专题2.4 抛物线-20届高中数学同步讲义（理）人教版（选修2-1）

《专题2.4 抛物线-20届高中数学同步讲义（理）人教版（选修2-1）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题2.4 抛物线-20届高中数学同步讲义（理）人教版（选修2-1）（35页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线抛物线的集合描述：设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d，则抛物线就是点的集合2抛物线的标准方程抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：图 形标准方程焦点坐标_准线方程_注：抛物线标准方程中参数p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于03抛物线的简单几何性质（1）范围：因为，所以对于抛物线上的点M(x，y)，有x0，抛物线向右上方和右下方无限延伸（2）对称性：抛物线关于_对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴学￥科网（3）顶点：抛

2、物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点（4）离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比由抛物线的定义可知，离心率由此，我们可得抛物线具有如下特点：（1）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴；（2）抛物线的离心率是确定的，； （3）抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且顶点到它们的距离相等，均为4四条抛物线的简单几何性质比较标准方程图 形几何性质范 围 对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称顶 点_离心率5抛物线的焦半径抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程焦半径公式_6抛物线的焦点弦抛物线的

3、焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，则抛物线方程焦点弦公式其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径对于抛物线，由，可得，故抛物线的通径长为2pK知识参考答案：1距离相等 2 3x轴 4坐标原点(0，0) 5K重点抛物线的定义、标准方程及简单几何性质K难点抛物线标准方程的应用（以抛物线的标准方程为载体，与其他知识综合）K易错忽略抛物线定义中的限制条件、对定义理解不透彻、忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况求抛

4、物线的焦点坐标及准线方程（1）由一次项（是x还是y）及其符号（是正还是负）确定抛物线的开口方向，可得焦点和准线的位置；（2）由一次项的系数确定2p（大于零）的值，进而求得，结合（1）可得焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】见解析【名师点睛】已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，应先看抛物线方程是否是标准方程，若不是，需先化为标准方程抛物线定义的运用（1）抛物线中经常把点到焦点的距离转化为点到准线的距离，或者把点到准线的距离转化为点到焦点的距离，然后根据平面几何的有关知识求解（2）有关抛物线上一点P到抛物线焦点F与到已知点M（M在抛物线内）的

5、距离之和的最小值问题，只要点P到抛物线准线l的距离与到点M的距离之和最小即可由抛物线的图形可知，过点M作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F与到已知点M的距离之和最小解题时注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、点与直线上的点的连线中垂线段最短等（1）已知抛物线上一点M，其横坐标为，它到焦点F的距离为10，则点M的坐标为_；（2）已知点P在抛物线上，点，F是焦点，则的最小值为_【答案】（1）或；（2）6（2）因为，所以点A在抛物线内部如图，过点P，A分别作准线l的垂线，垂足分别为Q，B，则，易知当A，P，Q三点共线时，最小，即易得点A到准线l的距离为学&科网【名师点睛】对于（2）

6、，若点A在抛物线外部，连接AF，则AF与抛物线的交点P可使最小求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程一般采用待定系数法：即先定位（即确定抛物线开口方向），再定量（即确定参数p的值）若无法定位，则需分类讨论求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）经过点，且以坐标轴为对称轴；（2）焦点为直线与坐标轴的交点；（3）顶点在坐标原点，准线方程为【答案】（1）或；（2）或；（3）【解析】（1）因为点在第三象限，所以可设抛物线的标准方程为或若点在上，则，解得；若点在上，则，解得故所求抛物线的标准方程为或（2）直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为当焦点坐标为时，即，此时抛物线方程为；当焦点坐标为时，即，此

7、时抛物线方程为故所求抛物线的标准方程为或（3）因为准线方程为，所以可设抛物线的标准方程为，且，故所求抛物线的标准方程为学科&网【名师点睛】（1）求抛物线的标准方程时，“定位”是关键，一般结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；（2）已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程；（3）若已知抛物线的焦点坐标或准线方程，则可设出抛物线的标准方程，求出p的值即可与抛物线有关的轨迹问题已知圆C的方程，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程【答案】或【名师点睛】抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以转化为利用抛物线的定义求解，利用抛物线的定义求解的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到

8、定直线的距离，需要依据条件进行转化抛物线中过焦点的弦长问题（1）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则_；（2）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则_【答案】（1）10；（2）【名师点睛】解决此类问题的关键是“设而不求”方法的应用解题时，设出直线与抛物线的两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解直线与抛物线的位置关系（1）若直线与曲线恰好有一个公共点，求实数a的值；（2）过点Q(4，1)作抛物线的弦AB，该弦恰被Q平分，求直线AB的方程【答案】（1）或或；（2）【解析】（1）因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实

9、数解将代入消去y，得 当，即时，方程即，可得，符合题意当时，由题意可得，解得或当，方程即，可得，符合题意；当，方程即，可得，符合题意综上，实数或或学科&网方法2：由题意可知，当AB垂直于x轴时，不符合题意，故直线AB的斜率存在设，则 ， ，且，得，即，即，故直线AB的斜率，故直线AB的方程为，即【名师点睛】研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点与定值问题是高考的常考题型，

