2017-2018学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷（含答案解析）

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1、2017-2018学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）全集UZ；A2，1，1，2，Bx|x23x+20，则AUB（）A1，2B1，2C2，1D1，22（5分）若函数f（x）x3+x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f （1）2f （1.5）0.625f （1.25）0.984f （1.375）0.260f （1.4375）0.162f （1.40625）0.054那么方程x3+x22x20的一个近似根（精确到0.1）为（）A1.2B1.3C1.

2、4D1.53（5分）函数f（x）+lg（10x）的定义域为（）ARB（，1）（1，+）C1，10D（1，10）4（5分）设集合AR，集合By|y0，下列对应关系中是从集合A到集合B的映射的是（）Axy|x|BxyCD5（5分）若alog23，blog32，c2，dlog2，则a，b，c，d的大小关系是（）AabcdBdbcaCdcbaDcdab6（5分）设函数f（x）若f（x）是奇函数，则f（2）的值是（）AB4CD47（5分）设函数f（x）xlnx（x0），则yf（x）（）A在区间（，1），（1，e）内均有零点B在区间（，1），（1，e）内均无零点C在区间（，1）内有零点，在区间（1，e内无

3、零点D在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点8（5分）已知函数y2x与函数yf（x）的图象关于直线yx对称，则不等式f（1）0的解集为（）A（2，1B2，1C（，10，+）D（2，0）9（5分）函数f（x）log2|x1|的图象大致是（）ABCD10（5分）已知函数f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A0a3Ba2C2a3D0a2或a311（5分）设函数f（x）定义在实数集上，f（1+x）f（1x），且当x1时，则有（）ABCD12（5分）已知函数f（x），若f（x1）f（x2）f（x3）（x1、x2、x3互不相等），且x1+x2+x3的取值范围为（1，8），则实数m的值

4、为（）A0B1C1D2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知函数g（x）（a+1）x2+1（a0）的图象恒过定点A，则点A的坐标为 14（5分）已知幂函数f（x）（mZ）的图象关于y轴对称，并且f（x）在第一象限是单调递减函数，则m 15（5分）函数f（x）（x22x3）的单调递增区间为 16（5分）已知函数f（x）|log2x|，正实数m，n满足mn，且f（m）f（n），若f（x）在区间m2，n上的最大值为2，则n+m 三、解答题（本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程）17（10分）（1）计算0.（）0+（2）3+|0.；（2）lg25

5、+lg（2）18（12分）设集合Ay|y2x，1x2，Bx|0lgx1，Cx|t+1x2t，tR（1）求AB；（2）若ACC，求t的取值范围19（12分）已知函数f（x）是定义在（1，1）上的奇函数，且（1）确定函数f（x）的解析式；（2）当x（1，1）时判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）解不等式f（2x1）+f（x）020（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米

6、/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当0x200时，求函数v（x）的表达式；（）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）xv（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/时）21（12分）函数f（x）对一切实数x、y均有f（x+y）f（y）x（x+2y+1）成立，且f（1）0（）求函数f（x）的解析式（）解不等式f（|x3|）4（）对任意的x1（0，），x2（0，），都有f（x1）+2loga（x2），求实数a的取值范围22（12分）定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（x）f（x），则称f

7、（x）为“局部奇函数”（1）已知二次函数f（x）ax2+2x4a（aR），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（x）f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）2x+m是定义在区间1，1上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围（3）若f（x）4xm2x+1+m23为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围2017-2018学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）全集UZ；A2，1，1，2，Bx|x23x+20，则AUB

8、（）A1，2B1，2C2，1D1，2【分析】求出集合B中方程的解确定出B，找出U中不属于B的部分求出B的补集，找出A与B补集的公共部分即可确定出所求的集合【解答】解：全集UZ，Bx|x23x+201，2，CBx|xZ，且x1，x2，又A2，1，1，2，则ACB2，1故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2（5分）若函数f（x）x3+x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f （1）2f （1.5）0.625f （1.25）0.984f （1.375）0.260f （1.4375）0.162f （1.40625）0.0

9、54那么方程x3+x22x20的一个近似根（精确到0.1）为（）A1.2B1.3C1.4D1.5【分析】由图中参考数据可得f（1.437500，f（1.40625）0，又因为题中要求精确到0.1可得答案【解答】解：由图中参考数据可得f（1.43750）0，f（1.40625）0，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为 1.4故选：C【点评】本题本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束3（5分）函数f（x）+lg（10x）的定义域为（）ARB（，1）（1，+）C1，10D（1，10）【分析】

