2018-2019学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷（含答案解析）

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1、2018-2019学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|x2018，a2019，则下列关系中正确的是（）AaABaACaADaA2（5分）若cos0，sin0，则角是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角3（5分）已知幂函数f（x）xn的图象经过点，则f（9）的值为（）A3B3CD4（5分）已知f（x）log5x，则对于任意的a，b（0，+），下列关系中成立的是（）Af（a+b）f（a）+f（b）Bf（ab）f（a）+f（b）Cf（a+b）f（a）f

2、（b）Df（ab）f（a）f（b）5（5分）设alog0.71.7，blog0.71.8，c0.71.8，则（）AabcBcabCbacDcba6（5分）函数f（x）2x+3x7的零点所在的一个区间是（）ABCD7（5分）函数y（sinx+cosx）（sinxcosx）的最小正周期是（）ABC2D48（5分）已知向量（cos，sin），（2，1），且，则的值是（）A3B3CD9（5分）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度10（5分）已知f（x）是偶函数，且在0，+）上是减函数，若f（lnx）f（1），则

3、x的取值范围是（）A（1，0）（0，1）B（0，e）C（e，0）（0，e）D11（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为yx22x+1，值域为0，4，16的“孪生函数”共有（）A4个B5个C8个D9个12（5分）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为（）A150

4、0元B1550元C1750元D1800元二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知扇形的圆心角为2弧度，半径为3cm，则该扇形的面积是   cm214（5分）已知f（x）2x+2x，则f（log23）的值是   15（5分）“无字证明”（proofwithoutwords）就是将数学命题或公式用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来请根据如图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：   16（5分）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，AB4，若，则与的夹角的余弦值是   三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须

5、写出文字说明、证明过程和验算步骤17（10分）已知向量（1，2），（3，4），（5，k）（1）若（+）（）10，求实数k的值；（2）若向量满足，且，求向量18（12分）设全集UR，集合Ax|x24x120，Bx|（xa）（x2a）0（1）当a1时，求集合AUB；（2）若BA，求实数a的取值范围19（12分）已知函数f（x）loga（10+x）loga（10x）（a0，且a1）（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）0，求x的取值范围20（12分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）在R上的图象上一个最高点为，且图象的相邻两条对称轴之间的距离

6、为（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）求f（x）在上的最小值21（12分）如图，现要在一块半径为r（r0），圆心角为60的扇形纸板POQ上剪出一个平行四边形OABC，使点B在弧PQ上，点A在半径OP上，点C在半径OQ上（1）求S关于的函数关系式；（2）求S的最大值及相应的值22（12分）阅读下面材料：sin3sin（2+）sin2cos+cos2sin2sincos2+（12sin2）sin2sin（1sin2）+（sin2sin3）3sin4sin3解答下列问题：（1）证明：cos34cos33cos；（2）若函数在上有零点，求实数m的取值范围2018-2019学

7、年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|x2018，a2019，则下列关系中正确的是（）AaABaACaADaA【分析】根据集合A中元素满足的性质x2018，a2019，我们可以判断出元素a与集合A的关系【解答】解：集合Ax|x2018，a2019，aA故选：A【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键2（5分）若cos0，sin0，则角是（）A第一象限角B第二象

8、限角C第三象限角D第四象限角【分析】利用三角函数的定义，可确定y0，x0，进而可知在第四象限【解答】解：由题意，根据三角函数的定义sin0，cos0r0，y0，x0在第四象限，故选：D【点评】本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题3（5分）已知幂函数f（x）xn的图象经过点，则f（9）的值为（）A3B3CD【分析】推导出f（x），由此能求出f（9）【解答】解：幂函数f（x）xn的图象经过点，f（3）3n，解得n，f（x），f（9）93故选：A【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）已知f（x）log5x，则对于任意的a，b（

9、0，+），下列关系中成立的是（）Af（a+b）f（a）+f（b）Bf（ab）f（a）+f（b）Cf（a+b）f（a）f（b）Df（ab）f（a）f（b）【分析】根据对数的运算即可得出f（ab）f（a）+f（b），从而选B【解答】解：f（x）log5x，a，b（0，+）；f（ab）log5（ab）log5a+log5bf（a）+f（b）故选：B【点评】考查对数的定义，对数的运算性质5（5分）设alog0.71.7，blog0.71.8，c0.71.8，则（）AabcBcabCbacDcba【分析】容易看出，从而得出a，b，c的大小关系【解答】解：log0.71.8log0.71.7log0.71

