专题4.1 圆的方程-20届高中数学同步讲义人教版（必修2）

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1、一、圆的标准方程1圆的标准方程基本要素当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是_和_标准方程圆心为，半径为r的圆的标准方程是_图示说明若点在圆上，则点的_适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在_上2圆的标准方程的推导 如图，设圆的圆心坐标为，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r0).设为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为 ，式两边平方，得.3点与圆的位置关系圆C：，其圆心为，半径为，点，设.位置关系与的大小图示点P的坐标的特点点在圆外点在圆上点在圆内二、圆的一般方程1圆的一般方

2、程的定义当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为_，半径_.2圆的一般方程的推导把以为圆心，为半径的圆的标准方程展开，并整理得.取，得： .把的左边配方，并把常数项移到右边，得.当且仅当_时，方程表示圆，且圆心为_，半径长为_；当时，方程只有实数解，所以它表示一个点_；当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形3点与圆的位置关系点与圆的位置关系是：在圆内_，在圆上_，在圆外_.三、待定系数法求圆的一般方程求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：根据题意，选择_；根据条件列出关于或的_；解出或，代入标准方程或一般方程四、轨迹和轨迹方程1轨迹和轨迹方

3、程的定义平面上一动点M，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.2求轨迹方程的五个步骤_：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标；_：写出适合条件的点的集合；_：用坐标表示条件，列出方程；_：化方程为最简形式；査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点K知识参考答案：一、1圆心 半径 坐标 圆3 三、标准方程或一般方程 方程组 学科&网四、2建系 设点 列式 化简 K重点1能根据条件写出圆的标准方程；2圆的一般方程、用待定系数法求圆的一般方程K难点1求圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系；2与圆有关的轨迹问

4、题K易错1忽视圆标准方程的结构致错；2忽视圆的一般方程应满足的条件致错1求圆的标准方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算对于几何法，常用到圆的以下几何性质：圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件【例1】写出下列各圆的标准方程（1）圆心在原点，半径长为2；（2）圆心是直线与的交点，半径长为【解析】（

5、1）圆心在原点，半径长为2，即，圆的标准方程为学科#网【例2】过点且圆心在直线上的圆的方程是ABCD【答案】C【解析】解法1：设所求圆的标准方程为，由已知条件，知，解此方程组，得，故所求圆的标准方程为解法2：设点为圆心，因为点在直线上，所以可设点的坐标为又因为该圆经过两点，所以所以，解得所以所以圆心坐标为，半径故所求圆的标准方程为【名师点睛】确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如解法1，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如解法2、3一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为

6、简捷2会判断点与圆的位置关系点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离与圆的半径比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：，点在圆外；，点在圆上；，点在圆内【例3】 已知点（2，0）和（x-2）2+ （y+1）2= 3，则点与圆的位置关系是A在圆内B在圆上C在圆外D不确定【答案】A【解析】由于（2-2）2+（0+1）23，故点在圆内【例4】已知点A（1，2）和圆C：（x-a）2+（y+a）2=2a2，试求满足下列条件的实数a的取值范围（1）点A在圆C的内部；（2）点A在圆C上；（3）点A在圆C的外部3圆的方程的判断判断二元二次方程是否表示圆的方法：（1）利用圆的一般方程

7、的定义，求出利用其符号判断（2）将方程配方化为的形式，根据的符号判断【例5】判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程（1）x2+y2+2x+1=0；（2）x2+y2+2ay-1=0；（3）x2+y2+20x+121=0；（4）x2+y2+2ax=0【解析】（1）原方程可化为（x+1）2+y2=0，它表示点（-1，0），不表示圆（2）原方程可化为x2+（y+a）2=a2+1，它表示圆心为（0，-a），半径为的圆，标准方程为x2+（y+a）2=（）2 学科&网（3）原方程可化为（x+10）2+y2=-210，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆（4）原方程可化为（x+a）2+y2=a2当a=0时，

8、方程表示点（0，0），不表示圆；当a0时，方程表示以（-a，0）为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为（x+a）2+y2=a2【例6】 方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的条件是Am1Bm1Cm1【答案】B4用待定系数法求圆的一般方程应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：【例7】已知圆经过点（4，2）和（-2，-6），且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2，求圆的方程【解析】设圆的一般方程为由圆经过点（4，2）和（-2，-6），得，设圆在x轴上的截距为x1，x2，则x1，x2是方程x2+Dx+F=0的两个根，得x1+x2=-D设圆在y轴上的截距为y1，y2，则y1，y2是方程y2+Ey

