专题1.2 充分条件与必要条件-20届高中数学同步讲义(文)人教版(选修1-1)
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1、1充分条件与必要条件一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作_,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.如果“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作pq.此时,p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.2充要条件 一般地,如果既有,又有,就记作_.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 概括地说,如果,那么p与q互为充要条件.注意:(1)判断p是q的什么条件,结果只有四种:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件.(2)充分条件、必要条件具有传递性.
2、3从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件从集合的观点看,设集合,若,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若,则p是q的必要条件或q是p的充分条件;若AB,则p是q的充要条件;若,且,则p是q的既不充分也不必要条件K知识参考答案:12K重点充分条件、必要条件的判断K难点充分条件、必要条件概念的理解,充要条件的证明问题K易错易忽视A是B的充分不必要条件(AB且)与A的充分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同1充分条件与必要条件的判断从逻辑关系上看,(1)若pq,但qp,则p是q的充分不必要条件;(2)若pq,但qp,则p是q的必要不充分条件;(3)若,且,则p是q的充要条件;(4)若pq
3、,且qp,则p是q的既不充分也不必要条件.充分条件、必要条件的三种判断方法:(3)集合法:即判断满足条件的对象构成的集合与满足结论的对象构成的集合之间的关系.当所要研究的p,q含有变量,即涉及方程的解集、不等式的解集,或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系,利用Venn图或数轴解题.学科#网(4)特殊值法:对于选择题,可以取特殊值来验证充分性或必要性不成立,但这种方法不适用于证明题.【例1】设是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q0”是“对任意的正整数n,”的A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】,故“q0”
4、是“对任意的正整数n,”的必要而不充分条件,故选C.【名师点睛】本题主要考查数列、充分条件与必要条件的相关问题,将数列、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系起来,体现了综合应用数学知识解决问题的能力,是基础题.【例2】设,则“,且”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A2充要条件的证明对于充要条件的证明问题:(1)正确找到题目所包含的条件和结论;(2)证明时结构要清晰,要对充分性和必要性分别进行证明【例3】已知a,b,c是的三条边,证明:是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc.【解析】(1)充分性(a2+b2+c2=ab
5、+ac+bc为等边三角形):a2+b2+c2=ab+ac+bc,学科网2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,a=b,a=c,b=c,a=b=c,为等边三角形.(2)必要性(为等边三角形a2+b2+c2=ab+ac+bc):a=b=c,a2+b2+c2=3a2,ab+ac+bc=3a2,a2+b2+c2=ab+ac+bc.综上知,所证结论成立.【名师点睛】在证明时,要注意由“条件结论”是证明命题的充分性,由“结论条件”是证明命题的必要性.3条件的探求在求某结论的充要条件时,可以从充分性和必要性两方面入手,得到结论的一致性,即为充要条件;也可
6、以将原命题等价转化,获得充要条件.在求某结论的充分不必要条件或必要不充分条件时,一般是先求出结论的充要条件,然后将所得条件的范围缩小或扩大即可得到所需要的结论.【例4】设,则使成立的必要不充分条件是A BC D【答案】B【例5】已知方程,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.【解析】设方程的两根分别为,则使都大于1的充要条件为,即,结合根与系数的关系有,解得.即方程的两个根大于1的充要条件为.【名师点睛】对于不等式(组)的转化必须是等价的,否则求的就不是充要条件.由“”,但反过来“”,例如取,有,但没有保证两个根都大于1,所以仅是两个根都大于1的必要条件,不是充分条件.4根据条件求解参数的值
7、或取值范围应用充分条件和必要条件求参数的取值范围,主要是根据充分条件和必要条件,得到相应的逻辑关系,建立关于参数的不等式或不等式组求解,注意数形结合思想的应用.【例6】设,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围为A BC D【答案】D【名师点睛】(1)若是的必要不充分条件,则对应的集合是对应集合的真子集;(2)若是的充分不必要条件,则对应的集合是对应集合的真子集;(3)若是的充分必要条件,则对应的集合与对应的集合相等;(4)若是的既不充分又不必要条件,则对应的集合与对应的集合互不包含【例7】已知集合(1)若,求实数的值;(2)若命题命题,且是的充分不必要条件,求实数的取值范围【解析】(1)当时
8、,;当时,显然,故时,.学科#网【名师点睛】充分条件、必要条件或充要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上,求解步骤一般为:首先要将,等价化简;根据充分条件、必要条件或充要条件列出关于参数的等式或不等式(组);求出参数的值或取值范围5混淆充分条件与必要条件【例8】设,则“”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【错解】选A.【错因分析】充分条件、必要条件的概念混淆不清.【正解】若,则,但当时也有,故本题选B【名师点睛】“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.1小思法说“浮躁
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