专题2.1 曲线与方程-20届高中数学同步讲义（理）人教版（选修2-1）

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1、1曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的_；（2）以这个方程的_为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做_；这条曲线叫做_2坐标法借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的_，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质这就是坐标法数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何，解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质3求曲线方程的

2、一般步骤求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合；（3）用坐标表示条件_，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程K知识参考答案：1解解 曲线的方程 方程的曲线2集合或轨迹3p(M)K重点曲线与方程的概念、坐标法K难点求曲线的方程步骤及常用方法K易错混淆“轨迹”与“轨

3、迹方程”导致错误点与方程表示的曲线的位置关系的判断如果曲线C的方程是，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是它可用于判定点是否在曲线上：如果点的坐标满足曲线方程，则说明点在曲线上，否则说明点不在曲线上（1）已知方程x2y22y30，判断点A(2，1)，B(1，3)是否在此方程表示的曲线上；（2）若点C(m2，m)在方程(x2)2y218表示的曲线上，求实数m的值；（3）若方程x2xyny60表示的曲线经过点(2，5)，求n的值【答案】（1）点A在方程表示的曲线上，点B不在方程表示的曲线上；（2）m3或3；（3）n4【名师点睛】判断点与曲线的位置关系需从曲线与方程的定义入手：（1）要判断点

4、是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；（2）若所给点在已知曲线上，则点的坐标满足已知曲线的方程，由此可求参数的值判断曲线与方程的关系及曲线类型曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形（1）判断过点(2，1)且平行于y轴的直线l与方程|x|2之间的关系；（2）判断命题“以坐标原点为圆心，半径为1的圆的方程是”是否正确；（3）求方程(xy)0所表示的曲线【答案】（1）见解析；（2）不正确；（3）射线和直线【解析】（1）过点(2，1)且平行于y轴的直线l与方程|x|2之间的关系只具备定义中的条件（1）

5、而不具备条件（2），因此，方程|x|2不是直线l的方程，直线l只是方程|x|1所表示图形的一部分（2）不正确学科#网（3）根据题意可得或，即或，故原方程表示的是射线和直线【名师点睛】判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，化为我们熟悉的形式后根据方程的特征进行判断变形过程一定要注意原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线，另外，变形的方法有配方法、因式分解等求曲线的方程求曲线方程的常用方法：方法一 直接法根据题中的已知条件能直接建立所求曲线上的动点(x，y)的横纵坐标x，y满足的关系式，从而得到曲线方程这是求曲线方程最基本的方法方法二 定义法若能确定动点的轨迹满足某已知曲线

6、的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程方法三 代入法（即相关点法）若动点P(x，y)依赖于另一个动点Q(x1，y1)的变化而变化，且已知动点Q(x1，y1)满足的条件或轨迹方程，则可用x，y表示x1，y1，并代入已知条件或轨迹方程，整理即得动点P的轨迹方程（1）已知圆C：(x2)2y24，过原点O作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程；（2）已知在中，|BC|6，求直角顶点A的轨迹方程【答案】（1）(x1)2y21(去掉原点)；（2）x2y29()方法2(定义法)：如图2所示，连接CQ，因为Q是OP的中点，所以OQC90，则点Q在以OC为直径的圆上，故点Q的轨迹方程为(x1)2y21(去掉

7、原点)方法3(代入法)：设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得，即，又(x12)2y124，所以(2x2)24y24，即(x1)2y21(去掉原点) 图1 图2图3（2）以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，则有B(3，0)，C(3，0)，设顶点A(x，y)方法1：由是直角三角形可知|AB|2|AC|2|BC|2，即(x3)2y2(x3)2y262，化简得x2y29依题意可知，故所求直角顶点A的轨迹方程为x2y29()方法2：由是直角三角形可知ACBC，所以，则，化简得直角顶点A的轨迹方程为x2y29()方法3：由是直角三角形可知|OC|OA|OB|

8、，且点A与点B，C不重合，所以x2y232()，所以直角顶点A的轨迹方程为x2y29()【名师点睛】（1）求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程，一般步骤为：建系、设点、列式、化简、检验；（2）求曲线方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性；（3）由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题混淆“轨迹”与“轨迹方程”导致错误如图，已知点，直线，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且，求动点P的轨迹【错解】设点P(x，y)，则Q(1，y)，由，得(x1，0)(2，y)(x1，y

9、)(2，y)，化简得y24x【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别【正解】设点P(x，y)，则Q(1，y)，学科#网由，得(x1，0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得y24x故动点P的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线1已知直线和曲线，则点满足A在直线上，但不在曲线上B既在直线上，也在曲线上C既不在直线上，也不在曲线上D不在直线上，但在曲线上2已知点，动点满足，则点的轨迹方程是ABCD3方程表示的曲线是图中的4“曲线上的点的坐标都是方程的解”是“曲线的方程是”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5方程(x+

10、y-1)=0所表示的曲线是6平面上有三点，若，则动点的轨迹方程是ABCD7若C(-2，-2)，且直线CA交x轴于A，直线CB交y轴于B，则线段AB的中点M的轨迹方程是Ax+y+2=0Bx-y+2=0Cx+y-2=0Dx-y-2=08已知点P是直线x-2y+3=0上的一个动点，定点M(-1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则点Q的轨迹方程是Ax+2y+3=0Bx-2y-5=0Cx-2y-7=0Dx-2y+7=09已知，点在曲线上，则的值为_10在等腰中，已知点，则点的轨迹方程为_11已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则中点的轨迹方程是_12已知双曲线的一支C:y=和

