专题2.3 离散型随机变量的均值与方差-20届高中数学同步讲义（理）人教版（选修2-3）

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1、2.3 离散型随机变量的均值与方差1离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量的分布列为则称_为随机变量的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平说明：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质2均值的性质若，其中，是常数，是随机变量，则也是随机变量，且_3常用分布的均值（1）两点分布：若随机变量服从参数为的两点分布，则_

2、（2）二项分布：若离散型随机变量，则_（3）二项分布均值公式的直观解释：在一次试验中，试验成功的概率是，则在次独立重复试验中，试验成功的平均次数为注意：两点分布是特殊的二项分布，若一次试验中，试验成功的概率是，则随机变量等于1的概率是，随机变量等于0的概率是4离散型随机变量的方差一般地，若离散型随机变量的分布列为则称_为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差说明：（1）描述了1，2，相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；

3、（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方5方差的性质（1）若，其中，是常数，是随机变量，则（2）方差公式的变形：_6常见分布的方差（1）两点分布：若随机变量服从参数为的两点分布，则（2）二项分布：若离散型随机变量，则_K知识参考答案：123456K重点离散型随机变量的期望和方差的求解K难点离散型随机变量的期望和方差的性质的运用K易错混淆常见分布的期望和方差的相关公式导致错误离散型随机变量的均值与方差的求解求离散型随机变量的均值和方差的步骤：（1）理解的意义，写出的所有可能取值；（2）求取每个值时的概率；（3）写出的分布列（有时可以省略）；（4）由定义求，根据以往的经

4、验，某工程施工期间的降水量(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量工期延误天数历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为，求工期延误天数的均值与方差【答案】，【解析】（1）由已知条件和概率的加法公式有：，所以的分布列为故，某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成小块地，在总共小块地中，随机选小块地种植品种甲，另外小块地种植品种乙若，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为，求的分布列、均值和方差【答案】分布列见解析，【解析】随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以的分布列为故

5、，离散型随机变量均值与方差的性质（1）口袋中有个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则ABCD（2）已知是离散型随机变量，若，则ABCD或（3）若随机变量，则A2B4C8D9【答案】（1）B；（2）C；（3）B【解析】（1）由题易得，所以，故选B（3）因为随机变量，所以，故故选B袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（1，2，3，4）现从袋中任取一球，用表示所取球的标号（1）求的分布列、均值和方差；（2）若，试求，的值【答案】（1）分布列见解析，；（2）或【解析】（1）由题可得的所有可能取值为0，1，2，3，4

6、，所以的分布列为故，（2）因为，所以且，解得或【名师点睛】利用公式，将求，的问题转化为求，的问题，从而可以避免求的分布列的烦琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算即可学科=网二项分布的均值与方差根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为，假设各车主购买保险相互独立（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（2）表示该地的200位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求的均值和方差【答案】（1）；（2），【解析】设事件表示“该地的1位车主购买甲种保险”，事件表示“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件表示

7、“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件表示“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”，则，相互独立（1）由题意知，则（2）易得，则，由题意可得，所以，某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“再来壹瓶”或“谢谢惠顾”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“再来壹瓶”字样即为中奖，中奖概率为甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料（1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（2）求中奖人数的分布列及数学期望和方差【答案】（1）；（2），【解析】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为、，那么，所以甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为（2）由题可得的所有可能取值为0，1，2，3，且0，1，2，3，所以中奖人数的分布列为

8、方法1：由分布列可得，方法2：由题易得，故，【名师点睛】若离散型随机变量服从二项分布，则其均值和方差既可以利用定义求解，也可以代入二项分布的均值和方差的计算公式求解利用均值、方差进行决策某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为，一旦发生，将造成万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采取，单独采取甲、乙预防措施所需的费用分别为万元和万元，采取相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为和若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使产生的总费用最少【答案】选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使产生的总费用最少【解析】不采取预防措施时，总费用即损失均值

9、为(万元)；若单独采取甲预防措施，则预防措施费用为万元，发生突发事件的概率为，损失均值为(万元)，所以总费用为(万元)；若单独采取乙预防措施，则预防措施费用为万元，发生突发事件的概率为，损失均值为(万元)，所以总费用为(万元)；若联合采取甲、乙两种预防措施，发生突发事件的概率为，则预防措施费用为(万元)，损失均值为(万元)，所以总费用为(万元)综合可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使产生的总费用最少有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲分数概率乙分数概率试分析甲、乙两名学生谁的成绩好一些【答案】见解析【名师点

