y309（3分）记知a，b表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A若a，b，则abB若ab，a，b，则C若ab，a，则b或bD若直线a与b异面a，b，则10（3分）当a为任意实数时，

3、直线（a1）xy+a+10恒过定点C，则以C为心，半径为3的圆的方程是（）Ax2+y22x+4y+40Bx2+y2+2x+4y40Cx2+y22x4y+40Dx2+y2+2x4y40二、填空题：（本大题共5个小题每小题3分，共15分，）11（3分）在ABC中，BC2，AC2，C150，则ABC的面积为   12（3分）已知点（a，2）（a0）到直线l：xy+30的距离为1，则a   13（3分）如图，A，B两点在河的对岸，测量者在A的同侧选定一点C，测出A，C之间的距离是100米，BAC105，ACB45，则A、B两点之间为   米14（3分）一个几何体的三视图如

4、图所示，则该几何体的表面积   15（3分）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为   三、解答题：本大共5个小题，共55分，解应写出文字说明，证明过程或演算步得分评尝人16（8分）已知直线l1：x+ay+20和l2：2x+3y+10（）若l1与l2互相垂直，求a的值；（）若l1与l2互相平行，求l1与l2间的距离17（10分）已知非零向量，满足|1，且（）（+）（1）求|；（2）当，求向量与的夹角的值18（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点

5、C和D，且|CD|4（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程19（12分）在ABC中，（）求AB的值；（）求的值20（13分）如图在四棱锥PABCE中，PA2，PC，PD，E是PB的中点，底面是四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2（）求证：平面EAC平面PBC；（）求二面角PACE的余弦值；（）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值2017-2018学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择图：（本大题共10个小，每小3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项悬符合题目求的.1（3分）已知点A（1，1），B（1，2），则向量（）A（0，1

6、）B（2，3）C（2，3）D（2，1）【分析】利用向量坐标运算性质即可得出【解答】解：向量（1，2）（1，1）（2，3），故选：B【点评】本题考查了向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（3分）若直线过点（1，1），（2，1），则此直线的倾斜角的大小为（）A30B45C60D90【分析】根据tank，即可求出直线的倾斜角的大小【解答】解：直线过点（1，1），（2，1），设直线的倾斜角为，则tank，60，故选：C【点评】本题考查了直线的斜率公式以及斜率和倾斜角的关系，属于基础题3（3分）在ABC中，若BC2+AC2AB2，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角

7、形D不能确定【分析】由已知利用余弦定理可求cosC0，结合C的范围可得C为钝角，即可得解【解答】解：BC2+AC2AB2，BC2+AC2AB20，由余弦定理可得：cosC0，C（0，），C（，），即三角形为钝角三角形故选：C【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题4（3分）已知向量（x，1），（4，x），若向量和方向相同，则实数x的值是（）A2BC0D2【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：向量和方向相同，可得x240，且x0，解得x2故选：D【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（3分）给出下列说法：梯形的四个顶点共面：三条平行直线共

8、面：有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定3个平面其中正确的序号是（）ABCD【分析】根据梯形的两底平行，结合公理2，可判断；根据三棱柱的三条侧棱的位置关系，可判断；根据公理3，可判断；反例可判断【解答】解：梯形的两底平行，根据两平行线确定一个平面知，正确；三棱柱的三条侧棱相互平行，但不共面，错误；有三个共线公共点的两个平面可以相交，错误；三条直线两两相交，可以确定3个平面，也可能每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面确定1个平面，错误；故选：A【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了平面的基本性质，难度不大，属于基础题6（3分）已知M是ABC的BC边上的中点，若，则等于（

9、）A+B2C2D2+【分析】根据，即可解得2【解答】解：，解得2故选：B【点评】本题考查了向量中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（3分）已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，则该直四棱柱外接球的体积为（）A24B6C64D8【分析】求出球的半径，即可求出外接球的体积【解答】解：直四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，外接球的直径就是体对角线的长度，所以外接球的半径为：则该直四棱柱外接球的体积为：8故选：D【点评】本题考查几何体的外接球的体积的应用，直四棱柱的性质等，考查计算能力8（3分）直线x2y+10关于直线x1对称的直线方程是（）Ax+2y10B2x+y