9、+F=0的两个根，得y1+y2=-E由已知，得-D+（-E）=-2，即D+E-2=0联立，解得D=-2，E=4，F=-20，故所求圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0【例8】试判断，四点是否在同一个圆上 【名师点睛】判断四点是否在同一个圆上，一般可先求过其中三点的圆的方程，然后把第四个点的坐标代入，若满足方程，则四点在同一个圆上，若不满足方程，则四点不在同一个圆上学科!网5与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程步骤如下：（2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程（3）相关点法：若动点随着圆上的另一动点运动

10、而运动，且可用表示，则可将点的坐标代入已知圆的方程，即得动点的轨迹方程【例9】已知点P（x，y），A（1，0），B（-1，1），且|PA|=|PB|（1）求点P的轨迹方程；（2）判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由【解析】（1）由题意得，两边同时平方，化简得x2+y2+6x-4y+3=0，即点P的轨迹方程为x2+y2+6x-4y+3=0【例10】已知直角的斜边为，且，求：（1）直角顶点的轨迹方程；（2）直角边中点的轨迹方程【解析】（1）解法一：设顶点，因为，且三点不共线，所以且又， ，且，所以，化简得因此，直角顶点的轨迹方程为解法二：同解法一得且由勾股定理得，即

11、，化简得学科%网因此，直角顶点的轨迹方程为解法三：设中点为，由中点坐标公式得，由直角三角形的性质知， ，由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆（由于三点不共线，所以应除去与轴的交点）设，则直角顶点的轨迹方程为6忽视圆标准方程的结构致错【例11】求圆的圆心及半径【错解】由圆的标准方程知圆心为，半径为【错因分析】在圆的标准方程中，此圆的圆心为，半径长为r错解中没有准确把握圆的标准方程的结构形式【正解】由圆的标准方程知圆心为，半径为7忽视圆的一般方程应满足的条件致错【例12】已知点在圆外，求的取值范围【错解】点在圆外，解得的取值范围是【错因分析】本题忽视了圆的一般方程表示圆的条件为，而导

12、致错误【正解】方程表示圆，即，解得学科*网又点在圆外，解得或综上所述，的取值范围是【易错点睛】一个二元二次方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题1圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为Ax2+（y3）2=1Bx2+（y+3）2=1C（x3）2+y2=1D（x+3）2+y2=12已知圆C：（x6）2+（y8）2=4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为A（x3）2+（y+4）2=100B（x+3）2+（y4）2=100C（x3）2+（y4）2=25D（x+3）2+（y4）2=253（x+1）2+（y1）2=1的圆心在A第一象限B第二象限C第

13、三象限D第四象限4圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是Ax2+y2=25Bx2+y2=5C（x3）2+（y4）2=25D（x+3）2+（y+4）2=255以两点A（3，1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是A（x1）2+（y2）2=25B（x+1）2+（y+2）2=25C（x+1）2+（y+2）2=100D（x1）2+（y2）2=1006已知圆心在点P（2，3），并且与y轴相切，则该圆的方程是A（x2）2+（y+3）2=4B（x+2）2+（y3）2=4C（x2）2+（y+3）2=9D（x+2）2+（y3）2=97圆x2+y22x+4y=0的圆心坐标为A（1，2）B（1，2）C（1，

14、2）D（1，2）8已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为（5，0），则它的半径为A3BC5D49圆x2+y24x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为Ar=1；（2，1）Br=2；（2，1）Cr=1；（2，1）Dr=2；（2，1）10圆x2+y22x+2y=0的周长是AB2CD411圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是_12圆（x+1）2+（y3）2=36的圆心C坐标_，半径r=_13求圆心在直线y=2x上，并且经过点A（0，1），与直线x+y=1相切的圆的标准方程14已知圆经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2xy2=0上求圆C的方程15求过三点O（0，0），A（1，

15、1），B（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标16求过三点A（1，0），B（1，2），C（1，0）的圆的方程17已知方程x2+y22x+t2=0表示一个圆（1）求t的取值范围；（2）求该圆的半径r最大时圆的方程18如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形，若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是Ax2+y2x+2y+1=0Bx2+y2+2x2y+1=0Cx2+y22x+y1=0Dx2+y22x+2y1=019若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为Aa=1或a=2Ba=2或a