10、睛】均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓但有时两个随机变量即使均值相同，其取值差异也可能很大，此时，我们就要利用方差来反映随机变量取值的集中程度由此来刻画两个随机变量的分布，对实际问题作出决策判断超几何分布的均值与方差一般地，从含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则服从参数为，的超几何分布，其分布列为，0，1，2，其中，且，求超几何分布的均值与方差有两种方法：（1）列出随机变量的分布列，利用均值与方差的计算公式直接求解；（2）利用公式：，某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人

11、数，则（1）均值_；（2）方差_(结果用最简分数表示)【答案】（1）；（2）【解析】方法1：由题意知随机变量服从参数为，的超几何分布，的可能取值为0，1，2，因此，故的分布列为012故，学=科网方法2：由题意知随机变量服从参数为，的超几何分布，直接代入超几何分布均值和方差的计算公式可得，【名师点睛】超几何分布均值公式的直观解释：件产品中有件次品，从中任取1件产品，易知平均取到件次品；若从中任取件产品，则平均取到件次品1下面说法中正确的是A离散型随机变量的均值反映了取值的概率的平均值B离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平C离散型随机变量的均值反映了取值的平均水平D离散型随机变量的方差反映了取

12、值的概率的平均值2已知离散型随机变量的概率分布如下表，则其数学期望E()等于135P0.5m0.2A1B0.6C23mD2.43已知随机变量XB(10，0.04)，随机变量的数学期望E(X)ABCD4随机变量XB(100，0.2)，那么D(4X3)A64B256C259D3205已知随机变量的分布列如下表所示，则ABCD6已知随机变量X的分布列为P(Xk)，k1，2，3，则D(3X5)A6B9C3D47如果随机变量表示抛掷一个各面分别有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量的均值为A2.5B3C3.5D48抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，则在3

13、0次独立重复试验中成功的次数X的数学期望是ABC10D209某射手射击所得环数的分布列如下表，已知的期望，则y的值为_78910Px0.10.3y10假定1500件产品中有100件不合格品，若从中抽取15件进行检查，则15件产品中不合格品数的均值_11随机变量X的分布列如下表：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)，则D(X)的值是_12某企业完成一项工程有三个方案，甲、乙、丙每个方案的获利情况如下表所示：自然状况方案甲方案乙方案丙概率获利（万元）概率获利（万元）概率获利（万元）巨大成功中等成功不成功为使企业获利最大，该企业应选择哪种方案？13甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击

14、相同的次数，已知两运动员射击的环数X稳定在7，8，9，10环他们的这次成绩画成频率分布直方图如图所示：（1）根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙8)，并求甲、乙同时击中9环以上(包括9环)的概率；（2）根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高14某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照，分成9组，制成了如下图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中的值并估计居民月均用电量的中位数；（2）从样本中月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用表示月均用电量不低于800度的用户数，求

15、随机变量的分布列及数学期望15已知随机变量XY8，若XB(10，0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是A6和2.4B2和2.4C2和5.6D6和5.616已知X的分布列如下表，则在下列式子中：E(X)；D(X)；P(X0)正确的有X101PA0个B1个C2个D3个17已知随机变量的分布列如下表，其中，则 102PABC0D118甲，乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，表示甲机床生产1000件产品中的次品数，表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，的分布列分别如表一，表二所示据此判定表一：0123P0.700.20.1表二：0123P0.60.20.10.1A甲比乙质量

16、好B乙比甲质量好C甲与乙质量相同D无法判定19甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望ABCD20同时抛掷5枚均匀的硬币160次，设5枚硬币正好出现1枚正面向上，4枚反面向上的次数为，则的数学期望是_21已知是离散型随机变量，若，则_学科=网22已知集合，则满足条件的事件的概率为_；集合的元素中含奇数的个数的期望为_23某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下

17、：办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望24甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这

18、三次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望25某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为（1）问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于？（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值26（2018新课标全国理）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相

19、互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则A0.7B0.6C0.4 D0.327（2018浙江）设0p1，随机变量的分布列是012P则当p在（0，1）内增大时，AD（）减小BD（）增大CD（）先减小后增大DD（）先增大后减小28（2017浙江）已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1pi，i=1，2 若0p1p2，则A，BC，29（2018新课标全国理）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则_30（2016四川理）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_3

20、1（2018天津理）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率32（2016山东理）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一

21、个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和的分布列和数学期望1【答案】C【解析】离散型随机变量的均值反映了取值的平均水平，它的方差反映了的取值的离散程度故选C2【答案】D【解析】0.5m0.21，m0.3，E()10.530.350.22.4故选D3【答案】B【解析】由二项分布的期望公式得E(X)100.04=0.4，故选B4【答案】B【解析】由XB(100，0.2)知随机变量X服从二项

