专题3.3 直线的交点坐标与距离公式-20届高中数学同步讲义人教版（必修2）

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1、一、两条直线的交点坐标1基础知识几何元素及关系代数表示点M直线l不同时为0)点M在直线l上直线与的交点是M方程组的解是_2两条直线的交点已知两条不重合的直线不同时为0),不同时为0)，如果这两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解；如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点必是和的_.3两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系直线与的位置关系相交重合平行直线与的公共点个数一个无数个零个方程组的解_无解二、两点间的距离1两点间的距离公式平面上任意两点间的距离公式为 .特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离

2、.2两点间距离公式的推导已知平面上的任意两点，如何求点间的距离?如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为,直线与相交于点Q.在中，,过点向x轴作垂线，垂足为;过点向轴作垂线，垂足为,所以,同理可得.所以.学科*网由此得到平面上任意两点间的距离公式为.三、点到直线的距离1点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的 .2点到直线的距离公式平面上任意一点到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离为 .3点到直线的距离公式的推导如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行

3、线，交直线l于R和S，则直线的方程为,R的坐标为;直线的方程为,S的坐标为,于是有,.设,由三角形面积公式可得,于是得.因此，点到直线l:Ax+By+C=0的距离.可以验证，当A=0,或B=0时，上述公式也成立.四、两条平行直线间的距离1两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 的长.2两条平行直线间的距离公式一般地，两条平行直线(其中A与B不同时为0，且)间的距离 .3两条平行直线间的距离公式的推导对于两条平行直线(其中A与B不同时为0，且).在直线上任取一点,则点到的距离即为与之间的距离，则.点在直线上，,即.两条平行直线, (其中A与B不同时为0，且)之间的距离为

4、.五、坐标法（解析法）1坐标法的定义通过建立平面直角坐标系，设出已知点的坐标，求出未知点的坐标，把几何问题转化为代数问题，从而利用代数知识使问题得以解决，这种解决问题的方法叫做坐标法，也称为解析法.学科网2坐标法解决问题的基本步骤（1）建立适当的平面直角坐标系；（2）设出已知点的坐标，求出未知点的坐标；（3）利用已学的坐标公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；（4）反演回去，得到几何问题的结论.也可简记为：六、对称问题对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称.1点关于点对称点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称

5、问题.设点关于点M(a,b)的对称点为P(x,y),则有，所以，即点.特别地,点P关于坐标原点O的对称点为.2点关于直线对称对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系:（直线l的斜率存在且不为零）；线段的中点在直线l上；直线l上任意一点M到P，的距离相等，即.常见的点关于直线的对称点：点关于x轴的对称点 ；点关于y轴的对称点 ；点关于直线y=x的对称点 ；点关于直线y=x的对称点 ；点关于直线x=m(m0)的对称点；点关于直线y=n(n0)的对称点.3直线关于直线对称（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：若与相交，则直线l是、夹

6、角的平分线；若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时ABl,且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）.充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法. 学科￥网（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0,l关于x轴对称的直线是 ;l关于y轴对称的直线是 ;l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0;l关于直线y=x对称的直线是A(y)+B(x)+C=0.K知识参考答案：一、1 2交点 3一组 无数组六、2 3Ax+B(y)+C=0 A(x)+By+C=0K重点直线的交点问题，两点间距离公式的应用，点到直线的距

7、离公式，两条平行直线间的距离公式K难点坐标法(解析法)证明平面几何问题，对称问题，点、线间距离公式的综合应用K易错解题过程出错或讨论不准确，计算出错或求直线方程时忽略斜率不存在的情形致错1直线的交点问题将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有唯一解，则两直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两直线无公共点，此时两直线平行；若方程组有无数组解，则两直线重合.【例1】直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围为_.【答案】(-,2)【解析】联立,解得,即两直线的交点坐标为(,).又交点在第四象限,则,解得-a|AB|,因此供水站建在P处,才能使得所用管

8、道最省.设A(a,b),则AA的中点在l上,且AAl,即,解得,即A(3,6).所以直线AB的方程为6x+y-24=0.解方程组,得.所以点P的坐标为(,).故供水站P应建在(,)处.学科$网【例12】已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P(x,y).kPPkl=-1,3=-1,又PP的中点在直线3x-y+3=0上,3-+3=0.联立,解得.(1)把x=4,y=5代入,得x=-2,y=7,P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(-2,7).

9、(2)用分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l对称的直线方程为,即7x+y+22=0.7直线过定点问题求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.【例13】求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标8点、线间距离公式的综合应用利用点到直线的距离公式或两平行线间的距

10、离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法，数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题. 【例14】已知正方形ABCD的一边CD所在直线的方程为x3y13=0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程9讨论失误【例15】若三条直线:4x+y+4=0,:mx+y+1=0, :xy+1=0不能围成三角形，求m的值.【错解】当三条直线，中至少有两条平行时，三条直线不能围成三角形.显然与不平行，只可能或.当时，m=4;当时，m=1.学科&网【错因分析】错解直接认为只有当存