16、=1Ca=1Da=220若方程x2+y24x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是A（，1）B（，1C1，+）DR21圆（x1）2+（y2）2=1关于直线xy2=0对称的圆的方程为A（x4）2+（y+1）2=1B（x+4）2+（y+1）2=1C（x+2）2+（y+4）2=1D（x2）2+（y+1）2=122由方程x2+y2+x+（m1）y+m2=0所确定的圆中，最大面积是ABC3D不存在23若圆x2+y24x+2y+m+6=0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是Am6C6m5Dm0）上恰有两点M，N，使得MAB和NAB的面积均为4，则r的取值范围是_28已知圆C：（x

17、3）2+（y4）2=1和两点A（m，0），B（m，0）（m0），若圆C上存在点P使得APB=90，则m的最大值为_29已知函数f（x）=x2x+1的图象与坐标轴的交点均在圆M上，则圆M的标准方程为_30已知动点A在圆P：x2+y2=1上运动，点Q为定点B（3，4）与点A距离的中点，则点Q的轨迹方程为_31已知点A，B的坐标分别为（1，0），（1，0）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为_32如图，直角OAB中，OA4，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为_33已知直线l1：mxy=0，l2：x+mym2

18、=0当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是_34已知函数y=x24x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线xy+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值35已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹36已知圆C过A（1，4）、B（3，2）两点，且圆心在直线y=0上（1）求圆C的方程；（2）判断点P（2，4）与圆C的位置关系37已知曲线C的方程：x2+y24x+2y+5m=0（1）当m为何值时，此方程表示圆？（2）

19、若m=0，是否存在过点P（0，2）的直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|=|AB|，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由38求圆x2+y22x6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程39已知圆过点A（2，4），半径为5，并且以M（1，3）为中点的弦长为4，试求该圆的方程40（2016北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为A1B2CD241（2016新课标）圆x2+y22x8y+13=0的圆心到直线ax+y1=0的距离为1，则a=ABCD242（2018天津）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为_43（2016浙江

20、）已知aR，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_12345678910ACBCABBDCA1819202122232425264041BCAABCCDDCA1【答案】A【解析】设圆心坐标为（0，a），圆的半径为1，且过点（1，3），（01）2+（a3）2=1，解得a=3，所求圆的方程为x2+（y3）2=1，故选A2【答案】C【解析】圆C的圆心坐标C（6，8），则OC的中点坐标为E（3，4），半径|OE|=5，则以OC为直径的圆的方程为（x3）2+（y4）2=25，故选C学科*网3【答案】B【解析】（x+1）2+（y1）2=1的圆心坐标为：（1，1）

21、，在第二象限故选B4【答案】C【解析】由题意，设圆的方程为（x3）2+（y4）2=r2，过点（0，0），r2=25，所求圆的方程为（x3）2+（y4）2=25，故选C5【答案】A6【答案】B【解析】因为圆心点P（2，3）到y轴的距离为|2|=2，且圆与y轴相切，所以圆的半径为2，则该圆的标准方程为：（x+2）2+（y3）2=4故选B7【答案】B【解析】将圆的方程化为标准方程得：（x1）2+（y+2）2=5，则圆心坐标为（1，2）故选B8【答案】D【解析】圆的方程x2+y2+2ax+9=0，即（x+a）2+y2=a29，它的圆心坐标为（a，0），再根据它的圆心坐标为（5，0），可得a=5，故它的

22、半径为=4，故选D9【答案】C【解析】由x2+y24x+2y+4=0，得（x2）2+（y+1）2=1，圆x2+y24x+2y+4=0的半径为r=1；圆心坐标为（2，1），故选C10【答案】A【解析】x2+y22x+2y=0即（x1）2+（y+1）2=2，所以圆的半径为，故周长为，故选A11【答案】（x1）2+（y1）2=2【解析】所求圆经过坐标原点，且圆心（1，1）与原点的距离为r=，所求圆的方程为（x1）2+（y1）2=2故答案为：（x1）2+（y1）2=212【答案】（1，3），6【解析】圆（x+1）2+（y3）2=36的圆心C的坐标为（1，3），半径为r=6故答案为：（1，3），613【

23、答案】14【答案】（x3）2+（y4）2=1【解析】圆C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，点C在线段AB的垂直平分线y=x+7，又圆心C在直线2xy2=0上，联立，得C（3，4）圆C的半径r=|AC|=1，圆C的方程是（x3）2+（y4）2=115【答案】圆心是（4，3）、半径r=5【解析】设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=4，E=3，F=0，圆的方程为x2+y28x+6y=0，化为（x4）2+（y+3）2=25，可得：圆心是（4，3）、半径r=516【答案】x2+（y+1）2=217【答案】（1）1t0，1t0，解得k0），圆M过三点A（1，3），B（4，2），C