22、分布，且n100，P0.2，由公式得D(X)np(1p)1000.20.816，因此D(4X3)42D(X)1616256，故选B7【答案】C【解析】P(k)(k1，2，3，6)，E()126(126)3.5故选C8【答案】B【解析】由题意知，成功次数服从二项分布，每次成功的概率为，由二项分布的期望公式可得30次独立重复试验中成功的次数X的数学期望是E(X)故选B9【答案】0.4【解析】由分布列性质可知，x+y=0.6，解得10【答案】【解析】易知服从超几何分布，故11【答案】【解析】abc1，2bac，b，ac，又E(X)，ac，故a，c，D(X)(1)2(0)2(1)212【答案】方案甲的

23、平均获利最大，应选择方案甲学科=网【解析】用，分别表示甲、乙、丙三个方案的获利金额，则采用方案甲的平均获利为万元；采用方案乙的平均获利为万元；采用方案丙的平均获利为万元，显然，即，所以方案甲的平均获利最大，应选择方案甲13【答案】（1）0.3575；（2）估计甲的水平更高【解析】（1）由题图可知：P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35所以P(X乙8)10.20.20.350.25同理，P(X甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3所以P(X甲10)10.20.150.30.35因为P(X甲9)0.30.350.65，P(X乙9)0.20.350.55所以甲

24、、乙同时击中9环以上(包含9环)的概率为PP(X甲9)P(X乙9)0.650.550.3575（2）因为E(X甲)70.280.1590.3100.358.8，E(X乙)70.280.2590.2100.358.7，E(X甲)E(X乙)，所以估计甲的水平更高14【答案】（1），中位数为度；（2）分布列见解析，【解析】（1），解得设中位数是度，前5组的频率之和为，而前4组的频率之和为，所以，解得，故居民月均用电量的中位数为度所以随机变量的分布列为01234故15【答案】B【解析】因为XY8，所以Y8X，所以E(Y)8E(X)8100.62，D(Y)(1)2D(X)100.60.42.4故选B16

25、【答案】C【解析】，故只有正确，故选C17【答案】D【解析】由随机变量的分布列的性质，得，即，又，所以，解得或（舍去），则，则故选D18【答案】B【解析】由分布列可求甲的次品数期望为E()0.7，乙的次品数期望为E()0.7，进而可得D()(00.7)20.7(10.7)20(20.7)20.2(30.7)20.11.21，D()(00.7)20.6(10.7)20.2(20.7)20.1(30.7)20.11.01，故乙的质量要比甲好故选B20【答案】【解析】抛掷一次，出现一次正面向上，次反面向上的概率为，且枚硬币出现一次正面向上，次反面向上的概率都相同，而且各次试验中事件是相互独立，所以服

26、从二项分布，故其数学期望21【答案】【解析】由，可得，求解可得22【答案】 【解析】由题意，无满足条件的事件，故所求概率为；集合的元素中含奇数个数的可能情况为，对应概率分别为，故数学期望为23【答案】（1）0.22；（2）分布列见解析，E(X)0.51【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下表：Y12345P0.10.40.30.10.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为

27、1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，所以P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.10.30.30.10.40.40.22（2）X所有可能的取值为0，1，2学=科网P(X0)P(Y2)0.5，P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49，P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01所以X的分布列为X012P0.50.490.01则E(X)00.510.4920.010.5124【答案】（1）甲，理由见解析；（2）分布列见解析，【解析】（1）甲参加比较合适理由如下：，因为，所以甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适（2）“

28、甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件，则，随机变量的可能取值为0，1，2，3，且，所以，故的分布列为0123所以（或）25【答案】（1）；（2）万元【解析】（1）设“机器出现故障设”为事件，则设出现故障的机器台数为，则，故的分布列为01234设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为，这个互斥事件的和事件，则01234因为，所以至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于26【答案】B【解析】，或，可知，故选B27【答案】D【解析】，先增后减，故选D28【答案】A【解析】，故选A29【答案】【解析】由题意可得，抽到二等品

29、的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得30【答案】【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功的概率为，所以，故31【答案】（1）分别抽取3人，2人，2人；（2）（i）分布列见解析，（ii）【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=k）=（k=0，1，2，3）学-科网所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望（ii）设事件B为“抽取

30、的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=BC，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以，事件A发生的概率为32【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】（1）记事件：“甲第一轮猜对”，记事件：“乙第一轮猜对”，记事件：“甲第二轮猜对”，记事件：“乙第二轮猜对”，记事件：“星队至少猜对3个成语”由题意，由事件的独立性与互斥性，可得，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为（2）由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，6由事件的独立性与互斥性，得，所以随机变量的分布列为012346所以数学期望TheEnd下节见