专题3.1 变化率与导数-20届高中数学同步讲义（文）人教版（选修1-1）

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1、1平均变化率设函数，我们把式子_称为函数从到的平均变化率习惯上用表示，即函数的变化量是，于是，平均变化率可以表示为其几何意义是函数图象上的两点所在直线的_注意：是一个整体符号，而不是与相乘2瞬时速度物体在不同时刻的速度是不同的，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度设物体的运动规律为，则该物体在时刻的瞬时速度就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，_无限趋近的常数3导数的概念一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作_，即注意：不可以是04导数的几何意义函数在处的导数，就是曲线在处的切线的_，即5导函数对于函数，当时，是一个确定的数这样，当变化时，_便是一个关于的函数，我

2、们称它为的导函数（简称导数）的导函数有时也记作_，即注意：函数在处的导数与导函数是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数，它们之间的关系是：函数在处的导数就是导函数在处的函数值学科&网K知识参考答案：1斜率23或4斜率5K重点平均变化率的概念、导数的概念、导数的几何意义、导函数K难点导数的几何意义K易错（1）运用定义求导数时容易忽略增量的一致性；（2）求切线方程时，错把所给点当做切点，或者混淆“某点处”和“过某点”求平均变化率求函数从到的平均变化率的三个步骤：（1）求出或者设出自变量的改变量：；（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量：；（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值，即求函

3、数在附近的平均变化率，取都为，在哪一点附近的平均变化率最大？【答案】在附近的平均变化率最大在附近的平均变化率为若，则，由于，所以在附近的平均变化率最大学科*网【名师点睛】由求平均变化率的步骤可知，找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键求函数在某点处的导数（1）求函数在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限（2）利用定义求函数在处的导数的两个注意点：在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致不存在当对取极限时，一定要把变形到当时，分母是一个非零常数的形式（1）求函数在处的导数；（2）有一作直线运动的物体，其位移与时间的关系是，求此物体在时的瞬时速度【答案

4、】（1）函数在处的导数为；（2）此物体在时的瞬时速度为（2）物体在到时间内，位移的改变量为则该时间段内的平均速度为，当时，故此物体在时的瞬时速度为【名师点睛】（1）极限思想是趋近的思想，当平均变化率无限接近于瞬时变化率时，这个瞬时变化率就是平均变化率的极限（2）求瞬时速度应先求平均速度，再用公式求得瞬时速度如果物体的运动方程是，那么函数在处的导数就是物体在时的瞬时速度求曲线的切线（1）如果所给点就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数在点处的导数，即得切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程（2）如果所给点P不是切点，应先设出切点，再求切线方程要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P

5、不一定是切点，也不一定在曲线上已知曲线（1）求曲线上横坐标为2的点处的切线方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【答案】（1）；（2）切线与曲线C的公共点除切点外，还有其他的公共点（2）由得，解得，从而求得公共点为，学科*网即切线与曲线C的公共点除切点外，还有其他的公共点【名师点睛】解答第（1）小题，可先求出切点坐标及斜率，然后利用直线的点斜式方程写出切线方程；解答第（2）小题，可把（1）中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组，求方程组的解同时应注意：导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则函数在该点处的导数不是斜率忽略增量的一致性而致错设函数在处可导，则ABCD【错

6、解】，故选A【错因分析】本题分子中的增量是，而分母中的增量是，两者的增量不一致【正解】函数在处可导，所以，所以故选B学科网【名师点睛】在导数的概念中，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致求切线方程时混淆“某点处”和“过某点”而致错求过点，且与曲线相切的直线方程【错解】因为，所以，则切线方程为，即【错因分析】点不在曲线上，而错解中把它当做曲线上的切点求解，从而致错【正解】点不在曲线上，设切点坐标为因为，所以切线斜率为又，所以或当时，切线斜率为，则过点的切线方程为，即；当时，切线斜率为，则过点的切线方程为，即故所求切线方程为或【名师点睛】求关于曲线的切线方程时，一定要弄清楚是求某点处的切线

7、方程，还是求过某点的切线方程，前者可以直接利用直线的点斜式方程求解，后者则需要先设出切点坐标，求出切点坐标后，再利用直线的点斜式方程求解1已知函数，那么下列说法错误的是A叫做函数值的增量B叫做函数在到之间的平均变化率C在处的导数记为D在处的导数记为2设，则曲线在点处的切线A不存在B与轴平行或重合C与轴垂直D与轴相交但不垂直3若曲线在点处的切线方程为，则ABCD不确定4在曲线的图象上取一点及附近一点，则ABCD5设函数在处可导，则ABCD6若，则ABCD7已知的图象如图所示，则与的大小关系是ABCD与大小不能确定8已知曲线上一点，则点处的切线斜率等于ABCD9曲线在点处的切线方程为ABCD10已

8、知函数在处可导，为常数，则ABCD11质点运动规律为，则从到时间段内运动距离对时间的变化率为_12已知函数，则在区间上的平均变化率为_13已知的图象在点处的切线方程为，则_14已知曲线在点M处的瞬时变化率为，则点M的坐标为_15已知函数，则_16已知曲线上一点，求点处的切线的斜率及切线方程17已知曲线在点处的切线与直线平行，则ABCD18若函数在内可导，且，若=4，则ABCD19已知是可导函数，且，则ABCD20曲线在点处的切线的倾斜角为ABCD21若，则ABCD22已知曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为AB或C或D以上均不对23若，则_24设曲线在其上一点处的切线斜率为，则点

9、的坐标为_25已知，则_26某一运动物体，在(单位：)时离出发点的距离(单位：)是（1）求在第内的平均速度；（2）求在末的瞬时速度；（3）经过多少时间该物体的运动速度达到?1【答案】C【解析】由导数的定义可知C错误故选C2【答案】B【解析】曲线在点处的切线斜率为，切线与轴平行或重合故选B3【答案】B【解析】由，得，由导数的几何意义知，故选B4【答案】C【解析】因为，所以，故选C学科&网5【答案】B6【答案】A【解析】根据导数的定义可知，所以故选A7【答案】A【解析】由的图象可知，根据导数的几何意义有故选A8【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以点处的切线斜率为故选D9【答案】B【解析】由题可

10、得，所以，所以，所以切线的斜率，故所求切线方程为，即故选B10【答案】B11【答案】【解析】学科*网12【答案】2【解析】由平均变化率的定义得13【答案】【解析】由导数的几何意义可知，又，所以14【答案】【解析】当时，由，得，所以点M的坐标是15【答案】5【解析】由题可得，所以，即16【答案】切线斜率为，切线方程为【解析】由题可得，所以，故点处的切线的斜率为所以点处的切线方程为，即17【答案】A【解析】因为，所以，即故选A18【答案】C19【答案】B【解析】因为，所以，故选B20【答案】B【解析】因为，所以，所以曲线在点处切线的斜率是，故该切线的倾斜角为故选B21【答案】D【解析】由题可得，所以，所以故选D22【答案】C【解析】由题可得，点在曲线上，所以切线的斜率，故切线方程为，即，设，由题意可得，解得或，故选C学科网23【答案】【解析】因为，所以24【答案】【解析】由导数的定义可得，设，则，解得，所以，故点的坐标为25【答案】26【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）物体在第内的平均变化率(即平均速度)为（2）当时，所以物体在末的瞬时速度为（3）当时，令，解得，即经过，该物体的运动速度达到