专题3.1.4、3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示-20届高中数学同步讲义（理）人教版（选修2-1）

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1、1空间向量基本定理类似于平面向量基本定理，有空间向量基本定理： 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得_其中，叫做空间的一个基底，都叫做基向量注意：（1）空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；学科&网（2）由于与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是2空间向量基本定理的推论设，是不共面的四点，则对于空间任一点，都存在唯一的有序实数组，使得，当且仅当_时，四点共面3单位正交基底设为有公共起点O的三个两两_的单位向量，我们称它们为单位正交基底用来表示4空间向量的坐标表示以的公

2、共起点O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz那么，对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量由空间向量基本定理可知，存在有序实数组，使得_我们把x，y，z称作向量在单位正交基底下的坐标，记作_注：向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响5单位正交基底之间的数量积运算（1）因为单位正交基底互相垂直，所以_（2）因为为单位向量，所以6空间向量的坐标运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到 设，则（1），；（2），_，；（3）在空间直角坐标系中，已知点，则A，B两点间的距离

3、注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系K知识参考答案：123垂直6（2）K重点空间向量基本定理及其意义，正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示K难点利用向量的坐标运算解决垂直问题、平行问题及空间角的求解K易错对基底概念理解不清、向量分解不彻底，混淆两向量平行与两向量同向基底的判断判断给出的向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断向量是否共面，首先应考虑向量是否是零向量，其次判断非零向量是否共面已知e1,e2,e3是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断,能否作为空间的一个基底.因为e1,

4、e2,e3是空间的一个基底,所以e1,e2,e3不共面,所以,此方程组无解.即不存在实数x,y,使得=x+y成立,所以,不共面.故,能作为空间的一个基底.【名师点睛】如果从正面难以入手判断向量是否共面，可假设向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则向量共面；若方程组无解，则向量不共面学科*网空间向量基本定理的应用若是空间的一个基底，则，的值分别为A， B，C， D，1，【答案】A如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQQA1=41，设=a，=b，=c，用基底a,b,c

5、表示以下向量：；(2)；(3)；(4).【解析】连接AC,AD1,AC1.(1)(+)=(+)=(a+b+c).(2)(+)=(+2+)=(a+2b+c).(3)(+)=(+)+(+)=(+2+2)=(a+2b+2c)=a+b+c.(4)+(-)=+a+b+c.【名师点睛】用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法则及向量的一些代数运算，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示学科&网空间向量的坐标运算若点A(1,2,3),B(-3,2,7),且+2=0.(1)求点C的坐标；(2)求. (2)=-=(4,0,-

6、4),=(1,2,3)-(-1,2,5)=(2,0,-2),=(4,0,-4)(2,0,-2)=8+8=16.已知点A(2，0，1)，B(1，1，2)，C(3，2，3)（1）向量与夹角的余弦值为_；（2）若向量，且，则_；（3）若向量与向量互相垂直，则实数_【解析】由题可知，（1）（3）因为，所以，解得学科&网【名师点睛】空间向量的平行、垂直与数量积运算是高考的热点，而坐标运算的关键是正确写出向量的坐标，然后套用相应的公式进行计算应注意：当向量的起点不为原点时，需依据求向量的坐标空间向量的坐标运算在立体几何中的应用利用空间向量的坐标运算求解立体几何问题时，关键是确定相关向量的坐标，一般有两种方

7、法：（1）利用单位正交基底表示向量，然后对应写出坐标；（2）利用建立的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，然后利用有向线段表示坐标的方法用终点坐标减去起点坐标，可得向量坐标如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,DPC=30,AFPC于点F,FECD,交PD于点E.证明:CF平面ADF.【解析】由题意可知DADC,DADP,DCDP,则以D为原点,DP所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DA所在直线为z轴建立空间直角坐标系.设正方形ABCD的边长为a,则C(0,a,0),A(0,0,a),D(0,0,0).在RtPDC中,由已知及平面几何知识可求得F(a,a,0),所以=(a,-a,0)

