专题3.2 复数代数形式的四则运算-20届高中数学同步讲义（文）人教版（选修1-2）

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1、3.2 复数代数形式的四则运算1复数的加法法则设，是任意两个复数，其中，那么_，即实部与实部相加，虚部与虚部相加，很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数2复数加法的运算律对任意，有（1）交换律：_；（2）结合律：注意：复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，各复数的实部分别相加，虚部分别相加；实数加法的运算性质对复数加法仍然成3复数加法的几何意义在复平面内，设，对应的向量分别为，即，的坐标形式为，如图，以，为邻边作平行四边形，则由平面向量的坐标运算，可得，即，即对角线OZ对应的向量就是与复数对应的向量这说明两个向量与的和就是与复数_对应的向量因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数

2、加法的几何意义4复数的减法法则类比实数集中减法的意义，规定复数的减法是加法的逆运算，即把满足的复数叫做复数减去复数的差，记作根据复数相等的定义，有，所以，即，所以_这就是复数的减法法则由此可见，两个复数的差是一个确定的复数注意：（1）两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如；（2）在确定两个复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定；（3）把复数的代数形式看成关于“”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就可以了；（4）设复数，在复平面内对应的两点的距离为，则由复数的几何意义，可得复平面内两点间的距离公式5复数减法的几何意

3、义在复平面内，设，对应的向量分别为，那么这两个复数的差对应的向量是，即如图，如果作，那么点对应的复数就是这说明两个向量与的差_就是与复数对应的向量因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数加法的几何意义6复数的乘法法则设，是任意两个复数，学科网那么它们的积可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成_，并且把实部与虚部分别合并即可两个复数的积是一个确定的复数7复数乘法的运算律对任意，有（1）交换律：；（2）结合律：；（3）分配律：_在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立即对于任意复数，和正整数，有，注意：虚数单位具有周期性，且最小正周期为4，有如下性质：（

4、1）；（2）8共轭复数（1）共轭复数的定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为_虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数用表示的共轭复数，若，则特别地，实数的共轭复数仍是本身（2）共轭复数的几何意义互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称，如下图所示：特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上（3）共轭复数的性质若，它的共轭复数，则注意：实数的共轭复数是它本身，即，利用这个性质可证明一个复数为实数；若且，则为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数9复数代数形式的除法运算（1）复数的除法定义我们规定复数的除法是乘法的逆运算即把满足的复

5、数叫做复数除以复数的商，记作或（2）复数除法的法则由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简后就可得到上面的结果注意：复数除法与作根式除法时的处理类似在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”；复数的除法是分子、分母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”（3）复数和、差、积、商的模及共轭复数的相关结论利用复数的几何意义很容易理解，通过计算复数的模可以得到，；，K知识参考答案：12345678共轭复数K重点复数的四则运算、共轭复数的求解K难点

6、复数范围内的解方程问题K易错对复数的除法运算不细心导致错误考查复数的运算已知，复数，若为纯虚数，则复数的虚部为A1BiCD0【答案】A【名师点睛】（1）进行复数运算的依据是复数加法、减法、乘法、除法的法则，此外,实数运算中的乘法公式、符号的求解顺序在复数运算中仍然成立；（2）由于，因此有以下几个运算结论，在进行复数运算中可以简化运算过程：，复数的运算与复数几何意义的综合（1）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点不可能位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（2）设复数和在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且，则A512iB512iC1312iD1312i【答案】（1）A；（2）A【解析

7、】（1）由题可得，若复数在复平面上对应的点在第一象限，则，而此不等式组无解，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第一象限，故选A（2）由题意知，所以，故选A【名师点睛】复数的运算与复数几何意义的综合是本节的常考题型，一般根据复数的运算将复数化为代数形式，确定实部与虚部，与复平面内的点建立一一对应，从而解题考查复数加减法的几何意义如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，32i，24i求：（1）所表示的复数；（2）所表示的复数；（3）求B点对应的复数【答案】（1）所表示的复数为，所表示的复数为；（2）52i；（3）16i【解析】（1），所表示的复数为，所表示的复数为（2），所表示的