10、根据函数成立的条件进行求解即可【解答】解：要使函数有意义，则，得，即1x10，即函数的定义域为（1，10），故选：D【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式组关系是解决本题的关键4（5分）设集合AR，集合By|y0，下列对应关系中是从集合A到集合B的映射的是（）Axy|x|BxyCD【分析】对于选项A，集合A中的元素0在集合B中没有像对于选项B，集合A中的元素1在集合B中没有像对于选项D，函数的定义域不是R，只有选项C才满足映射的定义【解答】解：|0|0，而 0R+，集合A中的元素0在集合B中没有像，故选项A 不是映射对于选项B，集合A中的元素1在集合B中没有像，故选

11、项B不是映射对于选项C，集合A中的所有元素在集合B中都有唯一的像和它对应，故选项C是映射对于选项D，由于函数的定义域不是R，故选项D不是映射故选：C【点评】本题考查映射的定义，对于前一个集合中的任何一个元素在后一个集合中都有唯一确定的元素和它对应，这样的对应才是映射5（5分）若alog23，blog32，c2，dlog2，则a，b，c，d的大小关系是（）AabcdBdbcaCdcbaDcdab【分析】根据底数大于1对数函数为增函数，可得a是大于1的数且b（0，1）又根据底数小于1而大于0的对数函数为减函数，得c（1，0）且d1，由此即可得到本题的答案【解答】解：log23log221，而0lo

12、g32log3310b1a又10，c（1，0）1，d1综上所述，得d1c0b1a，即dcba故选：C【点评】本题比较几个对数值的大小，着重考查了对数函数的单调性和特殊对数值等知识，属于基础题6（5分）设函数f（x）若f（x）是奇函数，则f（2）的值是（）AB4CD4【分析】由已知可得，f（2）f（2），代入已知函数解析式中即可求解【解答】解：f（x）且f（x）是奇函数，f（2）f（2）224故选：D【点评】本题主要考查了奇函数性质的应用，属于基础试题，本题也可以先把函数解析式求出，然后代入求解7（5分）设函数f（x）xlnx（x0），则yf（x）（）A在区间（，1），（1，e）内均有零点B在区

13、间（，1），（1，e）内均无零点C在区间（，1）内有零点，在区间（1，e内无零点D在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点【分析】根据函数零点定理，函数的零点即是方程的解，得到函数f（x）有唯一的零点x1，故判断即可【解答】解：令函数f（x）xlnx0，解得x1，函数f（x）有唯一的零点x1，故选：B【点评】本题考查了函数零点定理，函数的零点即是方程的解，属于基础题8（5分）已知函数y2x与函数yf（x）的图象关于直线yx对称，则不等式f（1）0的解集为（）A（2，1B2，1C（，10，+）D（2，0）【分析】根据反函数的性质可知f（x）log2x，再利用对数函数的单调性解不等式【解答

14、】解：函数y2x与函数yf（x）的图象关于直线yx对称，f（x）log2x，f（1）0log2（1）00112解得2x1故选：A【点评】本题考查了对数函数的性质，不等式的解法，属于中档题9（5分）函数f（x）log2|x1|的图象大致是（）ABCD【分析】对x的取值进行讨论去掉绝对值符号，转化成对数函数的形式，再结合函数的解析式判断单调性，结合特殊值选出图象【解答】解：原函数可化为ylog2|x1|由复合函数的单调性知x1时函数ylog2（1x）单调递减，x1时函数ylog2（x1）单调递增，且f（）0，只有图象B符合，故选：B【点评】“函数”是贯穿于高中数学的一条主线，函数图象又是表述函数问

15、题的重要工具，因此，巧妙运用函数图象结合函数的解析式，是解题的关键，是基础题10（5分）已知函数f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A0a3Ba2C2a3D0a2或a3【分析】由二次函数和对数函数的单调性，结合单调性的定义，解不等式即可得到所求范围【解答】解：当x1时，f（x）x2+ax2的对称轴为x，由递增可得，1，解得a2；当x1时，f（x）logax递增，可得a1；由xR，f（x）递增，即有1+a2loga10，解得a3综上可得，a的范围是2a3故选：C【点评】本题考查分段函数的单调性的运用，注意运用定义法，同时考查二次函数和对数函数的单调性的运用，属于中档题11（5分）设函

16、数f（x）定义在实数集上，f（1+x）f（1x），且当x1时，则有（）ABCD【分析】由f（1+x）f（1x），得函数f（x）关于x1对称，根据函数的单调性判断函数的单调性，利用函数的单调性进行比较即可【解答】解：由f（1+x）f（1x），得函数f（x）关于x1对称，当x1时，为减函数，则当x1时，函数f（x）为增函数，f（2）f（1+1）f（11）f（0），f（0）f（）f（），即f（2）f（）f（），故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的对称性，根据函数对称性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键12（5分）已知函数f（x），若f（x1）f（x2）f（x3）（x1