24、（1，7），可得，解方程可得d=2，e=4，f=20，即圆的方程为x2+y22x+4y20=0，即为（x1）2+（y+2）2=25，故该圆的圆心坐标为（1，2），故圆心到原点的距离为，故选D26【答案】D【解析】动圆x2+y24tx2ty+5t24=0可化为（x2t）2+（yt）2=4，圆心的坐标为（2t，t），半径r=2设圆心的坐标为（x，y），则x=2t，y=t，消去参数t得x2y=0则圆心的轨迹为一条直线，故选D27【答案】（，）【解析】由题意可得|AB|=2，根据MAB和NAB的面积均为4，可得两点M，N到直线AB的距离为2；由于AB的方程为，即x+y+3=0；若圆上只有一个点到直线A

25、B的距离为2，则有圆心（2，0）到直线AB的距离为=r+2，解得r=；若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则有圆心（2，0）到直线AB的距离为=r2，解得r=；综上，r的取值范围是（，）故答案为：（，）28【答案】6【解析】圆C：（x3）2+（y4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（am，b），APB=90，=（a+m）（am）+b2=0，m2=a2+b2=|OP|2，m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6故答案为：6学科*网29【答案】（x2）2+（y+1）2=530【答案】x2+y2+3x4y+6=0【解析】设Q（

26、x，y），则A（2x+3，2y4），把A代入圆P的方程可得：（2x+3）2+（2y4）2=1，即x2+y2+3x4y+6=0，故答案为：x2+y2+3x4y+6=031【答案】x2xy1=0（x1）【解析】设M（x，y），AM，BM的斜率存在，x1，又kAM=，kBM=，由kAM+kBM=2得：=0，整理得：x2xy1=0，点M的轨迹方程为：x2xy1=0（x1）故答案为：x2xy1=0（x1）32【答案】y2=8x，（x0）【解析】根据题意，如图建立坐标系，则A（4，0），M（2，0），设N的坐标为（x，y），则B（0，y），y0，设OBA=COA=，则|OA|=4，|OB|=|y|，|AB

27、|=，则cos=|，则|BC|=ycos=，|AC|=，又由过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则BNOA，则有，即，变形可得：y2=8x；又由y0，则x0，则点N的轨迹方程为y2=8x，（x0）；故答案为：y2=8x，（x0）33【答案】（x1）2+（y）2=34【答案】（1）（x2）2+（y2）2=5；（2）【解析】（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），设圆的方程为：（xa）2+（yb）2=r2代入点，得，解得a=2，b=2，r=，圆的方程为：（x2）2+（y2）2=5（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，即：，解得35【答案】以（0，）为

28、圆心，1为半径的圆学科网36【答案】（1）（x+1）2+y2=20；（2）点P在圆C外【解析】（1）圆心在直线y=0上，设圆心坐标为C（a，0），则|AC|=|BC|，即，即（a1）2+16=（a3）2+4，解得a=1，即圆心为（1，0），半径r=|AC|=，则圆的标准方程为（x+1）2+y2=20；（2）|PC|=r，点P（2，4）在圆C外37【答案】（1）m0，即m1；（2）设A（a，b），则B（2a，2b2），代入圆的方程，可得a2+b24a+2b=0，且4a2+（2b2）28a+2（2b2）=0，a=0，或a=，直线l过点P（0，2），直线l的方程为x=0或5x+12y24=038【答

29、案】（x+7）2+（y+1）2=139【答案】（x2）2+（y1）2=25或（x1）2+y2=25【解析】设所求的圆的方程是（xa）2+（yb）2=25，根据题设知（a+2）2+（b4）2=25，再由弦长公式得：（a+1）2+（b3）2+12=25，联立解得或，所以圆的方程为：（x2）2+（y1）2=25或（x1）2+y2=2540【答案】C【解析】圆（x+1）2+y2=2的圆心为（1，0），圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d=故选C41【答案】A【解析】圆x2+y22x8y+13=0的圆心坐标为（1，4），故圆心到直线ax+y1=0的距离d=1，解得a=，故选A42【答案】（x1）2+y2=1（或x2+y22x=0）【解析】解法一：根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，其圆心为（1，0），半径为1，则该圆的方程为（x1）2+y2=1学科%网解法二：设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=2，E=F=0；所求圆的方程为x2+y22x=0故答案为：（x1）2+y2=1（或x2+y22x=0）43【答案】（2，4），5