8、复数为（3），所表示的复数为(32i)(24i)=16i，故B点对应的复数为16i【名师点睛】向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数注意向量对应的复数是（终点对应的复数减去起点对应的复数）考查共轭复数设是虚数单位，是复数的共轭复数若，则A1iB1iC1iD1i【答案】A【名师点睛】（1）若复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算必要时，需通过复数的运算先确定出复数的代数形式，再根据共轭复数的定义求；（2）共轭复数应用的另一种常见题型是：已知

9、关于和的方程，而复数的代数形式未知，求解此类题的常规思路为：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解复数范围内的解方程问题已知关于的方程有实数根，求实数的值【答案】或【解析】设是方程的实数根，则，即，由复数相等的充要条件可得，解得或，所以实数的值为或学+科网【名师点睛】（1）求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以，解得或注意：由于虚数单位的特殊性，所以不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根（2）复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的

10、，此外，根与系数的关系也是成立的注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解1复平面内表示复数的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知为虚数单位，若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标是ABCD4已知是虚数单位，则复数的模为ABCD5设复数，其中为虚数单位，则ABCD6已知为虚数单位，则ABCD7已知为虚数单位，则下列各式计算错误的是ABCD8若，其中为虚数单位，则_9_10已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_11已知为虚数单位，复数，则复数的实部是_12设，为虚数单位，且，则_13已知

11、复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限14若复数(为虚数单位)为实数，则实数A1B2CD15已知复数的实部与虚部的和为，则实数的值为AB1CD16在复平面内，已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限17若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则ABCD18若复数，是虚数单位)，且为纯虚数，则实数=_19已知复数，是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数的取值范围是_20若复数满足(为虚数单位)，则在复平面内所对应的图形的面积为_21复数，求的最大值22（2017新课标全国文）下列各式的运

12、算结果为纯虚数的是Ai(1+i)2Bi2(1-i)C(1+i)2Di(1+i)23（2018浙江）复数(i为虚数单位)的共轭复数是A1+iB1iC1+iD1i24（2018新课标全国文）ABCD25（2018新课标全国）ABCD26（2018新课标全国文）ABCD27（2018北京文）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限28（2018新课标全国）设，则ABCD29（2017北京文）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是ABCD30（2018天津文）是虚数单位，复数_31（2018江苏）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为_32（2

13、017天津）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_33（2017浙江）已知，（i是虚数单位），则_， _1【答案】C【解析】，则表示复数的点位于第三象限故选C2【答案】D【解析】由题可得，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D5【答案】D【解析】因为复数，所以，故选D6【答案】C【解析】由题可得，故选C7【答案】C【解析】，故选C8【答案】1【解析】由题可得，根据复数相等的概念可得9【答案】1【解析】由题可得10【答案】【解析】由题可得，所以复数的实部为11【答案】1【解析】由题意可得：，则复数的实部是114【答案】D【解析】由为实数，可得，故选D15【答案】D【解析】，解得，故选D1

14、6【答案】D【解析】由题可得，则，对应的点为，位于第四象限故选D17【答案】B【解析】复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，则故选B18【答案】【解析】因为=，其为纯虚数，所以，解得19【答案】【解析】因为，所以由题意得，故应填20【答案】【解析】，在复平面内对应点的的轨迹是以为圆心，为半径的实心圆，该圆的面积为，故答案为22【答案】C【解析】由，可知为纯虚数，故选C23【答案】B【解析】，共轭复数为，故选B24【答案】D【解析】，故选D25【答案】D【解析】由题可得，故选D26【答案】D【解析】，故选D27【答案】D【解析】的共轭复数为，对应点为，在第四象限，故选D学科=网28【答案】C【解析】因为，所以，故选C29【答案】B【解析】，因为对应的点在第二象限，所以，解得，故实数a的取值范围是，故选B30【答案】【解析】由复数的运算法则得31【答案】2【解析】因为，则，则的实部为32【答案】【解析】因为为实数，所以，解得33【答案】5 2【解析】由题意可得，则，解得，则 TheEnd下节见