专题3.4 基本不等式-20届高中数学同步讲义人教版（必修5）

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1、3.4 基本不等式1重要不等式：a2b22ab(a，bR)一般地，对于任意实数a，b，有a2b22ab，当且仅当_时，等号成立2基本不等式如果a0，b0，那么，当且仅当_时，等号成立其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3基本不等式的证明（1）代数法：方法一 因为a0，b0，所以我们可以用，分别代替重要不等式中的a，b，得，当且仅当时，等号成立即( a0，b0)，当且仅当ab时，等号成立方法二 因为，所以，即，所以方法三 要证，只要证，即证，即证，显然总是成立的，当且仅当ab时，等号成立（2）几何法：如图

2、，AB是圆的直径，C是AB上一点，ACa，BCb，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD易证，则CD2CACB，即CD_这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即，当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立由此我们可得的几何意义：半径不小于半弦4重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式（1）(a，b同号)；(a，b异号)（2）(a0)；(a0)（3）(a0，b0)；(a0，b0)（4），4aba2b22ab，2(a2b2)(ab)2（5）（6）为正实数，且5均值不等式链若a0，b0，则，当且仅当ab时，等号成立其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数6最值定理已知x0，y0，则若x

3、y为定值s，则当且仅当xy时，积xy有最大值(简记：和定积最大)；若xy为定值t，则当且仅当xy时，和xy有最小值(简记：积定和最小)K知识参考答案：1ab 2ab 3K重点重要不等式，基本不等式的公式、证明、几何解释、变形及推广K难点均值不等式链的应用、利用基本不等式求最值、不等式的证明K易错忽略等号成立的条件、等号成立的一致性导致错误利用基本不等式判断不等式是否成立要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件（1）设f(x)ln x，0ab，若pf()，q，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是AqrpBprqCqrpDprq（2）给

4、出下列不等式：；若0a1b，则logablogba2其中正确的是_【答案】（1）B；（2）方法2：(特值法)令a1，b2，则pf()ln，qln，r(ln 1ln 2)ln因为，所以lnln，所以prq，故选B（2）当x0时，当x0时，所以，故不正确，正确；由于x0，所以，当且仅当，即时取等号，故不正确；当时，时，故不正确；当0a1b时，故logablogba2，正确综上，正确【名师点睛】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换（利用基本不等式可将整式和根式相互转化），使其中的不等关系明晰即可解决问题利用基本不等式证明不等式利用

5、基本不等式证明不等式的一般思路：先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有其他条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换另外，解题时要时刻注意等号能否取到（1）已知a0，b0，c0，求证：；（2）已知ab，ab2，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为a0，b0，c0，所以利用基本不等式可得，所以，即，当且仅当abc时等号成立【名师点睛】对于（1），合理地构造并正确选用基本不等式或其变形式，是证明轮换对称结构的不等式（用b

6、换a，a换c，c换b后，代数式不变的式子叫轮换对称式，其特征是a，b，c的地位一样）的常用思路；对于（2），观察ab，a2b2，可联想到通过加减2ab的方法配凑出(ab)2，从而化为可使用基本不等式的形式，结合ab2可使问题得到解决利用基本不等式求最值（1）直接应用类：此类问题较为基础，注意“一正、二定、三相等”即可（1）已知f(x)x2(x0)，则f(x)有A最大值为4B最小值为4C最小值为0D最大值为0（2）已知0x4，则x(4x)取得最大值时x的值为A0 B2C4D16（3）已知函数f(x)(x0)，若f(ab)16，则f(ab)的最大值为_；（4）已知a，bR，且ab8，则|a2b|的

7、最小值是_【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8【解析】（1）因为x0，所以f(x)(x)2220，当且仅当x，即x1时取等号故选D（2）因为0x4，所以4x0，所以x(4x)4，当且仅当x4x，即x2时取等号故选C（3）因为，所以ab4，所以，f(ab)16，故f(ab)的最大值为16（4）依题意得a，b同号，于是|a2b|a|2b|8，当且仅当|a|2b|4时取等号，因此|a2b|的最小值是8【名师点睛】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即一正：各项必须为正；二定：各项之和或各项之积为定值；三相等：必须验证取等号时条件是否具备（2）配凑定值类：此类问题一般

