专题3.2 立体几何中的向量方法-20届高中数学同步讲义（理）人教版（选修2-1）

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1、1点的位置向量在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量_来表示我们把向量称为点P的位置向量2直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线_的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个注意：（1）在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件：非零向量；向量所在的直线与直线l平行或重合.（2）表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，则它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反.3平面的法向量（1）平面法向量的定义若直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的_注意：（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（

2、2）由于过空间任意一点P，有且仅有一条直线PO垂直于平面，因此，过空间任意一点都能作出平面的法向量.由于直线PO的方向向量有无数个，因此，过点P的平面的法向量也有无数个.（2）平面法向量的求法直接寻找：若几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直即可.学科&网待定系数法：当几何体中没有具体的直线可以作为法向量时，一般用待定系数法求解，即先设平面的法向量为，找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，再根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组，解方程组，取其中的一个解，即得一个法向量（通常把x，y，z中的一个赋值为1或0或-1）.4利用方向向量与法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直与夹角设直

3、线，的方向向量分别为，平面，的法向量分别为，则有如下结论：平行问题线线平行线面平行面面平行垂直问题线线垂直线面垂直面面垂直夹角问题线线夹角设，的夹角为,则线面夹角设，的夹角为,则面面夹角设，的夹角为,则注意：（1）这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即；（2）二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围为，其余弦值取还是应结合具体情况而定5点面距已知为平面的一条斜线段(在平面内)，为平面的法向量，则到平面的距离为_注：空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问题K知识参考答案： 5K重点直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关

4、系及夹角的计算K难点向量方法在立体几何问题中的应用，其中适当建立坐标系是关键K易错混淆二面角与面面角的区别导致错误线面位置关系的判断根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：（1）直线，的方向向量分别是，；（2）直线的方向向量、平面的法向量分别是，；（3）直线的方向向量、平面的法向量分别是，；（4）平面，的法向量分别是，【解析】（1）因为，所以，所以，即【名师点睛】（1）两直线的方向向量共线（垂直）时，两直线平行（垂直）；否则两直线相交或异面但不垂直学科网（2）直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线与平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行或直线在平面内；否则直线与平面相交

5、但不垂直（3）两个平面的法向量共线（垂直）时，两平面平行（垂直）；否则两平面相交但不垂直证明线线、线面、面面平行1证明线线平行，即证明两条直线的方向向量平行.利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2用向量法证明线面平行有三种方法：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.3利用空间向量证明面面平行有两种方法：一是将面面平行

6、转化为相应的线面平行、线线平行来证明.二是求出两平面的法向量，通过证明两平面的法向量平行来证明.也可以将向量法和综合法结合,从而避免求平面法向量的繁杂计算.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.证明:PQRS.【解析】方法一：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),=(-3,2,1),=(-3,2,1),即PQRS.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F

7、分别是BB1,DD1的中点.求证:(1)FC1/平面ADE.(2)平面ADE/平面B1C1F.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系, 则有D(0,0,0),A(2,0,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),所以设分别是平面ADE与平面B1C1F的法向量,则即，学科%网令y1=1得n1=(0,1,2),同理可得平面B1C1F的一个法向量n2=(0,1,2).(1)因为,所以,又平面ADE,所以FC1/平面ADE.(2)因为n1=n2=(0,1,-2),所以平面ADE/平面B1C1F.证明线线、线面、面面垂直（1）利用空间向量证明线线垂直时，确定两条直线

8、的方向向量，由向量数量积为0即可得证 （2）利用空间向量法证明线面垂直的方法有两种：利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；求出平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行（3）利用空间向量法证明面面垂直有两种方法：证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；证明两平面的法向量垂直如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ADBC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=AA1=3.证明：ACB1D【解析】由题意知,AB,AD,AA1两两垂直,如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直

9、角坐标系.设AB=t,则有A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0).因为ACBD,所以=-t2+3+0=0,解得t=或t=-(舍去),所以=(-,3,-3),=(,1,0).因为=-3+3+0=0,所以,即ACB1D如图1，在四棱锥中，底面是正方形，底面，且，是的中点求证：（1）直线平面；（2）平面平面图1 图2【解析】如图2，以A为原点， AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设，则，（1）易得，设平面的

10、法向量为，则，即，取，可得平面的一个法向量为又，所以，所以，所以直线平面方法2：易得，学科*网设平面的法向量为，则，即，取，得，所以平面的一个法向量为由底面，可得是平面的一个法向量，因为，所以，所以平面平面空间角的求解（1）求线线角的步骤：确定空间两条直线的方向向量；求两个向量夹角的余弦值；比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角（2）求线面角的步骤：确定直线的方向向量和平面的法向量；求两个向量夹角的余弦值；确定向量夹角的范围；确定线面角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时线面角与这

