专题1.3.3 函数的最大（小）值与导数-20届高中数学同步讲义（理）人教版（选修2-2）

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1、1函数的最值与导数一般地，如果在区间上函数的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值与最小值2求函数最值的步骤求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在内的_；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值K知识参考答案：1连续不断2极值K重点利用导数求函数最值的方法、函数最值的应用K难点函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系，恒成立问题K易错求最值时，易忽略函数的定义域求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值其中准确求出函数的极

2、值是解题的关键需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论已知函数，其中，为自然对数的底数设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值【答案】见解析【解析】由，有，所以因此，当时，当时，所以在区间上单调递增于是，在上的最小值是综上所述，当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值；（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个学科&网函数最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程

3、或者方程组，从而求得参数的值已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）当时，的最小值是，求实数的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），当时，在上恒成立，则的单调递减区间为；当时，令，得，则的单调递减区间为【名师点睛】本题中的参数对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对进行分类讨论恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则上面的不等式恒成立同理，要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是ABCD【答案】C【解析】因为

4、，所以因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立令，则，学科&网所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以故实数的取值范围是故选C已知函数（1）求的极小值；（2）对恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）极小值为；（2）【解析】（1），令，得当变化时，与的变化情况如下表：则的极小值为则，故实数的取值范围是【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成或的形式，然后利用导数求出函数的最值，则由或即可求出参数的取值范围因未验根而致误已知在时有极值0，求常数a，b的值【错解】因为在时有极值0且，所以，即，解得或【错因分析】解出a，b的值后，未验证

5、两侧函数的单调性而导致产生增根【正解】因为在时有极值0，且所以，即，解得或学科&网当，时，所以在上为增函数，无极值，故舍去当，时，当时，为增函数；当时，为减函数；当时，为增函数所以在时取得极小值，因此，【名师点睛】可导函数在处的导数为0是该函数在处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由求出的参数需要检验，以免出错1下列说法正确的是A函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，

6、则可有多个极值2定义在闭区间a，b上的函数yf(x)有唯一的极值点xx0，且y极小值f(x0)，则下列说法正确的是A函数f(x)有最小值f(x0)B函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)C函数f(x)的最大值也可能是f(x0)D函数f(x)不一定有最小值3函数f(x)x33x(|x|1)A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值4函数y2x33x212x5在2，1上的最大值，最小值分别是A12，8B1，8C12，15D5，165已知f(x)x2cosx，x1，1，则其导函数是A仅有最小值的奇函数B既有最大值又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函

7、数D既有最大值又有最小值的奇函数6已知（m为常数）在区间上有最大值3，那么此函数在上的最小值为ABCD7若函数，则A最大值为，最小值为B最大值为，无最小值C最小值为，无最大值D既无最大值也无最小值8函数在上的最小值是_9函数的最大值为_10函数在0，1上的最大值为_11函数在上的最小值为_12已知函数，若的图象在处与直线相切（1）求的值；（2）求在上的最大值13已知函数（1）讨论的单调性；（2）当有最大值，且最大值大于时，求实数a的取值范围14函数（1）若函数在内没有极值点，求实数的取值范围；（2）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围15已知函数，若对于区间3，2上的任意x1，x2，

8、都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是A20B18C3D016函数在上的最大值为2，则a的取值范围是ABCD17已知在1，5上有最小值为0，则在1，5上的最大值为_18已知，若，使得成立，则实数的取值范围是_19已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为_20已知函数的导函数，且，其中为自然对数的底数若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为_21已知函数在处取得极值（1）求a，b的值；（2）若有极大值28，求在上的最小值22已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在上的最小值23已知函数（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在正数，使得成立，求

9、实数的取值范围24（2017新课标全国理）已知函数有唯一零点，则ABCD125（2018新课标全国理）已知函数，则的最小值是_26（2018江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_27（2017新课标全国节选）已知函数，当a0时，证明28（2017北京）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值29（2017新课标全国）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围30（2017新课标全国理）已知函数，且（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且31（2018新课标全国理）已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求

