专题3.1.1、3.1.2空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算-20届高中数学同步讲义（理）人教版（选修2-1）

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1、 1空间向量的定义在空间中，我们把具有_和_的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模2空间向量的表示方法（1）几何表示：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的_（2）符号表示：空间向量可用一个字母表示，如向量a，也可用有向线段的起点、终点的字母表示，如图所示，可用表示向量a的有向线段的起点A和终点B表示为，向量的模记为 或3几个特殊的空间向量零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为相等向量方向相同且_的向量称为相等向量4空间向量的加法和减法运算已知空间向量a，b，可以把它们平移到同一个

2、平面内，以任意点O为起点，作向量，如图1所示类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算(如图2所示)：，图1图25空间向量的加法运算律（1）交换律：；（2）结合律：用图1、图2来验证空间向量的加法运算律如下：图1图2以上运算律对于多个空间向量的加法也是成立的6空间向量的数乘运算（1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算（2）向量与a的关系：如图，当时，与向量a的_；当时，与向量a的_的长度是向量a的长度的倍（3）空间向量的数乘运算律：分配律：；结合律：7共线向量（1）定义如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_，则这些向量叫做共线向量或平行向量

3、（2）向量共线的充要条件（即共线向量定理）对于空间任意两个向量a，b，的充要条件是存在实数，使_（3）共线向量定理的推论如图所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ，其中向量a叫做直线l的方向向量若在l上取，则式可以化为 式和式都称为空间直线的向量表示式由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定注：共线向量定理及其推论可用来证明直线平行和空间三点共线8共面向量（1）定义平行于_的向量，叫做共面向量（2）三个向量共面的充要条件（即共面向量定理）如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在

4、唯一的有序实数对(x，y)，使p_（3）共面向量定理的推论如图，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使；或对空间任意一点O，有 式称为空间平面ABC的向量表示式由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定学科*网三点共线的充要条件由共线向量定理的推论，我们可以得到空间三点共线的充要条件为，且.此结论经常使用.K知识参考答案：1大小 方向 7（1）平行或重合 （2）8（1）同一个平面 （2）K重点空间向量的定义及其表示、空间向量的加减法运算及数乘运算K难点共线向量、共面向量K易错混淆平行直线与平行向量、混淆向量与平面平行和直线与平面平行空间向量的相关概念

5、理解向量的相关概念，关键是掌握几个重要概念：相等向量的模相等，方向相同；零向量的方向任意，模为零；共线向量方向相同或相反；相反向量的模相等，方向相反下列有关空间向量的说法中正确的是A如果两个向量的模相等,那么这两个向量相等B如果两个向量的方向相同,那么这两个向量相等C如果两个向量平行且它们的模相等,那么这两个向量相等D同向且等长的有向线段表示同一向量【答案】D【解析】相等向量要求模相等且方向相同,故A和B错误；平行向量可以方向相同也可以方向相反,故C错误;D显然正确.如图，在长方体中，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，（1）写出模为的所有向量；（2）写出与相等的所有向量；（

6、3）写出的相反向量；（4）单位向量共有多少个？【答案】见解析【名师点睛】相等向量和相反向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也不一定是相反向量空间向量的线性运算向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中已知空间四边形ABCD,如图,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点.化简下列各表达式,并在图中标出化简得到的向量.（1）+;（2）+(+);（3）-(+).【解析】（1）+.如图所示.（2）方法一：+(+)=+.如图所示.方法二：连接BG,学科*网G

7、是CD的中点,+=2.+(+)=+.如图所示.【名师点睛】（1）首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即，因此求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；（2）若首尾顺次相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即；（3）两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立，因此求起点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则向量共线问题判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使得成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形进行化简，从而得到，即与共线反之，当两个空间向量共线时，即存在实数，使得成立，既可以用于证明，也可以用待定

8、系数法求参数的值已知，若，求实数的值.【解析】，.学科%网如图,在四棱锥V-ABCD中,VA=VB=VC=VD,.若H是MN的中点,求证:VAPH.三点共线问题若A，B，C三点共线，则存在实数，使得，这是解决三点共线问题的突破口已知空间向量,且,则一定共线的三点为AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D【答案】A【解析】由题意可得：，则，则A，B，D三点共线；不存在实数满足，则A，B，C三点不共线；不存在实数满足，则B，C，D三点不共线；，不存在实数满足，则A，C，D三点不共线.故选A.设e1,e2是不共线的空间向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,

9、D三点共线,求k的值.空间向量的共面问题（1）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量不一定共面（2）向量p与a，b共面的充要条件是在向量a，b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立（3）若点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，则且，这也是判断四点共面的常用结论已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，（1）若，试判断向量，是否共面，并判断点P是否在平面ABC内；（2）若点P在平面ABC内，且，求实数m的值【答案】（1）向量，共面，点P在平面ABC内；（2）【解析】（1）因为，所以，即，所以向量，共面因为，有共同的起点P，且A，B，C三点不共线，所以P，A，B

10、，C共面，即点P在平面ABC内方法2：若点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，则且，学科&网利用此结论可得，解得【名师点睛】要证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示混淆平行直线与平行向量而致错已知下列命题：若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量；向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上其中是真命题的有_（填序号）【错解】【错因分析】因为向量为自由向量，所以平行向量就是共线向量，但是向