8、,=(a,a,0),=(0,0,a).所以=(a,-a,0)(a,a,0)=0,=(a,-a,0)(0,0,a)=0,故CFDF,CFDA又DFDA=D,所以CF平面ADF.【名师点睛】坐标法是解决立体几何问题的一个强有力的工具对于以正方体、长方体或其他具备垂直关系的几何体作为载体的立体几何问题，可以优先考虑坐标法，这样仅通过计算即可获得平行、垂直等关系，结合向量的数量积又可解决有关求角、求距离的问题学科*网如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点.(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值. (2)依题意得

9、A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，.又，.故A1B与B1C所成角的余弦值为.对基底概念理解不清、向量分解不彻底如图1，在长方体中，为与的交点若，试用基底表示向量 图1图2【错解】如图2，连接，则【错因分析】错解中可以用基底表示，向量的分解不彻底导致错误【正解】如图2，连接，则【名师点睛】用基底表示向量时，最后结果应只含基向量，基底可以表示空间内的任意一个向量混淆两向量平行与两向量同向已知向量，若向量同向，求实数的值【错解】由题意可知，所以，即，解得或故，或，【错因分析】“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件错解中忽略了“同向”这一限制条件，从而导致错误学科&网【

10、正解】由题意可知，所以，即，解得或故，或，当，时，向量反向，不符合题意，应舍去；当，时，向量同向，符合题意综上，【名师点睛】由于向量可以任意平移，所以有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与两向量平行也是不等价的若两向量平行，则两向量可能同向、也可能反向1 ABCD无法确定2下列各组向量中,可以作为基底的是ABCD3设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，的坐标分别为，则ABCD4若向量a，b的坐标满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则ab=A5B-5C7D-15已知，则与的夹角为ABCD6设M(5,-1,2),A(4,2,-1),

11、O(0,0,0),若,则点B的坐标为A(9,1,1)B(-9,-1,-1)C(-1,3,-3)D(1,-3,3)7已知点在基底下的坐标为，其中，则点在基底下的坐标是ABCD8以下四个命题中正确的是A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B若为空间向量的一组基底，则全不是零向量C为直角三角形的充要条件是D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底9正方体中，分别是，的中点，以为基底，则，的值是ABCD10在如图所示的空间直角坐标系中,正方体的棱长为2,为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点F的坐标为ABCD11若=,且,则的值是_.12如图，在空间四边形中，和为对角线，为的重心，是上一点

12、， 以为基底，则_13在平面直角坐标系中,已知点,若三点共线,则 14若是空间的一个基底，判断能否作为该空间的一个基底15已知向量a=(-4,2,4),b=(-6,3,-2).(1)求|a|;(2)求a与b夹角的余弦值.16如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=PD证明:平面PQC平面DCQ.17已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设a=，b=.(1)设|c|=3，c/，求c.(2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k.18已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5

13、,3),试判断四边形ABCD的形状.19设向量是空间的一个基底，则定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是A BC D或20已知A(0,0,-x),B(1,2),C(x,2)三点,点M在平面ABC内,O是平面ABC外一点,且=x+2x+4,则与的夹角为ABCD21已知是四面体，是的重心，是上的一点，且若，则为ABCD22若向量，的起点和终点，互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间一个基底的关系是ABCD23若两点,当取最小值时,的值等于A19BCD24已知向量，且与互相垂直，则的值为ABCD25已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是A

14、ac,bcBab,acCac,abD以上都不对26若向量，则_27已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H满足BHOA,则点H的坐标为.28已知向量，且，（1）求向量，；（2）求向量与所成角的余弦值29已知a=(-1,2,2),b=(1,0,-2),c=a+tb,并且实数t满足关于x的方程x2-2tx+2t2-7t+12=0有实数根.当|c|取最小值时,求t的值.30已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)若,且|=2,求点P的坐标;(2)求以,为邻边的平行四边形的面积.31已知正三棱柱，底面边长，点，分别是边