17、、x2、x3互不相等），且x1+x2+x3的取值范围为（1，8），则实数m的值为（）A0B1C1D2【分析】画出函数的图象，利用函数的对称性求解x3的范围，通过函数值相等转化求解m即可【解答】解：作出f（x）的图象，如图所示，可令x1x2x3，则有图知点（x1，0），（x2，0），关于直线x对称，所以x1+x21，又x1+x2+x3的取值范围为（1，8），所以2x39，由于f（x1）f（x2）f（x3）（x1、x2、x3互不相等），结合图象可知点A的坐标为（9，3），代入函数解析式，得3log2（9m），解得m1故选：C【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查分析

18、问题解决问题的能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知函数g（x）（a+1）x2+1（a0）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（2，2）【分析】令x20，得x2，则g（2）（a+1）0+12，由此求出函数g（x）的图象恒过定点A（2，2）【解答】解：函数g（x）（a+1）x2+1（a0）的图象恒过定点A，令x20，得x2，则g（2）（a+1）0+12，所以函数g（x）的图象恒过定点A（2，2）故答案为：（2，2）【点评】本题考查函数红过的定点的坐标的求法，考查指数函数性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）已知幂函数f（x）（mZ

19、）的图象关于y轴对称，并且f（x）在第一象限是单调递减函数，则m1【分析】推导出m22m3为偶数，m22m30，mZ，由此能求出m【解答】解：幂函数f（x）（mZ）的图象关于y轴对称，函数f（x）（mZ）是偶函数，m22m3为偶数，m22m为奇数，又f（x）在第一象限是单调递减函数，m22m30，又mZ，m1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15（5分）函数f（x）（x22x3）的单调递增区间为（，1）【分析】先求函数的定义域为x|x3或x1，要求函数的单调递增区间，只要求解函数tx22x3在（，1）单调递减区间

20、即可【解答】解：函数的定义域为x|x3或x1令tx22x3，则y因为y在（0，+）单调递减tx22x3在（，1）单调递减，在（3，+）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（，1）故答案为：（，1）【点评】本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，解本题时容易漏掉对函数的定义域的考虑，写成函数的单调增区间为：（，1），是基础题16（5分）已知函数f（x）|log2x|，正实数m，n满足mn，且f（m）f（n），若f（x）在区间m2，n上的最大值为2，则n+m【分析】先结合函数f（x）|log2x|的图象和性质，再由f（m）f（n），得到m，n的倒数关系，再由“若f（x）在区间m2，

21、n上的最大值为2”，求得mn的值得到结果【解答】解：f（x）|log2x|，且f（m）f（n），mn1若f（x）在区间m2，n上的最大值为2|log2m2|2mn，mn2n+m故答案为：【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，特别是取绝对值后考查的特别多，解决的方法多数用数形结合法三、解答题（本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程）17（10分）（1）计算0.（）0+（2）3+|0.；（2）lg25+lg（2）【分析】（1）利用指数的性质、运算法则直接求解（2）利用对数的性质、运算法则直接求解【解答】解：（1）0.（）0+（2）3+|0.1+（2）4+0.0.41+

22、（2）lg25+lg（2）（lg5+lg2）+3【点评】本题考查对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18（12分）设集合Ay|y2x，1x2，Bx|0lgx1，Cx|t+1x2t，tR（1）求AB；（2）若ACC，求t的取值范围【分析】（1）分别求出集合A，B，由此能求出AB（2）由Cx|t+1x2t，tR，ACC，得CA，C是空集，则2tt+1，C非空，则，由此能求出t的取值范围【解答】解：（1）集合Ay|y2x，1x2y|2y4，Bx|0lgx1x|1x10，ABx|2x10（2）Cx|t+1x2t，tR，ACC，CA，

23、若C是空集，则2tt+1，得到t1，若C非空，则，得1t2，综上所述，t2，即t的取值范围是（，2【点评】本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19（12分）已知函数f（x）是定义在（1，1）上的奇函数，且（1）确定函数f（x）的解析式；（2）当x（1，1）时判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）解不等式f（2x1）+f（x）0【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得b的值，又由可得a的值，将a、b的值代入函数的解析式即可得答案；（2）设1x1x21，用作差法分析可得可得f（x1）f（x2），

24、由函数单调性的定义即可得证明；（3）由奇函数的性质可以将f（2x1）+f（x）0变形为f（2x1）f（x），结合函数的定义域与单调性可得，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，f（x）是奇函数，则有f（x）f（x），则有，解可得b0；f（x）f（），解可得a1.f（x）；（2）f（x）在（1，1）上为增函数；证明如下：设1x1x21，则f（x1）f（x2），1x1x21，则有（1+x12）0，（1+x22）0，（1x1x2）0，x1x20，则有f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）f（x）在（1，1）上为增函数；（3）f（2x1）+f（x）0，f（2x1）f（x），