10、运算量较大，解题思维性较强解决这类问题一般有两种方法：（1）根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组（或不等式），消去参数，求出定值或定点坐标；（2）先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B(1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）如图1，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，所

11、以又，所以，化简得又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程，所以动圆圆心的轨迹C的方程为图1 图2即(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，即2kx1x2(bk)(x1x2)2b0 ，将代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，即kb，此时0，所以直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1，0)忽略抛物线定义中的限制条件已知点P到F(4，0)的距离与到直线的距离相等，求点P的轨迹方程【错解】由抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线因为焦点在x轴上，开口向右，焦点到准线的距离，所以抛物线的方程为【错因分析】点P到F(4，0)的距离与到直线的距离相等，满足抛

12、物线的定义，但，故此抛物线的方程不是标准方程【正解】设点P(x，y)，则由题意，得，化简整理得，此即所求的轨迹方程【名师点睛】抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解对抛物线的定义理解不透彻若动点P到定点F(1，1)的距离与它到直线的距离相等，则动点P的轨迹是A椭圆B双曲线C抛物线D直线【错解】因为动点P到定点F的距离与它到定直线l的距离相等，所以由抛物线的定义知动点P的轨迹是抛物线故选C【错因分析】错解的原因是没有掌握抛物线的定义，忽略了分析定点与定直线的位置关系：定点F(1，1)在定直线上学科*网【名师

13、点睛】抛物线的定义中要求定点在定直线之外，因此当动点P到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程【错解】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由消去x，得，则，解得故所求直线l的方程为或【错因分析】错解中忽略了与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点，故产生漏解【正解】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意当直线l的斜率存在时，设l：，当时，直线l的方程为，此时直线l与抛物线只有一个公共点当时，与抛物线方程联立消去x，得，则，解得，此时直线l

14、的方程为或综上，直线l的方程为或或【名师点睛】直线与抛物线公共点的个数等价于方程组的解的个数（1）若，则当时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当时，直线和抛物线相离，无公共点（2）若，则直线与抛物线相交，有一个公共点特别地，当直线l的斜率不存在时，设，则当时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当时，直线l与抛物线相离，无公共点1抛物线的焦点坐标为ABCD2抛物线的准线方程是ABCD3若抛物线的的焦点坐标为，则的值为ABCD4顶点在原点，经过圆的圆心，且准线与轴垂直的抛物线方程为ABCD5已知点是抛物线的焦点，点在该抛

15、物线上，且点的横坐标是，则ABCD6顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是ABC或D或7为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为ABCD8如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线C的焦点，若，则ABCD9抛物线的准线与直线的距离为，则此抛物线的方程为_10若是抛物线上一点，且在轴上方，是抛物线的焦点，直线的倾斜角为，则_11以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是_12过点P(0，1)的直线l交抛物线于A，B两点，点Q为线段AB的中点若点Q的横坐标为1，则点Q到抛物线焦点的距离为_13某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图所示

16、，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽米，车与箱共高米，问此车能否通过此隧道？说明理由14已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积15抛物线上一点到焦点的距离是，则A或B或C或D或16已知抛物线，以为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为ABCD17已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，直线分别与抛物线交于点，设直线的斜率分别为，则ABCD18以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为A2B4C6D819已知

17、是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是ABCD20已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，焦点在双曲线上，则该抛物线的标准方程为_21抛物线上一点P直线的距离与到点Q(2，2)的距离之差的最大值为_22已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则_23如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点，若，且，则抛物线的方程是_24已知抛物线上有两点（1）当抛物线的准线方程为时，作正方形使得边所在的直线方程为，求正方形的边长；（2）抛物线上有一定点，当与的斜率存在且倾斜角互补时，求证：直线的斜率是非零常数25（2018新课标全国理）设抛物线的焦点为，过点且斜率为

18、的直线与交于，两点，则A5B6C7D826（2017新课标全国II）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为ABCD27（2017新课标全国I理）已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D1028（2018北京）已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为_29（2017新课标全国II理）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则_30（2018新课标全国）已知点和抛物线，过的焦

19、点且斜率为的直线与交于，两点若，则_31（2018新课标全国理）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程32（2018浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+=1(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围33（2018新课标全国）设抛物线，点，过点的直线与交于，两点（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：34（2018北京理）已知抛物线经过点过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交

20、轴于，直线交轴于（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，求证：为定值35（2017北京理）已知抛物线C：过点P(1，1)过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点36（2017新课标全国III理）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程37（2017天津理）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛

21、物线的准线的距离为（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程38（2016新课标全国III理）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点（1）若在线段上，是的中点，证明；（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程1【答案】C【解析】可变形为，焦点为故选C2【答案】B【解析】将抛物线方程变成标准方程为，所以其准线方程是，故选B3【答案】A4【答案】B【解析】圆的圆心坐标为，依题意抛物线方程可设为，把坐标代入得故选B5【答案】B【解析】由抛物线方程可知，由点的横坐标是得，即

