专题2.3 数学归纳法-20届高中数学同步讲义（理）人教版（选修2-2）

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1、1数学归纳法的概念 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取_时命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当_时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.可以用框图表示为：注意：（1）数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.学科&网（2）不一定都是1.2数学归纳法中两个步骤的作用及关系 步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证.这两个步骤缺一不可，如果只有步骤（1）缺少步骤（2），则无法判断时

2、命题是否成立；如果只有步骤（2）缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）就没有意义了.注意步骤（2）中必须用到归纳假设.K知识参考答案：1（1）第一个值（2）K重点用数学归纳法进行证明K难点用数学归纳法进行证明K易错用数学归纳法进行证明时，步骤缺一不可，且第二步的归纳假设要用到用数学归纳法证明等式和不等式问题用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，要先看项，清楚等式两边式子的构成规律，等式的两边各有多少项，再用数学归纳法证明.证明不等式时，则要注意往目标式子上凑，在证明过程中可能用到比较法、综合法、分析法、放缩法等.用数学归纳法证明:.【名师点睛】利用数学归纳法证明等式时应

3、注意的问题：（1）用数学归纳法证明等式的关键点在于弄清楚等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少；（2）由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设证题时要根据要求正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明用数学归纳法证明.【解析】当时，左边，不等式成立.用数学归纳法证明平面几何问题用数学归纳法证明平面几何问题的关键是确定几何元素从k增加到k+1时，所证的几何量增加多少，从而建立k与k+1之间的递推关系.平面内有n(nN*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2个

4、部分.【解析】（1）当n=1时,f(1)=12-1+2=2,一个圆把平面分成两部分,命题成立.（2）假设当n=k(kN*)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.那么当n=k+1时,第k+1个圆与其他k个圆相交于2k个点,第k+1个圆被分成2k条弧,而每条弧把原区域分成2块,学科.网因此,这个平面被分成的总区域数增加了2k块,即f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,故当n=k+1时命题也成立.根据（1）和（2）,可知命题对任何nN*都成立.归纳、猜想及证明有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由归纳推理得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想

5、正确.观察下列等式：；（1）照此规律，归纳猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【解析】（1）第个等式为；假设当时原等式成立，即,则当时， ,所以当时，原等式也成立.由知，（1）中的猜想对任何都成立.归纳假设只设不用致误用数学归纳法证明：.【错解】(1)当时，左边=1，右边=1，左边=右边，等式成立.(2)假设当时等式成立，学科&网即，则当时，需证.由于等式左边是一个以1为首项，公差为3，项数为的等差数列的和，其和为，所以式成立，即时等式成立.【错因分析】错解在证明当等式成立时,没有用到归纳假设，故不符合数学归纳法证明的要求.数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，且第二步归纳假设应

6、用到.【正解】(1)当时，左边=1，右边=1，左边=右边，等式成立.(2)假设当时等式成立，即，则当时，即当时等式成立.根据(1)和(2)，可知等式对一切都成立.1在用数学归纳法证明“”时，验证当n=1时，等式的左边为A BC D2用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步假设应写成A假设n=k(kN*)时,xn+yn能被x+y整除B假设n=2k(kN*)时,xn+yn能被x+y整除C假设n=2k+1(kN*)时,xn+yn能被x+y整除D假设n=2k-1(kN*)时,xn+yn能被x+y整除3证明等式时，某学生的证明过程如下：（1）当时，等式成立；（2）假设时，等式

7、成立，即，则当时，所以当时，等式也成立，故原式成立.那么上述证明A过程全都正确 B当时验证不正确C归纳假设不正确 D从到的推理不正确4在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时， 增加的项数是A BC D5已知,则与的关系是A=BCD6用数学归纳法证明“”,则当时,应当在时对应的等式的两边加上ABCD7用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是_.8用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN*)”时，第一步验证的表达式为_.9已知，用数学归纳法证明：时,从“到”左边需增加的代数式是_.10证明12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(n).11设nN*,n1,用数学归

8、纳法证明不等式1+.12平面内有n(n2,nN*)条直线,其中任何两条均不平行,任何三条均不共点,证明:交点的个数f(n)=.13已知数列,的前项和为.(1)计算的值,根据计算结果,猜想的表达式;(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的的表达式.14某个命题与正整数有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立.现已知当时该命题不成立，那么可推得A当时该命题不成立 B当时该命题成立C当时该命题不成立 D当时该命题成立15用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，当时，式子应变形为_16是否存在常数使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.17已知f

9、(n)=(2n+7)3n+9(nN*),用数学归纳法证明f(n)能被36整除.18已知 .（1）求及；（2）试比较与的大小，并用数学归纳法证明.1【答案】C【解析】由，知当n=1时，等式的左边为.故选C2【答案】D3【答案】A【解析】当时验证是正确的，归纳假设是正确的，从到的推理也是正确的，即证明过程中不存在任何的问题.故选A. 学*科网4【答案】C【解析】假设时成立，即，当成立时，增加的项数是，故选C.5【答案】A【解析】由,得,故=故选A6【答案】A【解析】由题可得,当时,左边为,所以在时对应的等式的两边加上.故选A7【答案】【解析】在等式中，当时，而等式左边起始为的连续的正整数的和，故时

10、，等式左边的项为，故答案为.8【答案】2111212(或224或44)【解析】当n1时，2111212.9【答案】10【解析】(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3， 当n1时，等式成立.(2)假设当nk时等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1).当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)22(k1)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1， 当nk1时，等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何n都成立.学%科网11【解析】(1)当n=2时,1+=1+,不等式成立.(2)假设当n

11、=k(kN*,k1)时,不等式成立,即1+.那么,当n=k+1时,1+,所以当n=k+1时不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任意的nN*,n1,1+成立.13【解析】(1),猜想.(2)当时,左边=,右边=,猜想成立假设当时猜想成立,即,那么当时，=,所以,当时猜想也成立根据可知,猜想对任何都成立14【答案】A15【答案】【解析】用数学归纳法证明：能被6整除的过程中，当时，式子应变形为，由于假设能够被6整除，而能被2整除，因此能被6整除，故答案为.16【解析】分别令，可得，解得故猜想等式对一切正整数都成立. 下面用数学归纳法证明：当n=1时，由上面的探求可知等式成立假设时猜想成立，即当n=k1时，所以当n=k1时，等式也成立学*科网由知猜想成立，即存在使命题成立18【解析】（1）令，则，令，则，所以（2）要比较与的大小，只要比较与的大小猜想：下面用数学归纳法证明： 当时，,结论成立 假设当时结论成立，即，则当时，因为，所以，所以，所以，即时结论也成立由可知，时，所以.学&科网