专题1.1 命题及其关系-20届高中数学同步讲义（文）人教版（选修1-1）

《专题1.1 命题及其关系-20届高中数学同步讲义（文）人教版（选修1-1）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题1.1 命题及其关系-20届高中数学同步讲义（文）人教版（选修1-1）（13页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、1命题一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.在本章中，我们只讨论具有“若p，则q”这种形式的命题，通常把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.注意：（1）一个数学命题要么是真命题，要么是假命题，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.数学中的定义、定理、公理都是真命题.学科.网（2）有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假.我们把这一类语句也算作命题，如“神农架野人”，虽然目前还不能确定有没有野人，但是随着时间的推移，人们是

2、能够考察清楚的.（3）数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式.关键是分清命题的条件和结论.2四种命题（1）原命题与逆命题一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”.（2）否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_，我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.也就是说，如果原命题

3、为“若p，则q”，那么它的否命题为“若，则”.（3）逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若，则”.提示：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复.3四种命题间的相互关系一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示：一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由于逆命题和否命题也是

4、互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们有_真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_.注意：（1）互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.（2）在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0，2，4.（3）互为逆否命题的两个命题同真同假，可以用此来检验写出的命题是否正确，或证明原命题（或逆否命题）为真命题等.K知识参考答案：1陈述句2（1）结论和条件（2）条件的否定和结论的否定（3）结论的否定和条件的否定3（1）相同的（2）没有关系K重

5、点四种命题及其关系，命题真假的判断K难点涉及命题真假判断的多选型试题K易错对于含有大前提的命题，改写时，易忽略大前提1命题的概念及真假判断判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一，是否是“陈述句”；第二，是否“可以判断真假”，这两个条件缺一不可疑问句、祈使句、感叹句均不是命题命题真假的判断方法：（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.另外，一些命题的真假也可以依据客观

6、事实作出判断.【例1】下列命题中的假命题是A在中，若，则B函数为奇函数CD对于任意的，直线与圆都相交【答案】C【解析】A在中，若，则，显然是正确的；B函数 则故为奇函数；C，故不正确；D对于任意的，直线与圆都相交是正确的，因为直线化为，过定点，这个点在圆内部，故直线和圆总会有交点.学科#网故答案为C【例2】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.（1）能被9整除的数是偶数;（2）当x2+(y-1)2=0时,有x=0,y=1;（3）如果a1,那么函数f(x)=(a-1)x是增函数.2四种命题由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论.（1）将原命题的条件和结论交换，即得原

7、命题的逆命题.（2）将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题.否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词.（3）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题.也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.【例3】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假：负数小于零.在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行.【解析】原命题：若一个数是负数，则它小于零.是真命题.逆命题：若一个数小于零，则它是负数.是真命题.否命题：若一个数不是负数，则它不小于零.是真命题.逆否命题：若一个数不小

8、于零，则它不是负数.是真命题.原命题：在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行.是假命题.逆命题：在空间中，若两条直线平行，则它们平行于同一个平面.是假命题.否命题：在空间中，若两条直线不平行于同一个平面，则这两条直线不平行.是假命题.逆否命题：在空间中，若两条直线不平行，则它们不平行于同一个平面.是假命题.学科#网【名师点睛】对于，“小于”的否定是“不小于”，而不是“大于”，因为“不小于”包括了“大于和等于”.3四种命题间的相互关系由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题较困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.【例

9、4】判断命题“若a0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假.4由命题的真假性求参数的值对于此类问题，若由已知条件可以得出一个真命题，即可据此建立相应的不等式或方程求解.解题时要善于从条件中寻找解题思路，善于构造性质、定理等运用的条件.【例5】命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题， 的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】命题的逆命题：若，则，故；命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则，即.故实数的取值范围是.学科.网5改写命题时，忽略大前提【例6】将命题“当时，函数的值随的减小而减小”写成“若，则”的形式，并写出其逆命题、否命题和逆否命题.【错解】“若，则

10、”的形式：若，则函数的值随的减小而减小.逆命题：若函数的值随的减小而减小，则.否命题：若，则函数的值随的不减小而不减小.逆否命题：若函数的值随的不减小而不减小，则.【错因分析】原命题有两个条件：和减小，其中是大前提，将原命题改写为“若，则”的形式时，要把置于“若”字的前面，把减小作为条件.【正解】“若，则”的形式：当时，若减小，则函数的值也减小.逆命题：当时，若函数的值减小，则也减小.否命题：当时，若不减小，则函数的值也不减小.逆否命题：当时，若函数的值不减小，则也不减小.【名师点睛】（1）有大前提的命题改写成“若，则”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若，则”.（2）对于含有大前提的命题