22、点，故选B6【答案】C【解析】当焦点在轴上时，设方程为，将代入得，；当焦点在轴上时，设方程为，将代入得，故选C7【答案】B【解析】设点到准线的距离为，由抛物线线定义得，故，则，故的面积故选B8【答案】A【解析】抛物线的焦点为，准线为，根据抛物线的定义，到焦点F的距离等于到准线的距离，即，所以故选A9【答案】或【解析】准线方程为，或，或10【答案】【解析】直线的方程为，代入抛物线方程并整理得，解得，又因为在轴上方，所以点的横坐标为，所以学&科网11【答案】【解析】为抛物线的准线，根据抛物线的定义知，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点12【答案】13【答案】此车不能通过隧道【解

23、析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，设抛物线方程为，将点的坐标代入得，所以抛物线方程为因为车与箱共高，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶则可设抛物线上点的坐标为，的坐标为，则，解得，所以，故此时车不能通过隧道14【答案】（1）或或；（2）15【答案】A【解析】易知抛物线的焦点为，由题可得，又，所以或，故选A16【答案】B【解析】由题意可得直线的斜率一定存在，设斜率为，直线与抛物线的交点分别为，所以，所以，所以所求直线的方程为故选B17【答案】B【解析】由题可得直线的方程为，由可得，设，则，故直线的方程为，由可得，则，所以，同理可得，所以，所以故选B学.科网18【答案】B【解析】设抛物线方程为

24、，分别交轴于点，则，即点纵坐标为，点横坐标为，即，由勾股定理知，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B19【答案】D20【答案】或【解析】由题意知抛物线的焦点为双曲线的顶点，即为或，因为抛物线关于轴对称，所以可设抛物线的标准方程为，则，所以抛物线的标准方程为或21【答案】【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得点P到直线的距离，则当P，Q，F三点共线时，点P到直线的距离与到点Q(2，2)的距离之差取得最大值因为F(1，0)，Q(2，2)，所以最大值为22【答案】23【答案】【解析】如图，设在准线上的射影分别为，准线与轴的交点为，则，所以，所以，所以，所以是的中点，所以，故所求抛物线方

25、程为24【答案】（1）或；（2）详见解析【解析】（1）由题意可设直线的方程为，因为抛物线的准线方程为，所以，所以抛物线方程为，由消去可得，则，所以，学科#网AB与CD的距离，由ABCD为正方形可得，解得或，所以正方形的边长为或（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，由，相减得，故同理可得由，的倾斜角互补知，即，所以设直线的斜率为，由，相减得，所以将代入得，所以是非零常数25【答案】D26【答案】C【解析】由题知，与抛物线联立得，解得，所以，因为，所以，因为，所以所以到直线的距离为故选C27【答案】A【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）

26、时，取等号故选A【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以 28【答案】29【答案】【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故学科.网【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准

27、线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化30【答案】2【解析】设，则，所以，所以，取的中点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，因为，所以，因为为的中点，所以平行于轴，因为，所以，则，所以31【答案】（1）；（2）或（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为，则解得或因此所求圆的方程为或32【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）设，因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，即的

28、两个不同的实数根，所以，因此垂直于轴（2）由（1）可知所以，因此，的面积因为，所以因此，面积的取值范围是33【答案】（1）y=或；（2）证明见解析【解析】（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，2）所以直线BM的方程为y=或学科.网34【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为由可得依题意，解得或又，与轴相交，故直线不过点从而所以直线斜率的取值范围是35【答案】（1），焦点坐标为(，0)，准线方程为；（2）证明见解析【思路分析】（1）代入点求得抛物线的方程，根据方

29、程表示焦点坐标和准线方程；（2）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为，联立求得点的坐标为，再证明【解析】（1）由抛物线C：过点P(1，1)，得所以抛物线C的方程为，抛物线C的焦点坐标为(，0)，准线方程为（2）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，由，得则，因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为直线ON的方程为，点B的坐标为因为，所以，故A为线段BM的中点【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的

30、关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量36【答案】（1）证明见解析；（2）直线的方程为，圆的方程为或直线的方程为，圆的方程为【思路分析】（1）设出点的坐标，联立直线与抛物线的方程，由斜率之积为可得，即得结论；（2）结合（1）的结论求得实数的值，分类讨论即可求得直线的方程和圆的方程（2）由（1）可得故圆心的坐标为，圆的半径由于圆过点，因此，故，即，学*科网由（1）可得所以，解得或当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方

31、程为37【答案】（1），；（2）或【思路分析】（1）由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线的方程；（2）设直线的方程为，解出两点的坐标，把直线的方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出所在直线的方程，求出点的坐标，最后根据的面积为，解方程求出，可得直线的方程（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故将与联立，消去整理得，解得或由点异于点，可得点由，可得直线的方程为，令，解得，故，所以又的面积为，故，学科&网整理得，解得，所以所以，直线的方程为或38【答案】（1）证明见解析；（2）（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以(舍去)或设满足条件的的中点为当与轴不垂直时，由，可得，而，所以当与轴垂直时，与重合，所以所求轨迹方程为