8、不能直接使用基本不等式，要从整体上把握进而运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等（1）已知x0，则函数y的最小值为_；（2）若x1，则函数y的最小值为_；（3）若0x，则函数yx(125x)的最大值为_【答案】（1）5；（2）3；（3）（3）凑系数：因为0x，所以y5x (125x)，当且仅当5x125x，即x时取等号故填【名师点睛】不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小（3）条件最值类：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，或构造不等式求解（1）已知

9、a0，b0，ab1，则的最小值为_；（2）已知a0，b0，2，则ab的最小值为_；（3）若正实数x，y满足xy3xy，则xy的最小值是_；（4）已知x0，y0，xyxy3，则xy的最小值是_【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2（3）构造一元二次不等式：由x0，y0，xy3xy，得xy3，当且仅当xy3时等号成立，故30，即0，由0解得3，即xy9故xy的最小值为9（4）构造一元二次不等式：由x0，y0，xyxy3，得xy3(xy)，当且仅当xy1时等号成立，故(xy)30，解得xy2或xy6(舍去)，故xy的最小值是2【名师点睛】在构造不等式求最值时，既要掌握公式的正用，也要注意公式

10、的逆用例如，当a0，b0时，a2b22ab逆用就是ab；逆用就是ab等还要注意“添项、拆项、凑系数”的技巧和等号成立的条件等基本不等式在实际中的应用利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式在解题过程中尽量向模型(a0，b0，x0)上靠拢如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18 000 m2，四周道路的宽度为10 m，两个草坪之间的道路的宽度为5 m试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m），能使矩形休闲广场所占面积最小？【答案】当矩形休闲广场的长为1

11、40 m，宽为175 m时，可使休闲广场的面积最小因为x200，所以S，当且仅当时等号成立，此时有(x20) 214 400，解得x140，代入y，得y175，即当x140，y175时，S取得最小值24 500故当矩形休闲广场的长为140 m，宽为175 m时，可使休闲广场的面积最小方法2：设矩形草坪的长为a m，宽为b m，则ab9 000，其中a0，b0易知矩形休闲广场的长为(a20) m，宽为(2b25) m故休闲广场的面积S(a20)(2b25)2ab40b25a50018 50025a40b18 500，当且仅当25a40b时等号成立此时，代入ab9 000得a120，b75，即当a

12、120，b75时，S取得最小值24 500故当矩形休闲广场的长为140 m，宽为175 m时，可使休闲广场的面积最小【名师点睛】本题容易出现的思维误区：未能理清草坪边长与休闲广场边长之间的关系；求出目标函数后不会运用基本不等式求最值，缺乏必要的配凑、转化变形能力，从而无法利用基本不等式求最值，或者不会利用基本不等式等号成立的条件求变量的取值忽略等号成立的条件导致错误函数的最小值为_【错解】，所以函数的最小值为2【错因分析】错解中使用基本不等式时，等号成立的条件为，即1，显然x21，即等号无法取到，函数的最小值为2是不正确的【名师点睛】（1）利用基本不等式求最值时，必修保证等号能取到才能求出最值

13、，若题设条件中的限制条件或函数的定义域不能使等号成立，则要转换到另一种形式解答，如借助函数单调性等；（2）对于模型，当且仅当x时等号成立；（3）求函数y(a0，b0)在区间(0，c上的最值时，由函数图象易得：若c，则当x时，y取得最小值；若c，则当xc时，y取得最小值ac忽略等号成立的一致性导致错误若x0，y0，且x2y1，则的最小值为_【错解】因为x0，y0，所以1x2y，即8xy1，即xy，故8因为，所以故的最小值为【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x2y，但这两次取“”需满足x2y与xy，互相矛盾，所以“”不能同时取到，从而导致错误【名师点睛】连续应用基本不等式求最值时，要注

14、意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立1已知，则取最大值时的值为ABCD2若实数满足，则的最小值是ABCD3若且，则的最小值是ABCD4若，则的最小值是ABCD5已知，则m，n之间的大小关系是AmnBmnCmnD不能确定6己知均为正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为ABCD7已知，则的最小值为ABCD8若正数，满足，则的取值范围为_9已知，且，则的最小值是_10若实数a，b满足，则的最小值为_11设，则函数的最大值为_12已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，取得最大值13已知，都是