25、又f（x）是定义在（1，1）上的奇函数，f（2x1）f（x），则有，解可得：0x；故不等式f（2x1）+f（x）0的解集为（0，）【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a、b的值，确定函数的解析式20（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当0x200时，求函数v（x）的表达式；（

26、）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）xv（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/时）【分析】（）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20x200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（）先在区间（0，20上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）1200，然后在区间20，200上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200上的最大值【解答】解：（） 由题意：当0x20时，v（x）60；当20x2

27、00时，设v（x）ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（）依题并由（）可得当0x20时，f（x）为增函数，故当x20时，其最大值为60201200当20x200时，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f（x）在区间（20，200上取得最大值综上所述，当x100时，f（x）在区间0，200上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时答：（） 函数v（x）的表达式（） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时【点评】本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解

28、决实际问题的能力，属于中等题21（12分）函数f（x）对一切实数x、y均有f（x+y）f（y）x（x+2y+1）成立，且f（1）0（）求函数f（x）的解析式（）解不等式f（|x3|）4（）对任意的x1（0，），x2（0，），都有f（x1）+2loga（x2），求实数a的取值范围【分析】（）运用赋值法和代换法求函数解析式；（）将|x3|看成一个整体对待求解不等式比较简单；（）由题目可知是双变量x1，x2的恒成立问题，故需要f（x1）+2maxg（x2）min，让右边保持不动，先处理左边，得到，转化为恒成立，然后按照常规的恒成立分类讨论即可【解答】（）注意到f（1）0，故令y1，代入原式得到f（x

29、+1）f（1）x（x+2+1）x2+3x，即f（x+1）x2+3x，令x+1t，则xt1，代入上式，得到f（t）（t1）2+3（t1）t2+t2，即f（x）x2+x2（）由f（x）4，即x2+x24，解得3x2，则由f（|x3|）4得到，3|x3|2，又|x3|0恒成立，故3|x3|2等价于|x3|2，解得2x32，则1x5，即不等式解集为（1，5）（）令logax2g（x2），则对任意的，都有f（x1）+2loga（x2）g（x2）恒成立，即f（x1）+2maxg（x2）min，而函数，在上单调递增，故f（x1）+2max的极限为，则题目转化为在区间上恒成立，此时需要求函数g（x2）min，

30、针对底数a分类讨论如下：当0a1时，函数g（x2）在区间上单调递减，故g（x2）min的极限为，即，由，得到，即；又0a1，则；当a1时，函数g（x2）在上单调递增，此时g（x2）min趋近于，不符的题意，故舍去；综上所述，实数a的取值范围为，即；【点评】（）常规的求函数解析式问题，难度不大，赋值法算是其中的一个亮点；（）整体法解不等式，这样会比较容易些；（）本问是双变量恒成立问题，先求得左端的最大值或者最大值的极限，然后再处理右端，碰到这类问题的处理策略就是“花开两朵，先表一支”同时注意涉及区间的开闭时，等号是否取得要特别注意22（12分）定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足

31、f（x）f（x），则称f（x）为“局部奇函数”（1）已知二次函数f（x）ax2+2x4a（aR），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（x）f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）2x+m是定义在区间1，1上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围（3）若f（x）4xm2x+1+m23为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围【分析】（1）利用局部奇函数的定义，建立方程f（x）f（x），然后判断方程是否有解即可；（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（x）f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案；（3）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（x）f（x

32、）有解的实数m的取值范围，可得答案；【解答】解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（x）f（x）有解（1）当f（x）ax2+2x4a（aR），时，方程f（x）f（x）即2a（x24）0，有解x2，所以f（x）为“局部奇函数” （3分）（2）当f（x）2x+m时，f（x）f（x）可化为2x+2x+2m0，因为f（x）的定义域为1，1，所以方程2x+2x+2m0在1，1上有解（5分）令t2x，2，则2mt+设g（t）t+，则g（t），当t（0，1）时，g（t）0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t（1，+）时，g（t）0，故g（t）在（1，+）上为增函数 （7分）所以t，2时，g（t

33、）2，所以2m2，即m，1 （9分）（3）当f（x）4xm2x+1+m23时，f（x）f（x）可化为4x+4x2m（2x+2x）+2m260t2x+2x2，则4x+4xt22，从而t22mt+2m280在2，+）有解即可保证f（x）为“局部奇函数”（11分）令F（t）t22mt+2m28，1 当F（2）0，t22mt+2m280在2，+）有解，由当F（2）0，即2m24m40，解得1m1+； （13分）2 当F（2）0时，t22mt+2m280在2，+）有解等价于，解得1+m2 （15分）（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为1m2 （16分）【点评】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力