11、个夹角互余；当向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去（3）求二面角的步骤：确定两平面的法向量；求两个法向量夹角的余弦值；确定向量夹角的范围；确定二面角与向量夹角的关系：二面角的范围要通过观察图形来确定，法向量一般不能体现出来在正方体中，分别为棱，的中点，求：（1）直线与所成的角；（2）直线与平面所成角的正弦值；（3）二面角的余弦值【解析】如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则，（1）因为，所以，所以直线与所成角的大小为学科网（3）易得，设平面的法向量为，则，即，取，得，所以平面的一个法向量为设平面的法向量为，则，即，取，得，所以平面的一个法向量为所以，显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值

12、为如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=(00,所以h=,即侧棱长为.13【答案】45【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAC的一个法向量为(1，0，0)，D，P，M，则，所以cos，所以DM与平面PAC所成的角为45学科&网15【解析】不妨设正方体的棱长为1,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0, 0,0),A(1,0,0),B1(1,1,1),O(,0

13、),C(0,1,0),D1(0,0,1),G(1,1,).(1)=(1,1,),=(-1,1,0),=-1+1+0=0,DGAC(2)=(1,1,1),=(0,-1,1),=(,0),=10+1(-1)+11=0,=1()+1+10=0,DB1CD1,DB1OC,CD1OC=C,DB1平面CD1O.16【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形A1ACC1是矩形连接A1C交AC1于O，连接，则O是A1C的中点，又D是BC的中点，所以在A1BC中，ODA1B，因为A1B平面ADC1，OD平面ADC1，所以A1B平面ADC1（2）因为ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以ADBC如图，以D为

14、原点，建立如图所示空间坐标系由已知ABBB12，得D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，2)，C1(0，-1，2)，则(，0，0)，(0，-1，2)，设平面AC1D的法向量为(x，y，z)，则，即，取z1，则x0，y2，(0，2，1)，又(，0，2)，cos，设A1D与平面ADC1所成角为，则sin|cos，|，故A1D与平面ADC1所成角的正弦值为 (2)=(-1,0,),=(-1,-,2),设平面ACM的一个法向量为m1=(x1,y1,z1),所以.取z1=1,得m1=(,1,1).学科&网又平面BCD的一个法向量m2=(0,0,1),所以cos=.设平面ACM与平面BCD的夹角为

15、,则sin =.18【答案】B【解析】建立如图所示的直角坐标系，设平面的法向量，则，即，又，平面与平面间的距离，故选B19【答案】D【解析】取DE的中点H,连接OH,则OHOB以O为坐标原点,OH,OB,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.在等腰ABC中，A=90，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点,A(0,0,),D(1,-2,0),=(1,-2,-).又平面ABC的一个法向量n=(1,0,0),设AD与平面ABC所成的角为,所以sin =|cos|=.20【答案】B21【答案】x+y+z=3【解析】由题意,知OA,直线OA的一

16、个方向向量为=(1,1,1).因为P,所以,即(1,1,1)(x-1,y-1,z-1)=0,故x+y+z=3.学科%网22【答案】M线段FH【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则N(,1,0).M在四边形EFGH及其内部运动,可设M(0,y,z),=(,1-y,-z).易证明平面B1BDD1的一个法向量是,且A(1,0,0),C(0,1,0),=(-1,1,0).要使MN平面B1BDD1,应有,即=0,-+1-y=0,解得y=,M(0,z).M点应在线段FH上运动,即M线段FH.24【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标

17、系Dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，设平面AED的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令y11，得n1(0，1，2)同理可得平面A1FD1的一个法向量为n2(0，2，1)n1n20，平面AED平面A1FD1学科*网25【解析】（1）设与交于，设，如图所示建立空间直角坐标系，则则平面，即，设平面的法向量为，则即令，则，又平面的一个法向量为，二面角大小为26【解析】（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.（2）作PHEF，垂足为H.由（1）

18、得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PEPF.可得.则为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系由已知得取平面的法向量学科#网设，则设平面的法向量为由得，可取，所以由已知可得所以解得（舍去），所以又，所以所以与平面所成角的正弦值为（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积

19、最大时，M为的中点.由题设得，设是平面MAB的法向量,则即可取.是平面MCD的法向量,因此，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系由（1）及已知可得，所以，设是平面的法向量，则即可取学科&网设是平面的法向量，则即可取则，所以二面角的余弦值为【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向

20、量的夹角建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键（2）由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，设是平面ABM的法向量，则即所以可取于是 ，因此二面角的余弦值为学科&网【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算（2）设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有|cos |cos|=求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系则由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得故设是平面DAE的法向量，则即 可取设是平面AEC的法向量，则同理可取则，所以二面角D-AE-C的余弦值为