专题4.3 空间直角坐标系-20届高中数学同步讲义人教版（必修2）

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1、一、空间直角坐标系定义以空间中两两_且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标_，x轴、y轴、z轴叫做_通过每两个坐标轴的平面叫做_，分别称为xOy平面、yOz平面、_平面画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy_，yOz90图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_轴的正方向，食指指向_轴的正方向，如果中指指向_轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系二、空间直角坐标系中点的坐标1空间中的任意点与有序实数组之间的关系如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于

2、x轴、y轴和z轴的_，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R设点P、Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组（x，y，z）是_的关系，有序实数组_叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作_，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z叫做点M的_2空间直角坐标系中特殊位置点的坐标点的位置点的坐标形式原点（0，0，0）x轴上（a，0，0）y轴上（0，b，0）z轴上（0，0，c）xOy平面上（a，b，0）yOz平面上（0，b，c）xOz平面上（a，0，c）3空间直角坐标系中的对称点设点P（a，b，c）为空间直角坐标系中的点，则对称轴（或中心或平面）点P的对称点坐标原点x轴y

3、轴（a，b，c）z轴xOy平面yOz平面xOz平面三、空间两点间的距离公式如图，设点是空间中任意两点，且点在xOy平面上的射影分别为M，N，那么M，N的坐标分别为在xOy平面上，在平面内，过点作的垂线，垂足为H，则，所以在中，根据勾股定理，得_因此，空间中点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）之间的距离是_特别地，点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离为|OP|空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点PK知识参考答案：三、 K重点1会建立空间直角坐标系

4、（右手直角坐标系），会表示空间中的任意点；2能在空间直角坐标系中求出点的坐标；3记住空间两点间的距离公式，并能应用两点间的距离公式解决一些简单的问题学科&网K难点对空间直角坐标系的理解，空间两点间距离公式的推导K易错易混淆平面与空间直角坐标系1确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：过P作PCz轴于点C；过P作PM平面xOy于点M，过M作MAx轴于点A，过M作MBy轴于点B；设P（x，y，z），则|x|OA|，|y|OB|，|z|OC|当点A、B、C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、C分别在x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为

5、负；当点A、B、C与原点重合时，则x、y、z的值均为0空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的【例1】如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|AB|2|CE|，|AB|AD|AA1|124.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标【解析】以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示【名师点睛】空间中点P坐标的确定方法（1）由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px、Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点

6、P的坐标就是(x，y，z)学科*网（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题【例2】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD1|=2，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，E，F的坐标【例3】如图，在正方体中，分别是的中点，棱长为1 试建立适当的空间直角坐标系，写出点的坐标【解析】建立如图所示坐标系方法一：点在面上的射影为，竖坐标为所以 在面上的射影为的中点，竖坐标为1所以方法二：，为的中点，为的中点故点的坐标为即，点的坐标为，即2求空间对称点的坐标求对称点

7、的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决如关于横轴（x轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数【例4】设点是直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为ABCD【答案】A【解析】点关于x轴对称的点的坐标为学科%网【例5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为ABCD【答案】C【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论（2）空间直角坐标

8、系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：关于原点对称的点的坐标是P1（x，y，z）；关于x轴（横轴）对称的点的坐标是P2（x，y，z）；关于y轴（纵轴）对称的点的坐标是P3（x，y，z）；关于z轴（竖轴）对称的点的坐标是P4（x，y，z）；关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5（x，y，z）；关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6（x，y，z）；关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7（x，y，z）（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点，则的中点的坐标为3空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定

9、系数法求解点的坐标（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度【例6】已知点，求：（1）线段的长度；（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件【例7】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体的体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上当2|C1Q|=|QC|时，求|PQ|【例8】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面

10、ABCD，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E，F分别是AD，PC的中点求证：PCBF，PCEF【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD是矩形，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），|PB|=2，|PB|=|BC|，学科!网又F为PC的中点，PCBF，又F为PC的中点，PCEF【例9】如图，已知正方体ABCD ABCD的棱长为a，M为BD的中点，点N在AC上，且|AN|3|NC|，试求|MN|的长因为|AN|3|NC|，所以N为AC的

11、四等分点，从而N为OC的中点，故N.根据空间两点间的距离公式，可得|MN|a.【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定4混淆平面与空间直角坐标系【例10】已知空间中两点，在轴上有一点，它到两点的距离相等，求点的坐标【错解】由已知得，的中点坐标为，且所在直线的斜率为3，故的垂直平分线的斜率为，则垂直平分线的方程为，当时，故点的坐标为【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误由于点到两点的距离