11、，在写其他三种命题时，应保持大前提不变.1命题“若,则”的逆命题是A若,则 B若,则C若,则 D若,则2下列语句中是命题的是A周期函数和是周期函数吗？BCD梯形是不是平面图形呢？3一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中A假命题与真命题的个数相同B真命题的个数是奇数C真命题的个数是偶数D假命题的个数是奇数4下列命题中为真命题的是A命题“若，则”的逆命题 B命题“若，则”的否命题C命题“若，则”的逆否命题 D命题“若，则”的逆命题5原命题：“设a，b，cR，若ab，则ac2bc2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为A0 B1C2 D46命题“若，则”的逆否命题

12、是_7命题“若且，则”的条件为_，结论为_.8若命题“满足”为真命题，则实数的取值范围是_.9把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当时，a1，b2；(3)已知x，y为正整数，当yx2时，y1，x1.10分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.(1)若一个三角形的两条边相等,则这两条边所对的角相等;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d;(4)若qf（0）对任意的x（0，2都成立，则f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_1234511121617C

13、BCDCBADA1【答案】C【解析】因为将原命题的结论当条件，条件当结论即可到其逆命题，所以命题“若,则”的逆命题是“若,则”，故选C学科&网2【答案】B【解析】命题是可以判断真假的陈述句，4个选项中只有B满足.3【答案】C【解析】一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以为0，2，4个，所以选C4【答案】D5【答案】C【解析】原命题：“设a，b，cR，若ab，则ac2bc2”，当c=0时显然不成立，所以是假命题；由于原命题是假命题，所以其逆否命题也是假命题；逆命题为：若ac2bc2，则ab,是真命题；由于逆命题和否命题互为逆否命题，所以其真假性是一样的，所以其否命题

14、也是真命题.所以在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2，故答案为C.6【答案】若，则【解析】“若，则”的逆否命题是：若，则.7【答案】且，【解析】由命题的定义易得.8【答案】【解析】即，即，解得.实数的取值范围是.9【解析】(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数.真命题(2)若，则且.真命题学科￥网(3)已知，为正整数，若，则且.假命题10【解析】(1)逆命题:若一个三角形的两个角相等,则这两个角所对的边相等.显然该命题是真命题.否命题:若一个三角形的两条边不相等,则这两条边所对的角不相等.由于原命题的逆命题是真命题,所以原命题的否命题也是真命题.逆否命题:若一个三角形的

15、两个角不相等,则这两个角所对的边不相等.由于原命题为真命题,所以其逆否命题也是真命题.(3)逆命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d.是假命题.否命题:已知a,b,c,d是实数,若ab或cd,则a+cb+d.是假命题.逆否命题:已知a,b,c,d是实数,若a+cb+d,则ab或cd.是真命题.(4)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q1.是假命题.否命题:若q1,则方程x2+2x+q=0无实根.是假命题.逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q1.是真命题.11【答案】B【解析】逆否命题为：a，b都小于1，则a+b2，是真命题，所以原命题是真命题.逆命

16、题为：若、中至少有一个不小于1，则a+b2，例如，当a=2，b=2时，满足条件，此时a+b=2+（2）=0，与a+b2矛盾，故为假命题.故选B12【答案】A【解析】命题“正数的平方根不等于0”的条件为，结论为；命题“若一个数的平方根不等于0，则是正数”的条件为，结论为.命题“正数的平方根不等于0”是命题“若一个数的平方根不等于0，则是正数”的逆命题.故选A13【答案】2【解析】因为，所以，等号成立的条件为，故当时函数值等于3.此时不满足题干.故答案为2.14【解析】原命题证明较困难，故可改证它的等价命题(逆否命题)：已知a,bR，若，则a3+b3+3ab=1.因为,所以,所以原命题成立.16【答案】D【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.17【答案】A【解析】由为递减数列，所以原命题为真命题.逆命题：若为递减数列，则，.若为递减数列，则，即，所以逆命题为真命题.因为逆否命题的真假和原命题的真假相同，否命题的真假和逆命题的真假相同，所以逆否命题、否命题也为真命题.故选A.学.科网18【答案】 （答案不唯一）