15、正实数，且满足，则的最小值为ABCD14已知，且，则的最小值为ABCD15已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为A8B6C4D216若正实数满足，则A有最大值4B有最小值C有最大值D有最小值17已知，若不等式恒成立，则的最大值为ABCD18设实数x，y满足，则xy的最大值为ABC12D1419已知a0，b0，c0，且abc1，则的最小值为_20在4960的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入_和_ 21若a，b，c0且(ac)(ab)，则2abc的最小值为_22已知正实数，满足：，则的最大值是_23某校要建一个面积为平方米的矩形球场，要求球场的一面

16、利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个米的进出口（如下图所示）设矩形的长为米，钢筋网的总长度为米（1）列出与的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？24（1）求函数的最小值；（2）已知正数a，b和正数x，y，若ab10，且xy的最小值是18，求a，b的值25已知函数（1）若，试求函数的最小值；（2）对于任意的，不等式成立，试求的取值范围26（2018天津文理）已知，且，则的最小值为_27（2018江苏）在中，角，所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_28（2017山东理）若，且，则下列不等式成立的是A

17、BCD29（2017天津文理）若，则的最小值为_30（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是_31（2017山东文）若直线过点（1，2），则的最小值为_1【答案】B【解析】由题可得，当且仅当，即时，等号成立故选B2【答案】C【解析】由题可得故选C4【答案】D【解析】，故选D5【答案】A【解析】因为a2，所以a20，所以，当且仅当a3时取等号，故，由b0得b20，所以2b22，所以4，即n4，故综上可得mn，故选A6【答案】D【解析】由两直线互相垂直可得，即，则又为正数，所以，当且仅当时取等

18、号，故的最小值为故选D7【答案】B【解析】由，得，则，故选B8【答案】【解析】由，得，解得，即10【答案】 【解析】由可得a0，b0，因为，所以ab，当且仅当时取等号，所以的最小值为11【答案】【解析】，当且仅当即时等号成立，故函数的最大值为12【答案】4【解析】，当且仅当时取等号，结合a0，b0，ab8，可得a4，b213【答案】C【解析】，所以，又，都是正实数，所以即的最小值为，故选C14【答案】B【解析】由题可得，当且仅当时，等号成立故选B15【答案】C【解析】因为，当且仅当时，等号成立要使对任意正实数x，y恒成立，则，即80，解得或(舍去)，故a4，即a的最小值为4，故选C17【答案】

19、B【解析】可变形为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，则的最大值为故选B18【答案】A【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，易知当动点在线段AC上时xy取得最大值，此时2xy10，故xy(2xy)，当且仅当x，y5时取等号，对应点(，5)落在线段AC上，故最大值为19【答案】9【解析】因为a0，b0，c0，且abc1，所以3332229，当且仅当abc时等号成立21【答案】【解析】由a，b，c0及(ac)(ab)，可得(ac)(ab)，当且仅当bc时取等号，所以(2abc)2，即2abc，故2abc的最小值为，故选D22【答案】【解析】，由题意得，令，则，当且仅当时，等号成立，即所求最大值为

20、23【答案】（1）；（2）长为米，宽为米时，所用的钢筋网的总长度最小24【答案】（1）9；（2）或【解析】（1）因为x1，所以x10，所以，当且仅当，即x1时等号成立所以当x1时，函数取得最小值为9（2）xy，当且仅当时等号成立，所以由，解得或25【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意得，所以，当且仅当，即时，等号成立即，当时，的最小值为（2），要使得，不等式成立，只要在上恒成立即可不妨设，则只要在上恒成立则即解得，的取值范围是【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误27【

21、答案】9【解析】由题意可知，由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此，当且仅当时取等号，则的最小值为【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误28【答案】B【解析】因为，且，所以 ，故选B【名师点睛】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断【名

22、师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”30【答案】30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误31【答案】【解析】由直线 过点（1，2）可得，所以当且仅当，即时等号成立【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提条件：“一正”“二定”“三相等”，在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式TheEnd下节见