10、1【答案】D【解析】由极值与最值的概念可知应选D2【答案】A【解析】函数f(x)在闭区间a，b上一定存在最大值和最小值，又f(x)有唯一的极小值f(x0)，则f(x0)一定是最小值故选A3【答案】D【解析】f(x)3x233(x1)(x1)，x(1，1)，f(x)0，即函数在(1，1)上是递减的，函数f(x)在区间(1，1)上既无最大值，也无最小值故选D4【答案】A【解析】y6x26x12，由y0x1或x2(舍去)当x2时，y1；当x1时，y12；当x1时，y8ymax12，ymin8故选A5【答案】D6【答案】D【解析】令，得或，当时，当时，所以最大值在处取得，即，又，所以最小值为故选D7【

11、答案】D【解析】，令，得或，令，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在时，函数取得极大值，在时，函数取得极小值，但是函数在上，既无最大值也无最小值，故选D8【答案】【解析】，所以在上单调递减，在上单调递增，从而函数在上的最小值是9【答案】【解析】，当时，当时，所以当时，取得最大值，学科*网10【答案】11【答案】【解析】，令，得或或列表如下：0(0，1)1(1，2)20+00+增减增3由表可知，函数的最小值为12【答案】（1）（2）最大值为【解析】（1）由题可得由函数的图象在处与直线相切，可得，即，解得13【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）的定义域为，若，则，所以

12、在上单调递增若，则当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，当时，在上无最大值；当时，在处取得最大值，最大值为因此，令，则在上是增函数，于是，当时，；当时，因此实数a的取值范围是14【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，当时，恒成立，在定义域上没有极值，符合题意；当时，因为，所以，解得或综上，实数的取值范围为学科%网15【答案】A【解析】，所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，可知的最大值为20，故的最小值为20故选A16【答案】D【解析】当时，令得，令，得，则在上的最大值为欲使得函数在上的最大值为2，则当时，的值必须小于或等于2，即，解得，故选D17【答案】【

13、解析】令，得或，当时，当时，所以在处取得最小值，即，所以，又，所以函数在1，5上的最大值为18【答案】【解析】易知的最大值为，当时，减函数，当时，为增函数，所以的最小值为，使得成立，只需故实数的取值范围是19【答案】20【答案】【解析】由题意设，则，所以，解得，即，则可化为，令，原问题可转化为因为，当时， ，即，即函数在区间上单调递增，所以，所以，即故实数的取值范围为21【答案】（1），；（2）【解析】（1）因为，所以由于在点处取得极值，故有，即，化简得，解得（2）由（1）知，令，得当时，故在上为增函数；当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数由此可知在处取得极大值，在处取得极小值由题设条件

14、知，得，学科￥网此时，因此在上的最小值为22【答案】（1）单调递增区间为，单调减区间为；（2）当时，；当时，（2）由得，令得，令得，在上单调递增，在上单调递减当，即时，函数在区间1，2上是减函数，的最小值是当，即时，函数在区间1，2上是增函数，的最小值是当，即时，函数在上是增函数，在是减函数又，当时，最小值是；当时，最小值为综上，当时，；当时，23【答案】（1）；（2）（2）不等式即，即，令，由题意可得，易得，学科$网令，则在上单调递增，又，所以当时，；当时，所以当时，；当时，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以故实数的取值范围为24【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当

15、时，函数单调递减；当时，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数与函数有一个交点，即，解得故选C25【答案】【名师点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值26【答案】3【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，27【答案】证明见解析【思路分析】证明，即证，而，所以需证，设，

16、利用导数易得，即得证28【答案】（1）；（2）最大值为1；最小值为【分析】（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（2）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值【解析】（1）因为，所以又，所以曲线在点处的切线方程为（2）设，则当时，所以在区间上单调递减所以对任意有，即，所以函数在区间上单调递减学科&网因此在区间上的最大值为，最小值为29【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）分，分别讨论函数的单调性；（2）分，分别解，从而确定a的取值范围（2）若，则，所以若，则由（1）得，当时，取得最小值，

17、最小值为从而当且仅当，即时，若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为从而当且仅当，即时综上，的取值范围为【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值30【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立（2）由（1）知 ，设，则当 时，

18、；当 时，所以在上单调递减，在上单调递增学科$网又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，当时，因为，所以是的唯一极大值点由得，故由可得，因为是在（0，1）的最大值点，由，得，所以31【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式；（2）研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值（2）设函数在只有一个零点当且仅当在只有一个零点当时，没有零点；当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增故是在的最小值若，即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解