专题1.4 极值点偏移第二招——含参数的极值点偏移问题-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

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1、含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.例1. 已知函数有两个不同的零点，求证：. 不妨设，记，则， 因此只要证明：，再次换元令，即证构造新函数，求导，得在上递增，学*科网所以，因此原不等式获证.例2. 已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设，学%科网，欲证明，即证.，即证，原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.法三：直接换元构造新函数：设，则，反解出：

2、，学*科网故，转化成法二，下同，略.例3.已知是函数的两个零点，且.（1）求证：；（2）求证：. (2) 要证：，即证：，等价于，学*科网也即，等价于，令等价于，也等价于，等价于即证：令，则，又令，得，在单调递减，从而，在单调递减，即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.学*科网例4.已知函数，若存在，使，求证：.来源:学科网再证：.，而，.证毕.【招式演练】来源:学*科*网Z*X*X*K设函数的图像与轴交于两点，（1）证明：；（2）求证：.（2）证明：由，易知且，学科.网从而，令

3、，则，由于，下面只要证明：，结合对数函数的图像可知，只需证：两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可，又因为，即证：，令，则，在上单调递减，学*科网原不等式成立.设函数，其图像在点处切线的斜率为.当时，令，设是方程的两个根，是的等差中项，求证：(为函数的导函数）.设函数，函数为的导函数，且是的图像上不同的两点，满足，线段中点的横坐标为，证明：【解析】，又依题意，得在定义域上单调递增，所以要证，只需证，即不妨设，注意到，由函数单调性知，有，学*科网构造函数，则，当时，即单调递减，当时，从而不等式式成立，故原不等式成立. 学*科网已知函数.（1）若，求函数在上的零点个数；（2）若有两零点（），求证：

4、.【点评】1.方程的变形方向：是函数的两个零点，1是该函数的极值点.是函数的两个零点，是该函数的极值点.2.难点的证明依赖利用放缩.已知函数f(x)=12x2+(1-a)x-alnx .（）讨论的单调性；（）设a0，证明：当0xa时，f(a+x)f(a-x) ；（）设是f(x)的两个零点，证明 .【答案】（）f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增；（）当0xa时，；（）证明过程见解析（）令g(x)=f(a+x)-f(a-x)，则g(x)=12(a+x)2+(1-a)(a+x)-aln(a+x)-12(a-x)2+(1-a)(a-x)-aln(a-x) =2x-aln(a+x)+

5、aln(a-x) . 学科网求导数，得g(x)=2-aa+x-aa-x=-2x2a2-x2 ，当时0xa，g(x)0，g(x)在(0,a)上是减函数.而g(0)=0，g(x)g(0)=0 ，故当0xa时，f(a+x)0，从而f(x)的最小值为f(a)，且f(a)0，不妨设0x1x2，则0x1ax2，0a-x1a ，由（）得f(2a-x1)=f(a+a-x1)2a-x1，于是x1+x22a，由（）知，f(x1+x22)0 . 学*科网已知函数（）.（）若，求函数的单调递增区间；（）若函数，对于曲线上的两个不同的点，记直线的斜率为，若，证明：.【答案】（1）（2）见解析 由题设得 .又 ， .学科

6、网不妨设， ，则，则 .令 ，则，所以在上单调递增，所以，学*科网故.来源:Zxxk.Com又因为，因此，即.又由知在上单调递减，所以，即.已知函数，（）求过点且与曲线相切的直线方程；（）设，其中为非零实数，有两个极值点，且，求的取值范围；（）在（）的条件下，求证：来源:学科网【答案】（1）（2）见解析来源:Zxxk.Com，解得切线的斜率为，切线方程为（） ， 当时，即时， ， 在上单调递增；当时，由得， ， ，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，由得， ， 在上单调递减，在上单调递增当时， 有两个极值点，即， ，即的范围是学*科网来源:学科网点睛：利用导数证明不等式常见类型及

7、解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有两个零点， （， ），证明： .【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）欲证证，学科#网在上递增， （2）， ，来源:学科网令，易知在递减， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，来源:Zxxk.Com要合题意，如图，右大于左，原题得证【新题试炼】【2019江西九江一模】已知函数（）若函数存在最小值，且最

8、小值大于，求实数的取值范围；（）若存在实数，使得，求证：函数在区间上单调递增。【答案】() ()详见解析（）由（）可知，要存在实数x1，x2，使得f（x1）f（x2），则a0，f（x）在（0，a）递减，在（a，+）递增，不妨设0x1x2，则0x1a，令h（x）f（x）f（2ax），x（0，a），则h（x），x（0，a）时，h（x）0，h（x）在（0，a）递减，x1（0，a），h（x1）h（a）f（a）f（a）0，即f（x1）f（2ax1）0，f（x1）f（2ax1），f（x1）f（x2），f（x2）f（2ax1），0x1a，2ax1a，f（x）在（a，+）递增，学.科网x22ax1，a，函数f（x）在区间，+）递增，x1x2，函数f（x）在区间，+）上单调递增【2019山东郓城一中月考】已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若函数的图象与直线交于,两点，线段中点的横坐标为，证明：为的导函数.【答案】（1）答案见解析；（2）见解析.当，即时，在上；在上；故在和上为增函数；在上为减函数；当，即时，在上；在上；故在上为增函数；在上为减函数. 学%科网 即证 ，又因为在上单调递减来源:Zxxk.Com即证，又故只需证即证：当时，.设则所以在单调递减，又因为，故得证来源:学,科,网