专题3.1 直线的倾斜角与斜率-20届高中数学同步讲义人教版（必修2）

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1、一、直线的倾斜角1直线的确定在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.2直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.倾斜角与倾斜程度平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.3倾斜角的取值范围当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角的取值范围是 .如下图：的倾斜角为0，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜

2、角为钝角.二、直线的斜率1斜率的定义我们把一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即.注：倾斜角是90的直线没有斜率.学科&网2斜率与倾斜角之间的关系当直线的倾斜角=0时，斜率k=0，直线与x轴 ；当00，且k值增大，倾斜角随着 ；当=90时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）；当90180时，斜率k0，且k值增大，倾斜角也随着 .3直线的倾斜程度（1）倾斜角不是90的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度.（2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度.三、过两点的直线的斜率

3、公式1公式经过两点的直线的斜率公式为 .2公式的推导如图(1)，(2)，设直线的倾斜角为(90)，当直线的方向(即从指向的方向)向上时，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两条直线相交于点Q,于是点Q的坐标为.如图（1），当为锐角时，.在中，.如图（2），当为钝角时，=180（设),.在中，,于是可得，即.同样，当直线的方向向上时，如图（3）,（4），也有,即.综上所述，经过两点的直线的斜率公式为 .名师提醒（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.（2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标

4、在公式中的次序可以同时调换.（3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时.四、两直线平行1特殊情况下的两条直线平行的判定两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行.2两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即.证明如下：设两条直线的斜率分别为.如果(如图)，那么它们的倾斜角相等，即.,.反过来，如果两条直线的斜率相等，即,那么.由于，.又两条直线不重合，.五、两直线垂直1特殊情况下的两条直线垂直的判定当两条直线中有一条直线没有斜率

5、，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直.学科网2两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于1，那么它们互相 ，即.证明如下：设两条直线与的倾斜角分别为与.如果,这时.否则,则,与相矛盾.设(如下图)，图(1)的特征是与的交点在x轴上方；图(2)的特征是与的交点在x轴下方；图(3)的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有.,的斜率分别是,且，.,即.反过来，若，即.不失一般性，设，则,即,.学科#网K知识参考答案：一、2向上301时，所以直线的

6、倾斜角的取值范围是090;当m1时，所以直线的倾斜角的取值范围是901时，所以直线的倾斜角的取值范围是090；当m1时，所以直线的倾斜角的取值范围是90180.【误区警示】求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在作出判断，以免漏解.10忽略直线斜率的存在性致错【例13】已知,若直线，求的值.【错解】由斜率公式知，,.,，即，解得m=1,m的值为1. 【错因分析】漏掉了直线斜率不存在的情况. 【正解】A,B两点纵坐标不相等，AB与x轴不平行.ABCD,CD与x轴不垂直，.当AB与x轴垂直时，,解得,而时，C,D纵坐标均为，则CDx轴，此时ABCD,满足题意.当AB与x轴不垂直时，由斜率公式

7、知，,.ABCD,即,解得m=1.综上，m的值为1或.【误区警示】对于含有参数的直线垂直问题，要分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，避免漏解.1关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是A所有的直线都有倾斜角和斜率B所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率C直线的倾斜角和斜率有时都不存在D所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角2已知直线经过点与点，则该直线的倾斜角为A150B75C135D453直线的斜率为2，直线l2过点，且与y轴交于点P，则P点坐标为A BC D4如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为ABC D5若直线l经过点(a2，1)和(a2

8、，1)，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是A BC D6已知A(4,2)，B(6，4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论：ABCD；ABAD；ACBD；ACBD中正确的个数为A1 B2C3 D47若l1过点A(m,1)，B(3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且，则m=_.8若过点P(1,1),Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是_.9求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角.(1)A(0，1)，B(2，0).(2)P(5，4)，Q(2，3).(3)M(3，4)，N(3，2).10当m为何值时，过A(1，1)，B(2m21，m

9、2) 两点的直线：（1）倾斜角为135；（2）与过两点(3，2)，(0，7)的直线垂直；（3）与过两点(2，3)，(4，9)的直线平行？11已知A(1，5)，B(1，1)，C(3，2)，若四边形ABCD是平行四边形，求D点的坐标12已知M(a，b)，N(a，c)(bc)，则直线MN的倾斜角是A不存在 B45C135 D9013如果直线l过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是A0,1 B0,2C D(0,314若直线的斜率是方程的两根，则l1与l2的位置关系是A平行 B重合C相交但不垂直 D垂直15已知经过点A(3,n),B(5,m)的直线l1与经过点P(-m,0),Q(0,

10、n2)(mn0)的直线l2平行,则的值为A-1B-2C-1或2D-2或116设点A(2， -3) ，B(-3， -2)，直线l过点P(1， 1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是A或k- 4B-4k0.试判断四边形OPQR的形状.1234561213141516BCDAACDBDCA1【答案】B【解析】任何直线都有倾斜角，但是并不是所有的直线都有斜率，当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在，所以A，C，D错误，B正确，故选B.2【答案】C【解析】直线的斜率为，又倾斜角，,所以，故选C.3【答案】D4【答案】A【解析】根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确5【答案】A【解析

11、】直线l的斜率为，依题意得，.6【答案】C【解析】由题意得，所以ABCD，ABAD，ACBD.学科&网7【答案】0【解析】l1l2，且，m=0.8【答案】(-,)【解析】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系.因为kPQ=，又kPQ=tan ，90180，则tan 0,即0,a.9【解析】(1)，因为kAB0，所以直线AB的倾斜角是锐角.(2)，因为kPQ0，所以直线PQ的倾斜角是钝角.(3)因为xMxN3，所以直线MN的斜率不存在，其倾斜角为直角.11【解析】设D(x，y)，则，由ABCD，得，即y=2x4.由ADBC，得，即x4y19=0.由解得.D点的坐标为(5，6)12【答案】D【解析】MN

12、x轴，直线MN的倾斜角为90.13【答案】B【解析】过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线的斜率时，图象不过第四象限，故l的斜率的取值范围是0,2.14【答案】D【解析】因为方程有两个不相等的实数根，直线l1，l2的斜率是方程的两根，所以，且，所以l1与l2垂直.故选D.学科&网15【答案】C16【答案】A【解析】,画图如图所示,观察可知或.17【解析】由题意可得ADBC，从而可知AD与BC所在直线的倾斜角都为60，其斜率都为tan 60=.又ABCD，且AB与x轴重合，所以AB与CD所在直线的倾斜角都为0，其斜率都为tan 0=0.因为AC和BD都是菱形的对角线，所以AC与BD所在直线的倾斜角分别为AC=30，BD=120，其斜率分别为kAC=tan 30=，kBD=tan 120=.