专题2.15 超越方程反解难巧妙构造变简单-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

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1、【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程超越方程的求解无法利用代数几何来进行大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解在探求诸如，方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域2、求导数，得单调区间和极值点3、画出函数草图4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解【典例指引】例1已知函数在处取得极小值（1）求实数的值；（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明

2、理由【思路引导】（1）先求导数，再根据，解得，最后列表验证（2）即研究是否成立，因为，利用，得，所以=0，转化为其中，最后利用导数研究函数单调性，确定方程解的情况（2）由（1）知函数函数图象与轴交于两个不同的点，（ ），两式相减得学*科网 下解即令，即令，又，在上是増函数，则，从而知，故，即不成立故不是的根学*科网例2设函数（1）当时，求函数的单调区间；来源:Zxxk.Com（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围【思路引导】（1）先求导数然后在函数的定义域内解不等式和的区间为单调增区间， 的区间为单调减区间；（2）先

3、构造函数再由以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，知导函数恒成立，再转化为求解；（3）先把握有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解来源:Z.xx.k.Com【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题利用导数研究函数的单调性的步骤：确定函数的定义域；对求导；令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间例3已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围【思路引导】（1）求出，分两种情况讨论，分别令 得增区间，令得减区间；（2） ，令，利

4、用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果试题解析：（1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；（2）依题意， ，令，则，学*科网令，则，即在上单调递增又，存在唯一的，使得当， 在单调递增；当， 在单调递减，且当时，又， ，学*科网故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为【新题展示】1【2019山西祁县中学上学期期末】已知函数,若（1）求实数的值；（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围【思路引导】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（2）得到xlnxk，令g（x）xlnx，根据函数的单调性求出k的范围即可【解析】所以当时，即的值域为 所以

5、使方程有实数解的的取值范围2【2019浙江台州上学期期末】设函数，R（）求函数在处的切线方程；（）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值； （）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围【思路引导】（）求出函数在处的导数后可得切线方程（）参变分离后求函数的最小值可得的最大值（）因为，故无零根，参变分离后考虑的图像与直线总有两个不同的交点，从而得到实数的取值范围【解析】（），. 且，所以在处的切线方程为. 所以 . （其中） 所以的最大值为. （）当时，即时，则，即在，单调递增，且当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.此时对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同

6、的解. （）当时，有两个非负根，所以在，单调递增，单调递减，所以当时有4个交点，或有3个交点，均与题意不合，舍去. （）当时，则有两个异号的零点，不妨设，则在，单调递增；在，单调递减.当时，的取值范围为，当时，的取值范围为，所以当时，对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.所以有，得.由，得，即.所以，.故 .所以. 所以当或时，原方程对任意实数均有且只有两个解.3【2019浙江杭州高级中学上学期期中】已知函数.（1）若关于的方程在内有两个不同的实数根，求实数的取值范围.（2）求证：当时，.【思路引导】（1）关于的方程在内有两个不同的实数根等价于，x与y=a有两个不同的交点；（2）要证当时

7、，即证【解析】（2）证明：，由得在上单调递增，又,根据零点存在定理可知，存在，使得当时，f（x）在上单调递减；当时，f（x）在上单调递增；故.由，得到，即，故，其中，令，由，得到在上单调递减，故，即，综上：有当时，.【同步训练】1已知函数（），且的导数为（）若是定义域内的增函数，求实数的取值范围；（）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围【思路引导】（）只需，即恒成立，求出即可得结果；（）原方程等价于，研究函数的单调性，结合图象可得结果 令，解得或列表得：100增极大值减来源:学|科|网极小值增由表可知当时， 取得极大值；当时， 取得极小值又当时，此时学*科网因此当时，；当时，；当时， ，

8、因此实数的取值范围是来源:学#科#网Z#X#X#K2已知函数的图象的一条切线为轴（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证： 【思路引导】（1）对函数求导，由题可设切点坐标为，由原函数和切线的斜率为可得方程组，解方程组得值；（2）由题知，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系，判断的单调性，再构造函数，利用导数判断出的单调性，最后可令，利用单调性可得结论 且在上单调递减，在上单调递增，当时， ，学*科网记，记函数的导函数为，则 3已知函数（），（1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线求实数的值；来源:学*科*网Z*X*X*K来源:学&科&网若方程在区间内有唯一实

9、数解，求实数的取值范围（2）当时，求证：对于区间上的任意两个不相等的实数， ，都有成立【思路引导】（1）首先求函数的图象在处的切线， ， ，又因为切点为，所以切线方程为，于是问题转化为直线与函数图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；问题转化为方程在区间内有唯一实数解，参变量分离得，设， ，研究的单调性、极值，转化为直线与有且只有一个交点，（2）当时， 在上单调递增， 在上单调递增，设，则， ，于是问题转化为，构造函数，通过函数在上单调递减，可以求出的取值范围， ，函数单调递增， ， ，函数单调递减， ，且时， ，；证明：（2）不妨设，则， ，可化为设，即，在上单调递减，恒成立，即在上

10、恒成立，从而，当时，命题成立来源:学_科_网4已知函数（1）设，记的导函数为，求；若方程有两个不同实根，求实数的取值范围；（2）若在上存在一点使成立，求实数的取值范围【思路引导】（1）对进行求导，将代入可得的值；对进行二次求导，判断的单调性得其符号，从而可得的单调性，结合图象的大致形状可得的取值范围；（2）将题意转化为，令，题意等价于在上的最小值小于0，对进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值（2）由题可得，令，则在上的最小值小于0，又，1，当时，即， 在上递减，所以，解得；2，当即， 在递增，解得；3，当，即，此时要求又，所以，所以此时不成立，综上或学*科网点睛：本题考查导数的运

11、用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键在正确求导的基础上，利用导数与的关系得到函数的单调区间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别5已知函数来源:Z&xx&k.Com（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围【思路引导】（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围，（2）结合三次函数图像确定的取值范围：当,且时，方程在上有可能有三个不等实根，再根据端点值大

12、小确定实数的满足的条件： ，最后解不等式可得实数的取值范围只需满足即可因为，且，因而，所以，即，学*科网综上所述，当,且时，满足题意，此时实数的取值范围是6已知函数，且直线是函数的一条切线（1）求的值；（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；（3）已知方程有两个根，若，求证: 【思路引导】（1）对函数求导， ，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得， ，解得，求出；（2）对任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；（3）根据题意得,两式相减得， ，所以，令，则，则，令，对求导，判断的单调，证明 (2) 由（1）得，所以，当，

13、时， ，所以在上单调递减，所以当， 时， ， ，当时， ，所以在上单调递增，所以当时， ，依题意得 ，所以，解得(3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为7已知函数（为自然对数的底数，），（1）若，求在上的最大值的表达式；（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；（3）若，求使的图象恒在图象上方的最大正整数【思路引导】 (1)先求函数导数，根据定义域以及 取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围； (3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化

14、为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数试题解析：(1) 时，,；当时，在上为增函数，此时，当时，在上为增函数，故在上为增函数，此时当时，在上为增函数，在上为减函数，若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，此时若，即时，在上为增函数，则此时，综上所述： （2），在上单调递减，在上单调递增，在上恰有两个相异实根， ，实数的取值范围是， 8设函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小【思路引导】

15、(1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时，单调增区间为时,有增有减;(2) 函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小, 设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小 (3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知不妨设，则，两式相减得，即来源:Zxxk.Com所以因为，点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式（2）根据条件，寻找目标函数一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数