11、量所在的直线却不一定重合，也有可能平行，关键是看这两个向量所在的直线有没有公共点，如果没有公共点，那么对应的两条直线平行；否则，对应的两条直线重合【正解】为真命题，若A，B，C，D在一条直线上，向量，方向相同或相反，因此与是共线向量；为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则，方向不确定，不能判断与是否是共线向量；为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，所以三点共线故填【名师点睛】平行直线与平行向量的区别与联系：平行向量所在的直线既可以平行也可以重合；平行直线是指任何不重合的两条平行直线因此，两条平行直线的方向

12、向量一定是平行向量，非零的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线混淆向量与平面平行和直线与平面平行而致错已知，是异面直线，分别是，的中点证明：【错解】因为，且，是异面直线，所以在平面内存在向量，使得，且两个向量不共线因为，分别是，的中点，所以根据共面向量定理知，所以【错因分析】由可知，表示向量的有向线段所在的直线与平面可能平行，也可能在平面内错解没有理解向量与平面平行的含义【正解】因为，且，是异面直线，所以在平面内存在向量，使得，且两个向量不共线因为，分别是，的中点，所以，所以，共面，所以或若，则，必在平面内，这与已知，是异面直线矛盾故学科网【名师点睛】线面平行要求直线必须在平面外，而在

13、利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面的位置关系这就要求同学们在平时的学习中要充分理解定义、定理的实质1空间向量不可以做的运算是A加法B减法C数量积D除法2已知空间四边形中，则A BC D3如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,+-=ABCD4在长方体中,为与的交点,若=,则下列向量与相等的是ABCD5已知为空间任意一点,三点不共线,若=，则四点A一定不共面B不一定共面C一定共面D无法判断6如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是；ABCD7已知空间四边形，连接，则_8如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,给定的下列各对向量:与;与;与;与.其中是相

14、反向量的是.(填序号)9已知点P和不共线的三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有 ，则_.10已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点O1为上底面A1B1C1D1的中心，若，则_11如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）12已知两个非零向量不共线，如果，求证：共面.13如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是AD1中点， N 是BD中点，试判断与是否共线？请说明理由.14设P是的重心，若，且，则=A BC D15已知正方体ABCD-ABCD的中心为O,则有下列结论:+与+是一对相反向量;-与-是一对相反向量;+与+是一对相反向量;-与-

15、是一对相反向量.其中正确的有A1个B2个C3个D4个16已知空间四边形，分别是与边上的点，分别是与边上的点，若，则向量与满足的关系为ABCD17如图，空间四边形中，若，分别为，的中点，则下列各式中成立的是ABCD18设空间四点O、A、B、P满足=m+n，其中m+n=1，则A点P一定在直线AB上B点P一定不在直线AB上C点P不一定在直线AB上D以上都不对19已知平行六面体，则下列四式中：；正确式子的序号是_20已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，四点共面，且，则_21已知点是矩形所在平面外一点，且平面，分别是上的点，分成定比，分成定比，求满足的实数的值22（1）已知A，B，C三点共线，O为

16、直线外空间任意一点，若，求的值；（2）设，是空间中两个不共线的向量，已知，且A，B，D三点共线，求实数m的值23已知在四面体中，平面证明：为的重心的充要条件是24（2011上海理）设，是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点M的个数为A0B1C5D101【答案】D2【答案】B【解析】因为，所以,选B.3【答案】B【解析】+-+.4【答案】B【解析】由向量的三角形法则可得,即,故选B5【答案】C【解析】因为=,且,所以四点共面.学%科网6【答案】D7【答案】【解析】故填8【答案】【解析】结合相反向量的定义,又由空间向量在空间中可以任意平移可知符合题意.9【答案】【解析】由四点共面的充要条件可得：

17、，解得：.故答案为10【答案】【解析】因为，所以，所以故填11【解析】（1）（2）（3）（4）12【解析】， ，共面. 学科网 14【答案】D【解析】如图所示，由重心的性质可得：，由平面向量的运算法则可得：，则.故选D.15【答案】C【解析】如图所示,=-,=-,则+=-(+),是一对相反向量;-+,-+,而,故不是一对相反向量;同,+与+是一对相反向量;-+,-+=-,是一对相反向量.16【答案】B17【答案】B【解析】，故选B18【答案】A【解析】由可得，结合题意可知：，即，据此可知，A，P，B三点共线，点P一定在直线AB上.故选A.19【答案】【解析】，正确；，正确；显然正确；，故错误故

18、填学*科网20【答案】【解析】因为，四点共面，所以，所以故填 22【解析】（1）由于A，B，C三点共线，所以存在实数，使得，即，所以，所以，所以（2）由，可得，因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得，即，所以，解得【名师点睛】本题（1）中是一个重要的结论：空间A，B，C三点共线的充要条件为，且但很容易忽略“O为直线外空间任意一点”这一条件，当O在直线上时，O可以与A点重合，这时，其前面的系数可以取任意实数，这时不一定有23【解析】必要性：如图，连接并延长交于，所以，于是，因为，故，解得，于是为的重心综上，为的重心的充要条件是24【答案】B【解析】由题意，是空间中给定的5个不同的点，如图，假设点，均匀分布在同一条直线上，易知当且仅当点M与点重合时，才能使，故使成立的点M的个数为1