专题2.2 二项分布及其应用-20届高中数学同步讲义(理)人教版(选修2-3)
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1、2.2 二项分布及其应用1条件概率的概念一般地,设,为两个事件,且,称_为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率读作发生的条件下发生的概率注意:(1)条件概率中“”后面就是条件;(2)若,表示条件不可能发生,此时用条件概率公式计算就没有意义了,所以条件概率计算必须在的情况下进行2条件概率的性质(1)条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即_(2)必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0(3)如果和是两个互斥事件,则3条件概率的计算方法(1)利用定义计算:先分别计算概率和,然后代入公式即可(2)借助古典概型计算概率的公式:先求事件包含的基本事件数,再在事件发生的条件下
2、求事件包含的基本事件数,则_学-科网4相互独立事件的概念及性质(1)相互独立事件的概念对于两个事件,如果,则意味着事件的发生不影响事件发生的概率设,根据条件概率的计算公式,从而由此我们可得:设,为两个事件,若_,则称事件与事件相互独立(2)相互独立事件的性质如果事件,互相独立,那么与,与,与也都相互独立(3)两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性,即若事件,相互独立,则这个事件同时发生的概率5n次独立重复试验一般地,在_下重复做的次试验称为次独立重复试验注意:独立重复试验的条件:每次试验在同样条件下进行;各次试验是相互独立的;每次试验都只有两种结果,即事件要
3、么发生,要么不发生6二项分布一般地,在次独立重复试验中,用表示事件发生的次数,设每次试验中事件发生的概率为,则_,0,1,2,此时称随机变量服从二项分布,记作,并称为成功概率学科+网注意:由二项分布的定义可以发现,两点分布是一种特殊的二项分布,即时的二项分布,所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式K知识参考答案:12345相同条件6K重点相互独立事件同时发生的概率求解、二项分布K难点条件概率的求解、事件的相互独立性、相互独立事件与互斥事件的区别与联系K易错混淆互斥事件与相互独立事件、对独立重复试验理解不透彻条件概率的相关计算及应用求条件概率的关键是:(1)事件作为条件;(2)与同时发生公式既
4、是条件概率的定义,同时也是求条件概率的依据(1)一个盒子中有6个白球、4个黑球,每次从中不放回地任取1个,连取两次,求在第一次取到白球的条件下,第二次取到黑球的概率为_;(2)有一批种子的发芽率为,出芽后的幼苗成活率为,在这批种子中,随机抽取一粒,这粒种子能成长为幼苗的概率为_【答案】(1);(2)【解析】(1)记“第一次取到白球”为事件,“第二次取到黑球”为事件注意这里的问题与“求第一次取到白球,第二次取到黑球的概率”不一样方法1:显然,事件“第一次取到白球,第二次取到黑球”的概率,由条件概率的计算公式,得方法2:因为,所以(2)设“种子发芽”为事件,“种子成长为幼苗”为事件(发芽且成活为幼
5、苗),则出芽后的幼苗成活率为,根据条件概率公式,故在这批种子中,随机抽取一粒,这粒种子能成长为幼苗的概率为【名师点睛】(1)由条件概率的定义知,与是不同的;另外,在事件发生的前提下,事件发生的可能性大小不一定是,即与不一定相等(2)可变形为,即只要知道其中两个值就可以求得第三个值如已知,可求;已知,可求相互独立事件概率的计算(1)掷一枚骰子一次,设事件:“出现偶数点”,事件:“出现3点或6点”,则事件,的关系是A互斥但不相互独立B相互独立但不互斥C互斥且相互独立D既不相互独立也不互斥(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件:“甲击中目标”,事件:“乙击中目标”,则事件与事件A相互独立但不互
6、斥B互斥但不相互独立C相互独立且互斥D既不相互独立也不互斥【答案】(1)B;(2)A设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为,购买乙种商品的概率为,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的求:(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率;(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率【答案】(1);(2);(3)【思路分析】明确购买甲、乙两种商品及顾客之间购买商品都是相互独立的,用字母表示相应的随机事件,利用相互独立事件的概念进行求解即可【解析】记表示事件:进入商场的1位顾客购买甲