10、10C2x+y30Dx+2y30【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x1对称点为（2x，y）在直线x2y+10上，2x2y+10化简得x+2y30故选答案D解法二：根据直线x2y+10关于直线x1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x1选答案D故选：D【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法本题还有点斜式、两点式等方法9（3分）记知a，b表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A若a，b，

11、则abB若ab，a，b，则C若ab，a，则b或bD若直线a与b异面a，b，则【分析】A，当a，b，时，a与b可能平行、相交或异面；B，当ab，a，b时，与平行或相交；C，当ab，且a时，b或b；D，当直线a与b异面，且a，b时，与平行或相交【解答】解：对于A，当a，b，时，a与b可能平行、相交或异面，A错误；对于B，当ab，a，b时，与平行或相交，B错误；对于C，当ab，且a时，a且a，则b或b，C正确；对于D，当直线a与b异面，且a，b时，与平行或相交，D错误故选：C【点评】本题考查了用符号语言表示空间中的线线、线面和面面的位置关系应用问题，是基础题10（3分）当a为任意实数时，直线（a1）

12、xy+a+10恒过定点C，则以C为心，半径为3的圆的方程是（）Ax2+y22x+4y+40Bx2+y2+2x+4y40Cx2+y22x4y+40Dx2+y2+2x4y40【分析】先把直线方程分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线经过定点的坐标，由此可得要求的圆的标准方程【解答】解：直线（a1）xy+a+10，即a（x+1）xy+10，令x+10，可得 x+y10，求得，故直线恒过定点C的坐标为（1，2）故以C为心，半径为3的圆的方程是 （x+1）2+（y2）29，即 x2+y2+2x4y40，故选：D【点评】本题主要考查经过定点的直线，求圆的标准方程，属于中档题二、填空题：（

13、本大题共5个小题每小题3分，共15分，）11（3分）在ABC中，BC2，AC2，C150，则ABC的面积为1【分析】根据题目的条件，直接求出三角形的面积即可【解答】解：在ABC中，BC2，AC2，C150，则ABC的面积为：BCACsinC1故答案为：1【点评】本题是基础题，考查三角形面积的求法，考查计算能力12（3分）已知点（a，2）（a0）到直线l：xy+30的距离为1，则a【分析】由点到直线的距离公式表示出已知点到直线l的距离d，让d等于1列出关于a的方程，求出方程的解，根据a大于0，得到满足题意的a的值【解答】解：点（a，2）（a0）到直线l：xy+30的距离d1，化简得：|a+1|，

14、解得a1或a1，又a0，所以a1不合题意，舍去，则a1故答案为：1【点评】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题学生在求a时注意a0这个条件13（3分）如图，A，B两点在河的对岸，测量者在A的同侧选定一点C，测出A，C之间的距离是100米，BAC105，ACB45，则A、B两点之间为100米【分析】在ABC中，利用正弦定理，即可得到结论【解答】解：BAC105，ACB45，ABC30AC100米AB100米故答案为：100【点评】本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题14（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积3+4【分析】原几何体为圆柱的一

15、半，且高为2，底面圆的半径为1，表面积由上下两个半圆及正面的正方形和侧面圆柱面积构成，分别求解相加可得答案【解答】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为S212+22+2123+4故答案为：3+4【点评】本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题15（3分）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为【分析】可作出图形，并连接AE，得到AEBC，根据条件可得出，从而，这样带入进行数量积的运算即可求出该数量