10、0，0.71.80；bac故选：C【点评】考查对数函数的单调性，减函数的定义，指数函数的值域6（5分）函数f（x）2x+3x7的零点所在的一个区间是（）ABCD【分析】判断函数的单调性，由零点判定定理判断【解答】解：函数f（x）2x+3x7是连续增函数，f（1）2+370，f（）2+4.570，f（1）f（）0，故选：C【点评】本题考查了函数零点的判断，属于基础题7（5分）函数y（sinx+cosx）（sinxcosx）的最小正周期是（）ABC2D4【分析】由题意利用二倍角公式，余弦函数的周期性，得出结论【解答】解：函数y（sinx+cosx）（sinxcosx）sin2xcos2xcos2x

11、，故它的最小正周期是，故选：B【点评】本题主要考查二倍角公式，余弦函数的周期性，属于基础题8（5分）已知向量（cos，sin），（2，1），且，则的值是（）A3B3CD【分析】由已知求得tan，然后展开两角差的正切求解【解答】解：由（cos，sin），（2，1），且，得2cossin0，即tan2故选：C【点评】本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题9（5分）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【分析】由题意利用诱导公式、函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：为了得到函

12、数2sin（+）2sin（+）2sin（x+）的图象，只要将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，故选：C【点评】本题主要考查诱导公式、函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题10（5分）已知f（x）是偶函数，且在0，+）上是减函数，若f（lnx）f（1），则x的取值范围是（）A（1，0）（0，1）B（0，e）C（e，0）（0，e）D【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性可得f（lnx）f（1）|lnx|11lnx1，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，若f（x）是偶函数，且在0，+）上是减函数，则f（lnx）f（1）|lnx|11lnx1，解可得：xe，即x的取值

13、范围为（，e）；故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题11（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为yx22x+1，值域为0，4，16的“孪生函数”共有（）A4个B5个C8个D9个【分析】由yx22x+1分别等于0，4，16得x的取值，再选择确定定义域【解答】解：由题意知yx22x+10，则x1，yx22x+14，则x1或x3，yx22x+116，则x3或x5，所以孪生函数的定义域分别为1，1，3，1，1，5，1，3，3，1，3，5，1，1，3，3，1，1，3，5，1，3，5，1，1

14、，3，5，3，1，1，3，3，5共有9个，故选：D【点评】本题考查函数的三要素，属于简单题12（5分）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为（）A1500元B1550元C1750元D1800元【分析】设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，可得到获得的折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，结合y5025，

15、代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案【解答】解：设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元由题可知：yy5025x13000.1（x1300）+2550解得，x1550，1550501500，故此人购物实际所付金额为1500元故选：A【点评】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知扇形的圆心角为2弧度，半径为3cm，则该扇形的面积是9cm2【分析】利用扇形的面积公式即可计算得解【解答】解：由题意可得圆心角大小为2，半径为r3，则扇形的面积为Sr23229cm2故答

16、案为：9【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题14（5分）已知f（x）2x+2x，则f（log23）的值是【分析】推导出f（log23）+，由此能求出结果【解答】解：f（x）2x+2x，f（log23）+3+故答案为：【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算能力，是基础题15（5分）“无字证明”（proofwithoutwords）就是将数学命题或公式用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来请根据如图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：cos（+）coscossinsin，sin（+）sincos+cossin【分析】令AC1，ACB，BCE，然后分

17、别在四个直角三角形中利用锐角三角函数的定义求出边长，根据CDCEAF和ADEB+BF可得结果【解答】解：令AC1，ACB，BCE，在直角三角形ABC中，AC1，ACB，则BCcos，ABsin，在直角三角形BCE中，BCcos，BCE，则CEcoscos，EBcossin，在直角三角形AFB中，ABsin，ABF，则BFsincos，AFsinsin，CDCEDECEAFcoscossinsin，ADEFBF+EBsincos+cossin，在直角三角形ADC中，CDcos（+）ACcos（+），故cos（+）coscossinsinADsin（+）ACsin（+），故sin（+）sincos

18、+cossin故答案为：cos（+）coscossinsin，sin（+）sincos+cossin【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题16（5分）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，AB4，若，则与的夹角的余弦值是【分析】可根据条件，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系，从而得出A，B，D的坐标，并设，根据即可求出x1，从而得出，进而得出点E的坐标，从而可求出的坐标，这样即可求出与夹角的余弦值【解答】解：分别以边AB，AD所在的直线为x，y轴，建立如图所示直角坐标系，则：A（0，0），B（4，0），D（0，），设；4x4；x1；，且；E是BC的中点；，；故答

19、案为：【点评】考查通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的数量积运算，以及向量夹角的余弦公式三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和验算步骤17（10分）已知向量（1，2），（3，4），（5，k）（1）若（+）（）10，求实数k的值；（2）若向量满足，且，求向量【分析】（1）由（+）（）10，结合向量的数量积的坐标表示即可求解；（2）由，结合向量共线定理可表示（，2），然后结合，及向量数量积性质的坐标表示即可求【解答】解：（1）（1，2），（3，4），（5，k），+（2，6），（4，2k），（+）（）10，2（4）+6