7、种商品;记表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品;记表示事件:进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买;记表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种;记表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种(1)已知,则(2)因为,所以(3)因为,所以,故【名师点睛】事件的相互独立性是高考考查的重点解题时应注意:(1)需分清事件与事件之间的关联,判断事件是否相互独立;(2)熟记“,中至少有一个发生的事件为;都发生的事件为;都不发生的事件为;恰有一个发生的事件为()();至多有一个发生的事件为()();(3)对于多个独立事件同时发生的概率求解问题,可直接利用公式二项分布的应用二项
8、分布的简单应用是求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率解题的一般思路是:根据题意设出随机变量;分析出随机变量服从二项分布;找到参数,;写出二项分布的分布列;将值代入求解概率箱子中有标号为1,2,3,4,5,6且大小形状完全相同的6个球,从箱子中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖若有4人参与摸奖,则恰好有3人获奖的概率为ABCD【答案】B【解析】获奖的概率为,记获奖的人数为,则,所以4人中恰好有3人获奖的概率为,故选B甲与乙两人掷硬币,甲用一枚硬币掷3次,记正面朝上的次数为;乙用这枚硬币掷2次,记正面朝上的次数为(1)分别求与的分布列;(2)求甲至少有2次正面朝上
9、的概率及乙至多有1次正面朝上的概率;(3)规定:若,则甲获胜;若,则乙获胜,分别求出甲、乙获胜的概率【答案】(1)见解析;(2);(3)【解析】(1)依题意,可知,所以的分布列为0123的分布列为012(2)由(1)知,甲至少有2次正面朝上的概率为;乙至多有1次正面朝上的概率为(或)(3)甲获胜的情况有:;,所以甲获胜,乙获胜的情况有:;,所以乙获胜【名师点睛】二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率混淆互斥事件与相互独立事件而致错甲投篮命中率为,乙投篮命中率为,每人投3次,两人都恰好
10、投中2次的概率是多少?【错解】设“甲恰好投中2次”为事件,“乙恰好投中2次”为事件,则“两人都恰好投中2次”为事件,所以对独立重复试验理解不透彻而致错假定一个人在一年365天中的任意一天出生的概率是一样的,某班级有50名同学,其中有2名及2名以上的同学生于8月8日的概率是多少?(最终结果用式子表示,不必求得具体数值)【错解】由于每个人在每天出生的概率是,一个人在天中的任意一天出生相当于做了次独立重复试验设50个人中生于8月8日的人数为,则,所以有2名及2名以上的同学生于8月8日的概率为【错因分析】产生错解的原因是没有弄清随机试验是否是独立重复试验,每次试验指的是什么由于每个人在一年中生于8月8
11、日的概率是,50名同学的生日相当于进行了50次试验且各次试验互不影响,从而考虑独立重复试验【正解】由题意,显然每个人的生日是随机的,互不影响,所以50名同学的生日相当于进行了50次独立重复试验若设50个人中生于8月8日的人数为,则,从而有2名及2名以上的同学生于8月8日的概率为1已知随机变量X服从二项分布XB(6,),则P(X2)ABCD2设在一次试验中事件A出现的概率为p,在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为pk,则Ap1p2pn1Bp0p1p2pn1Cp0p1p2pn0Dp1p2pn113在比赛中,如果运动员A胜运动员B的概率是,那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是ABCD4
12、某地气象台预计,7月1日该地区下雨的概率为,刮风的概率为,既刮风又下雨的概率为,设表示下雨,表示刮风,则ABCD5某道路A、B、C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为ABCD6在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是A0.4,1)B(0,0.4C0.6,1)D(0,0.67抛掷红、黄两颗骰子,当红色骰子的点数为4或6时,两颗骰子的点数之积大于20的概率是ABCD8从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体
13、关节构造合格的概率为从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)ABCD9甲、乙同时炮击一架敌机,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,则敌机被击中的概率为_10在高三的一个班中,有的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么数学成绩优秀的学生人数,则取最大值时_11盒中装有10只乒乓球,其中6只新球、4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也摸出新球的概率为_12甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为(1)记甲击中目标的次数为X,求X的概率分布列;(2)求
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