12、相等，故可求的垂直平分线以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解学科网【正解】设点的坐标为，则，即，解得，所以点的坐标为 【易错点睛】平面直角坐标系中的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用，如平面直角坐标系中的中点公式，可类比到三维空间中，而直线方程及一些判定定理、性质在三维空间中不一定适用1在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于x轴对称的点的坐标为A（1，2，3）B（1，2，3）C（1，2，3）D（1，2，3）2在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于yOz平面对称的点的坐标为A（3，4，5）B（3，4，5）C（3，4，5）D（3，4，5）3如图，在正方体OABCO1A1B1C1中，棱

13、长为2，E是B1B上的点，且|EB|2|EB1|，则点E的坐标为A（2，2，1）B（2，2，）C（2，2，）D（2，2，）4在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），则对角线AC1的长为A9BC5D25已知点A（1，a，5），B（2a，7，2）（aR）则|AB|的最小值是A3B3C2D26点（2，0，3）在空间直角坐标系中的Ay轴上BxOy面上CxOz面上D第一象限内7在空间直角坐标系中，已知点P（1，），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为A（0，0）B（0，）C（1，0，）D（1，0，0）8如图所示，在长方体A

14、BCOA1B1C1O1中，OA1，OC2，OO13，A1C1与B1O1交于P，分别写出A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P的坐标9（1）已知A（1，2，1），B（2，0，2），在x轴上求一点P，使|PA|PB|；在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点轨迹（2）在xOy平面内的直线xy1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小10在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是ABCD11已知A点坐标为（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|PB|，则P点坐标为A（6，0，0）B（6，0，1）C（0，0，6）D（0，6，0）12

15、已知M（5，3，2），N（1，1，0），则点M关于点N的对称点P的坐标为_13在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A的坐标为（3，1，2），其中心M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于_14如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动若|CM|BN|a（0a）（1）求MN的长度；（2）当a为何值时，MN的长度最短？15如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标16如图所示，VABCD是正棱锥，O为底面中心，E，

16、F分别为BC，CD的中点已知|AB|2，|VO|3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标17如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz（1）若点P在线段BD1上，且满足3|BP|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P的坐标；（2）在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标18如图，三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标19（2017上海）如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标

17、轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是_12345671011BADBBCBAA1【答案】B【解析】关于x轴对称，横坐标不变故选B2【答案】A【解析】关于yOz平面对称，y，z不变故选A3【答案】D4【答案】B【解析】由已知求得C1（0，2，3），|AC1|故选B5【答案】B【解析】|AB|2（2a1）2（7a）2（25）25a210a595（a1）254a1时，|AB|2的最小值为54|AB|min3故选B学#科网6【答案】C【解析】因为该点的y坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz面上故选C7【答案】B【解析】平面yOz内点的横坐标为0故选B8【答案】详见解

18、析9【答案】（1）P（1，0，0）；M点的轨迹是xOz平面内的一条直线，其方程为x3z10；（2）M（1，0，0）【解析】（1）设P（a，0，0），则由已知得，即a22a6a24a8，解得a1，所以P点坐标为（1，0，0）设M（x，0，z），则有，整理得2x6z20，即x3z10故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线（2）由已知，可设M（x，1x，0），则|MN|所以当x1时，|MN|min，此时点M（1，0，0）10【答案】A【解析】设P（x，y，z），由题意可知，x2y2z2故选A11【答案】A【解析】设P（x，0，0），|PA|，|PB|，由|PA|PB|，得x6故选A12【答案】（3，5

19、，2）13【答案】【解析】设正方体的棱长为a，由|AM|可知，正方体的体对角线长为a2，故a14【答案】（1）；（2）当a时，MN的长度最短【解析】因为平面ABCD平面ABEF，且交线为AB，BEAB，所以BE平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系因为|BC|1，|CM|a，点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点M（a，0，1a）因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|a，所以点N（a，a，0）（1）由空间两点间的距离公式，得|MN|，即MN的长度为（2）由（1），

20、得|MN|当a（满足0a）时，取得最小值，即MN的长度最短，最短为学%科网15【答案】M；N16【答案】V（0，0，3），A（1，1，0），B（1，1，0），C（1，1，0），D（1，1，0）【解析】底面是边长为2的正方形，|CE|CF|1O点是坐标原点，C（1，1，0），同样的方法可以确定B（1，1，0），A（1，1，0），D（1，1，0）V在z轴上，V（0，0，3）17【答案】（1）P；（2）当m时，|MP|取得最小值，此时点M为【解析】（1）由题意知P的坐标为，P关于y轴的对称点P的坐标为（2）设线段C1D上一点M的坐标为（0，m，m），则有|MP|当m时，|MP|取得最小值，所以点M为学科网18【答案】详见解析19【答案】（4，3，2）【解析】如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，的坐标为（4，3，2），A（4，0，0），C1（0，3，2），（4，3，2）故答案为：（4，3，2）