16、积的值【解答】解：如图，连接AE，则AEBC；根据条件，DE，且DE2EF；故答案为：【点评】考查等边三角形的中线也是高线，向量垂直的充要条件，向量数乘和加法的几何意义，向量数量积的运算三、解答题：本大共5个小题，共55分，解应写出文字说明，证明过程或演算步得分评尝人16（8分）已知直线l1：x+ay+20和l2：2x+3y+10（）若l1与l2互相垂直，求a的值；（）若l1与l2互相平行，求l1与l2间的距离【分析】（I）由l1与l2互相垂直，可得1，解得a（II）由l1与l2互相平行，可得，解得a，再利用平行线之间的距离公式即可得出【解答】解：（I）l1与l2互相垂直，1，解得a（II）由

17、l1与l2互相平行，解得a直线l1化为：2x+3y+40，l1与l2间的距离d【点评】本题考查了直线相互平行与垂直与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17（10分）已知非零向量，满足|1，且（）（+）（1）求|；（2）当，求向量与的夹角的值【分析】（1）利用向量的数量积转化求解即可（2）利用向量的数量积求解向量与的夹角的值【解答】解：（1）非零向量，满足|1，且（）（+），可得：，|；（2）当，所以：，可得cos，向量与的夹角的值为：【点评】本题考查向量的数量积公式的应用，考查计算能力18（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（1，0）和B（3，4），线

18、段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程【分析】（1）由题意知直线CD垂直平分线段AB，由A、B的坐标求得AB所在直线的斜率，可得CD所在直线的斜率，再由中点坐标公式求得AB中点坐标，代入直线方程点斜式得答案；（2）由题意知线段CD为圆的直径，可得r2设圆P的方程为（xa）2+（yb）240，把A、B的坐标代入圆的方程，联立求得a，b的值，则圆的方程可求【解答】解：（1）由题意知直线CD垂直平分线段AB，A（1，0），B（3，4），AB的中点M（1，2），又，kCD1，直线CD的方程为：y21（x1），即x+y30；（2）由题意知线段CD为圆的

19、直径，2r，得r2设圆P的方程为（xa）2+（yb）240，圆经过点A（1，0）和B（3，4），解得或圆P的方程为（x+3）2+（y6）240或（x5）2+（y+2）240【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题19（12分）在ABC中，（）求AB的值；（）求的值【分析】（）利用正弦定理化简可得AB的值（） 利用余弦定理求解cosA，在求解sinA，和与差公式打开即可求的值【解答】解：（）在ABC中，根据正弦定理，于是AB（）在ABC中，根据余弦定理，得cosA于是sinA从而sin2A2sinAcosA，则cos2Acos2Asin2A，故得sin2Acoscos

20、2Asin【点评】本题考查了正余弦定理的运用和和与差以及同角函数关系式，正余弦函数的二倍角公式的计算属于基础题20（13分）如图在四棱锥PABCE中，PA2，PC，PD，E是PB的中点，底面是四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2（）求证：平面EAC平面PBC；（）求二面角PACE的余弦值；（）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【分析】（）由题意可得ACPC，由AC2+BC2AB2，可求得ACBC，从而有AC平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证得平面EAC平面PBC；（）欲求二面角PACE的余弦值，首先找到PCE即为二面角PACE的平面角然后利用余弦定理进行解答

21、即可；（）作PFCE，F为垂足连接AF，说明PAF就是直线PA与平面EAC所成角然后解三角形即可求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值【解答】（）证明：AC2+PC2PA2，DC2+PC2PD2，PCAC，PCDC，即可得PC平面ABCD，AB2，ADCD1，ACBC，AC2+BC2AB2，ACBC，又BCPCC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC（）解：由（）知AC平面PBC，ACCP，ACCE，PCE即为二面角PACE的平面角在在RTPCB中，PC，BC，E为中点，可得可得PECE，cosPCE二面角PACE的余弦值为；（）解：作PFCE，F为垂足由（）知平面EAC平面PBC，又平面EAC平面PBCCE，PF面EAC，连接AF，则PAF就是直线PA与平面EAC所成的角由（）知CE，由等面积法可知，PF在在RTPAC中，PC，AC，得PA2，sinPAF即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力属于中档题