11、直线l:y=kx，若l与C有两个不同的交点A，B，则线段AB的中点的轨迹方程为_13已知两曲线的方程为C1：，C2：，判断两曲线有无交点，若有交点，求出交点坐标；若无交点，请说明理由14设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且求点的轨迹方程15方程表示的曲线是A一条直线B两条直线C一个圆D两个半圆16如果曲线上的点满足方程，则下列说法正确的是A曲线的方程是B方程表示的曲线是C坐标满足方程的点在曲线上D坐标不满足方程的点不在曲线上17已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形面积为ABCD18曲线与的交点坐标是A(2，1)B(2，1)C(2，1

12、)或(，5)D(2，1)或(，5)19已知两点M(2，0)，N(2，0)，点P满足，则点P的轨迹方程为_20已知直线，为上的动点，为坐标原点，点分线段为两部分，则点的轨迹方程为_21如图所示，已知，两点分别在轴和轴上运动，点为延长线上一点，并且满足，试求动点的轨迹方程22已知坐标平面上一点与两个定点，且（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为，求直线的方程23（2011北京理）曲线C是平面内与两个定点F1(1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在

13、曲线C上，则的面积不大于其中，所有正确结论的序号是_24（2016四川）在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A单位圆上的“伴随点”还在单位圆上若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线其中的真命题是_25（2014新课标全国I）已知点P(2，2)，圆C：，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|OM|时，求l的方程及的面积26（2017新课标

14、全国II理）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线上，且证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F1【答案】A【解析】把的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可故选A2【答案】A【解析】设点的坐标为，则，整理得故选A3【答案】D【解析】分，；，；，；，四种情形去绝对值号，即可作出判断，其图形为条线段围成的图形，故选D4【答案】B5【答案】D【解析】原方程等价于或x2+y2-4=0，其中当x+y-1=0时，方程所表示的曲线是在直线x+y-1=0上且在圆x2+y2=4外的所有点故选D6【答案】A【解析】，即故选A7【答案】

15、A【解析】由题意可知，点M既是的斜边的中点，又是的斜边的中点，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以，设，则，化简得:故选A8【答案】D【解析】设P(x0，y0)，则x0-2y0+3=0(*)又设Q(x，y)，由|PM|=|MQ|，知点M是线段PQ的中点，则，即(*)将(*)代入(*)，得(-2-x)-2(4-y)+3=0，即x-2y+7=0故选D9【答案】或【解析】由，得又，所以或学科#网10【答案】（除去点和）11【答案】【解析】将化为，即，设抛物线上的点，的中点为，则，则，即中点的轨迹方程是12【答案】(x-)2-y2=(x2)【解析】设AB的中点为M(x0，y0)，联立，得(k

16、2-1)y2+2ky-2k2=0，则y0=，x0=，消去k得-=x0，因为，所以k2，所以AB的中点的轨迹方程是(x-)2-y2=(x2)13【答案】曲线C1：与C2：无交点【解析】由方程组消去y得，因为，所以方程无实数解，从而方程组无实数解，因此曲线C1：与C2：无交点14【答案】15【答案】D【解析】由题意，得，即或，方程两边平方整理得，当时，是以为圆心，以为半径的右半圆；当时，是以为圆心，以为半径的左半圆综上，方程表示的曲线是以为圆心，以为半径的右半圆与以为圆心，以为半径的左半圆合起来的图形，故选D16【答案】D【解析】曲线的方程是需满足以下两个条件：曲线上的点都满足方程；满足方程的点都

17、在曲线上所以A，B，C都不完全正确因为曲线上的点都满足方程，所以若点坐标不满足方程，则该点也不会在曲线上，D正确，故选D17【答案】B【解析】设，由可得，整理得，即所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，故点的轨迹所包围的图形的面故选B18【答案】B【解析】将代入，得，即，解得或，由于不符合题意，应舍去，所以，则，解得故曲线与的交点坐标是(2，1)，故选B19【答案】x2y216【解析】设P(x，y)，则，于是(2x)(2x)y212，化简得x2y216，此即为所求点P的轨迹方程.学科￥网20【答案】21【答案】【解析】设，则，由，得，即，又，由，得，得，故动点的轨迹方程为22【答案】（1），轨

18、迹是以为圆心，以为半径的圆；（2）或【解析】（1）由，得，化简得，所以点的轨迹方程是，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆（2）当直线的斜率不存在时，此时所截得的线段的长为，所以符合题意当直线的斜率存在时，设的方程为，即，圆心到的距离，由题意，得，解得所以直线的方程为，即综上，直线的方程为或23【答案】【解析】因为原点O到两个定点F1(1，0)和F2(1，0)的距离的积是1，而a1，所以曲线C不过原点，即错误；因为F1(1，0)，F2(1，0)关于原点对称，所以|PF1|PF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为，即面积不大于，所以正确故填24【答案】25【答案】（1）；（2）【解析】（1）圆

19、C的方程可化为，所以圆心为C(0，4)，半径为4设M(x，y)，则，由题设知，故，即由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（2）由（1）可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为，故直线l的方程为又|OM|OP|，点O到直线l的距离为，|PM|，所以的面积为26【答案】（1）；（2）证明见解析学科￥网【思路分析】（1）设出点P的坐标，利用得到点P与点M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为；（2）利用可得坐标之间的关系：，结合（1）中的结论整理可得，即，据此即可得出结论【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程