20、（2k）10，解可得，k5（2），（，2），2+4245，3，（3，6）或（3，6）【点评】本题主要考查了向量平行及向量数量积的坐标表示，属于基础试题18（12分）设全集UR，集合Ax|x24x120，Bx|（xa）（x2a）0（1）当a1时，求集合AUB；（2）若BA，求实数a的取值范围【分析】（1）当a1时，求出集合A，B的等价条件，解补集和交集的定义进行求解即可（2）讨论a的范围，根据BA，建立不等式关系进行求解即可【解答】解：（1）Ax|x24x120x|2x6，若a1，则Bx|（x1）（x2）0x|1x2则UBx|x2或x1，则AUBx|2x6或2x1（2）若a0，则B，满足BA，当

21、a0时，Bx|ax2a，若BA，则，得0a3，当a0时，Bx|2axa，若BA，则，得1a0，综上1a3，即实数a的取值范围是1，3【点评】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，根据条件转化为不等式是解决本题的关键19（12分）已知函数f（x）loga（10+x）loga（10x）（a0，且a1）（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）0，求x的取值范围【分析】（1）根据对数函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可（3）讨论a1和0a1，利用函数单调性进行求解即可【解答】解：（1）要使函数有意义，则得，即1

22、0x10，即函数的定义域为（10，10）（2）函数的定义域关于原点对称，则f（x）loga（10x）loga（10+x）loga（10+x）loga（10x）f（x），即函数f（x）是奇函数（3）若f（x）0，则f（x）loga（10+x）loga（10x）0，即loga（10+x）loga（10x），若a1，则，得，得0x10，若0a1，则得，得10x0，即当a1时，不等式的解集为（0，10），当0a1时，不等式的解集为（10，0）【点评】本题主要考查对数的性质，结合对数函数成立的条件可以求出函数的定义域，结合函数单调性的性质可以求出不等式20（12分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0

23、，0，0）在R上的图象上一个最高点为，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）求f（x）在上的最小值【分析】（1）直接利用函数的周期，最值，最高点，求出函数的解析式（2）利用整体思想求出函数的单调区间（3）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最小值【解答】解：（1）函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为则：T，解得：2在R上的图象上一个最高点为，所以：A4，解得：故f（x）4sin（2x+）（2）令（kZ），解得：（kZ），故函数的单调递减区间为：（kZ）（3）由于，故：整理得：，故：所

24、以当x时，函数的最小值为2【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，利用含糊是的定义域求函数的值域，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题21（12分）如图，现要在一块半径为r（r0），圆心角为60的扇形纸板POQ上剪出一个平行四边形OABC，使点B在弧PQ上，点A在半径OP上，点C在半径OQ上（1）求S关于的函数关系式；（2）求S的最大值及相应的值【分析】（1）过点B作BMOP于M，则BMrsin，OMrcos，OAOMAMrcosrsin，即可表示平行四边形的面积，（2）根据三角形的性质即可求求出面积的最值【解答】解：（1）过点B作BMOP于M，则

25、BMrsin，OMrcos，OAOMAMrcosrsin设平行四边形OABC的面积为S，则SOABM（rcosrsin）rsinr2（cossinsin2）r2sin2（1cos2）r2（sin2+cos2）r2sin（2+30）r2，即Sr2sin（2+30）r2，060，（2）因为060，所以302+30150，所以sin（2+30）1所以当2+3090，即30时，S的值最大为r2即S的最大值是r2，相应的值是30【点评】本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题22（12分）阅读下面材料：sin3sin（2+）sin2cos+cos2sin

26、2sincos2+（12sin2）sin2sin（1sin2）+（sin2sin3）3sin4sin3解答下列问题：（1）证明：cos34cos33cos；（2）若函数在上有零点，求实数m的取值范围【分析】（1）仿照sin3的公式推导；（2）利用sin3，cos3的公式化简f（x）m（sinx+cosx）3sinxcosx4，再换元，令tsinx+cosx（1，得f（t）2t2+mt2，令f（t）0得m+2t，转化为求函数值域可得【解答】解：（1）证明：cos3cos（2+）cos2cossin2sin（2cos21）cos2sin2cos2cos3cos+2（1cos2）cos4cos33c

27、os，即cos34cos33cos（2）f（x）+m（sinxcos+cosxsin）5+m（sinx+cosx）5+m（sinx+cosx）54（1cosxsinx）3+m（sinx+cosx）5m（sinx+cosx）4sinxcosx4，令tsinx+cosxsin（x+），x（0，），x+（，），sin（x+）（，1，t（1，又（sinx+cosx）21+2sinxcosx，sinxcosx，g（t）mt2（t21）42t2+mt2，t（1，令g（t）0得m+2t，y+2t在（1，上单调递增（可用导数证明），+2t（4，3，m（4，3，m（4，6【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题