专题1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用-20届高中数学同步讲义（理）人教版（选修2-2）

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1、1定积分的概念一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作_，即这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，和曲线所围成的_这就是定积分的几何意义3定积分的性质由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：为常数）；（其中）4微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么_这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式

2、为了方便，我们常常把记成，即微积分基本定理表明，计算定积分的关键是找到满足的函数通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出学&科网5定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用主要是计算由两条曲线所围图形的面积由曲边梯形面积的求法，我们可以将求由两条曲线所围图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题，进而用定积分求出面积6定积分在物理中的应用变速直线运动的路程：我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即变力做功：一物体在恒力(单位：)的作用下做直线运动，如果物体沿着与相同的方向移动了（单位：），则力所做的功为已知某物体在变力

3、的作用下做直线运动，并且该物体沿着与相同的方向从移动到，求变力所做的功，与求曲边梯形的面积及求变速直线运动的路程一样，可用“四步曲”解决，得到K知识参考答案：6 K重点定积分的几何意义，定积分的基本性质，运用微积分基本定理计算定积分，定积分的应用K难点运用微积分基本定理计算定积分，用定积分求几何图形的面积K易错运用微积分基本定理计算定积分时，弄错积分的上、下限利用定积分的几何意义计算定积分利用定积分所表示的意义求的值的关键是确定由曲线，直线，直线及轴所围成的平面图形的形状利用定积分的几何意义求，其中【答案】【解析】为奇函数，利用定积分的几何意义，如下图：学科网，故【名师点睛】（1）利用定积分的

4、几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形（2）设函数在闭区间上连续，则若是偶函数，则；若是奇函数，则利用微积分基本定理计算定积分求函数在某个区间上的定积分时，要注意：（1）掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的函数当这个函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差（2）精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【名师点睛】微积分基本定理揭示了导数

5、与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到被积函数的一个原函数定积分在几何中的应用对于简单图形的面积求解，我们可以直接运用定积分的几何意义，此时，（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了求由曲线与，所围成的平面图形的面积（画出图形）【答案】图形见解析，平面图形的面积为【解析】画出曲线与，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形解方程组，可得故平面图形的面积为，所以所求图形的面积为1【名师点睛】（1）定积分可正、可负或为零，而平面图形的面积总是非负的（2）若图形比

6、较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下学科&网定积分在物理中的应用（1）已知变速直线运动的方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分（2）利用定积分求变力做功的问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即可设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功【答案】将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为

7、【名师点睛】求解时注意单位的换算，把cm换算为m1定积分的大小A与和积分区间有关，与的取法无关B与有关，与区间以及的取法无关C与以及的取法有关，与区间无关D与、区间和的取法都有关2在求由抛物线与直线，所围成的平面图形的面积时，把区间等分成个小区间，则第个区间为ABCD3已知，则ABCD4定积分ABCD5直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为ABC2D46计算：ABCD7由直线，及曲线所围成的封闭图形的面积ABCD8定积分ABCD9已知，则_10计算：_11计算_12若，则实数_13已知函数，若成立，则实数_14已知函数，则_15已知是二次函数，方程有两个相等的实根，且（1）求的解析式；（2）求

8、曲线与曲线所围成的图形的面积16如图，抛物线的方程为，则图中阴影部分的面积可表示为AB|CD17设，则a，b，c的大小关系是ABCD18一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是ABCD19下列命题不正确的是A若是连续的奇函数，则B若是连续的偶函数，则C若在上连续且恒正，则D若在上连续且，则在上恒正20如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是ABCD21已知是一次函数，若，则函数的解析式为ABCD22已知分段函数，则ABCD23已知，则_24若，其中，则_25已知函数，则_

9、26如图，求由曲线，与直线，所围成的阴影部分的面积1【答案】A【解析】由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤，可知定积分的大小与和积分区间有关，与的取法无关，故选A学#科网2【答案】B【解析】在区间上等间隔地插入个点，将它等分成个小区间1，2，所以第个区间为故选B3【答案】D【解析】由题可得，故选D4【答案】C【解析】，故选C5【答案】D【解析】由已知得，故选D6【答案】C7【答案】B【解析】由题可得，故选B8【答案】D【解析】，故选D9【答案】【解析】根据定积分的性质可得10【答案】【解析】学*科网11【答案】【解析】12【答案】【解析】，解得13【答案】或14【答案】【解析】如图，可得，所

10、以15【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，由题意可得，所以，所以（2）由或，所以16【答案】C【解析】由图形可知阴影部分的面积为，而，故选C17【答案】B【解析】由题可得，因为，所以故选B18【答案】C【解析】令，解得或（舍去）故所求距离是，故选C19【答案】D20【答案】B【解析】根据余弦函数的对称性可得，曲线从到与轴围成的面积与从到与轴围成的面积相等，故阴影部分的面积，故选B21【答案】A【解析】由题可设，则，所以且，解得，所以故选A学科网22【答案】C23【答案】【解析】由题可得，两边同时平方可得，所以24【答案】【解析】由于，所以，所以（负值舍去），又，所以25【答案】【解析】由题可得26【答案】【解析】由题图知阴影部分的面积