15、，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）求三棱柱的侧棱长；（2）若为的中点，试用基底向量，表示向量；（3）求异面直线与所成角的余弦值32（2015四川理）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，、分别为、的中点设异面直线与所成的角为，则的最大值为_1【答案】A【解析】因为,所以，则.2【答案】B3【答案】D【解析】故选D4【答案】B【解析】因为a+b=(-2,-1,2)，a-b=(4,-3,-2)，所以a=(1,-2,0)，b=(-3,1,2)，所以ab=1(-3)+(-2)1+02=-5，故选B5【答案】C【解析】设与的夹角为，由题意可得，故选C学科&网6【答案】

16、A【解析】设点B的坐标为(x,y,z)，则=(x-4,y-2,z+1).,=(5,-1,2)，x-4=5,y-2=-1,z+1=2，x=9,y=1,z=1,点B的坐标为(9,1,1).7【答案】A【解析】由题可得所以点A在基底下的坐标为(12,14,10).故选A8【答案】B9【答案】A【解析】由题得，对比，可得故选A10【答案】C【解析】结合图形可知,设,因为,所以=,解得,所以点F的坐标为.故选C11【答案】【解析】因为=,所以=,因为,所以=,所以.13【答案】【解析】因为点三点共线,所以有,所以,解得,所以=.14【解析】假设共面，则存在实数使得，为基底，不共面，此方程组无解，不共面，

17、可以作为空间一个基底15【解析】(1)因为a=(-4,2,4),所以|a|=6.(2)因为a =(-4,2,4),b=(-6,3,-2),所以ab=(-4,2,4)(-6,3,-2)=24+6-8=22.又|b|=7,所以cos=.即a与b夹角的余弦值为.16【解析】如图,以D为坐标原点,DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.17【解析】(1)因为且c/，所以设得,解得即(2)因为,所以又因为所以即解得k=2或19【答案】C【解析】因为向量是空间的一个基底，所以三个向量不共面，而向量与或共面，故排除选项A、B、D故选C20【答案】C【解析】由A,B,C,M四点共面可

18、知x+2x+4=1,x=-1.A(0,0,1),C(-1,2),=(1,1),=(-1,1),cos=,即与的夹角为.故选C21【答案】A【解析】因为 ，而，所以，故选A22【答案】C【解析】对于A，由四点共面知，共面；对于B，D，易知，共面，故只有C中，不共面故选C23【答案】C【解析】=有最小值,即有最小值,当且仅当=时取得最小值故选C24【答案】D25【答案】C【解析】c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,ac.又ab=-22+(-3)0+14=0,ab,故选C26【答案】【解析】因为，所以，所以故填27【答案】(-,0)【解析】设H(x,y,z),则=(x,y,z),=(

19、x,y-1,z-1),=(-1,1,0),因为BHOA,所以=0,即-x+y-1=0,又点H在直线OA上,所以=,即,由解得,所以点H的坐标为(-,0).29【解析】关于x的方程x2-2tx+2t2-7t+12=0有实数根,则=(-2t)2-4(2t2-7t+12)0,即t2-7t+120,解得3t4.又c=a+tb=(-1,2,2)+t(1,0,-2)=(t-1,2,2-2t),|c|=.当t3,4时,关于t的函数y=单调递增,当t=3时,|c|取最小值,|c|的最小值为2.30【解析】(1)因为,所以可设=(R).因为=(3,-2,-1),所以=(3,-2,-).又|=2,所以=2,解得=2.所以=(6,-4,-2)或=(-6,4,2).设点P的坐标为(x,y,z),则=(x,y-2,z-3).所以或.解得或.故所求点P的坐标为(6,-2,1)或(-6,6,5).31【解析】（1）设正三棱柱的侧棱长为，由题意得，则，因为，所以，所以（2）32【答案】【解析】建立坐标系如图所示设，则，设，则，所以显然在上单调递减，故当时，取得最大值