11、在两条直线平行时，不能构成三角形，而忽略了三线共点时也满足“不能构成三角形”这一条件.此时，只需先求出两直线交点的坐标，同时满足第三条直线的方程即可.【正解】显然与不平行，当或时不能构成三角形，此时对应m的值分别为m=4,m=1;当直线，经过同一点时，也不能构成三角形.由,得.代入的方程得m+1=0,即m=1.综上可知m=4,1,1.【误区警示】解决直线不能围成三角形的问题时，除了三线中至少有两条平行外，还要注意三线共点这一特殊情况.10求直线方程时忽略斜率不存在的情形致错【例16】已知直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为 . 【错解】由题意设直线l的方程为y2=

12、k(x1)，即kxyk+2=0.因为原点到直线l的距离为1，所以，解得.所以所求直线l的方程为，即3x4y+5=0.【错因分析】符合题意的直线有两条，错解中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线.【正解】当直线l过点A(1，2)且斜率不存在时，直线l的方程为x=1，原点到直线l的距离为1，满足题意.当直线l过点A(1，2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y2=k(x1)，即kxyk+2=0.因为原点到直线l的距离为1，所以，解得.所以所求直线l的方程为，即3x4y+5=0. 综上所述，所求直线l的方程为x=1或3x4y+5=0.【误区警示】当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率

13、是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误.1直线3x5y10与直线4x3y50的交点是 A(2，1) B(3，2) C(2，1) D(3，2)2两平行直线与之间的距离是ABC 2D13若点P(3，a)到直线的距离为1，则a的值为A BC或 D或4以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是 A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形5若两条直线2xmy4=0和2mx3y6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是A BCD6过点A(1,2)且与点P(3,2)距离最大的直线方程是Ax2y10 B2xy10Cy1 Dx17原点与点关于直线对称,则直线的方程是ABCD8已知

14、直线，直线，直线，且直线与直线，分别交于，则ABCD9已知直线，且两直线间的距离为，则a_.10在直线xy4=0上存在一点P，使它到点M(2,4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为_11已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.求证:不论m为何实数,直线l过定点.12在中,D是BC边上的任意一点(D与B,C不重合),且.求证: 为等腰三角形.13已知直线，.（1）若点在上，且到直线的距离为，求点P的坐标；（2）若/，求与之间的距离.14（1）求与点P(3，5)关于直线l：x3y20对称的点P的坐标（2）已知直线l：y2x6和点A(1，1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点

15、，且|AB|5，求直线l1的方程15直线关于直线x=1对称的直线方程是AB CD 16若三条直线2x3y8=0，xy1=0和xky=0相交于一点，则k的值等于A2 BC2 D17两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，则它们之间的距离d满足的条件是A0d3 B0d5C0d4 D3d518已知直线l在x轴上的截距为1，且A(2，1)，B(4,5) 两点到l的距离相等，则l的方程为_19已知直线和直线相交于点P(2,3)，则经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是_.20已知ab=3，则的最小值为_21已知直线l过点A(2,4)，且被平行直线l1：xy10与l2：xy10所截

16、的线段中点M在直线xy30上，求直线l的方程22某地东西有一条河，南北有一条路，A村在路西3公里、河北岸4公里处；B村在路东2公里、河北岸公里处两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问发电站建在何处？到两村的距离为多远？12345678151617AADBCDBBDBB1【答案】A 【解析】由解得x=2, y=1,故选A.学科*网2【答案】A3【答案】D【解析】由题意得，或.4【答案】B【解析】由两点间的距离公式求得：|AB|AC|，|BC|，故为等腰三角形5【答案】C【解析】解出两直线的交点为，由交点在第二象限，得，解得.6【答案】D【解析】如图，当过点A的直线恰好与直线A

17、P垂直时，距离最大，故所求直线方程为x1.7【答案】B【解析】由题意可知，直线l过点，且斜率为2，所以直线的方程是.8【答案】B【解析】根据题意可得，故等于两平行线与之间的距离，即9【答案】3或110【答案】【解析】设P点的坐标是(a，a4)，由题意可知|PM|=|PN|，即，解得.故P点的坐标是.11【解析】直线l的方程可化为m(x-2y-3)+2x+y+4=0,由,解得,直线l过定点(-1,-2).12【解析】作AOBC,垂足为O,以BC所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.学科&网设A(0,h),B(b,0),C(c,0),D(d,0).已知，则由两点间距

18、离公式得,化简得.因为点D与点B，C不重合，所以,故,.所以|OB|=|OC|，于是|AB|=|AC|，即为等腰三角形.14【解析】（1）设P(x0，y0)，则kPP，PP中点为.，解得，点P的坐标为(5，1)（2）当直线l1的斜率不存在时，方程为x1，此时l1与l的交点B的坐标为(1，4)|AB|，符合题意当直线l1的斜率存在时，设为k，则，直线l1的方程为y1k(x1)，则l1与l的交点B为，|AB|，解得k，直线l1的方程为3x4y10.综上可得，l1的方程为x1或3x4y10.15【答案】D【解析】在直线上任取两点(1,1),(0,),这两点关于直线x=1的对称点分别为(1,1),(2

19、,),过这两点的直线方程为y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0.选D.学科*网16【答案】B【解析】解方程组，得.将其代入方程xky=0中，得12k=0，所以.17【答案】B【解析】当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|=5，所以0d5.18【答案】x=1或xy1=019【答案】2x3y1【解析】因为P(2,3)在直线l1和l2上，所以，则点和的坐标是方程2x3y1的解，所以经过点和的直线方程是2x3y1.20【答案】【解析】点P(a，b)在直线xy3=0上，而，可以看作是求点P(a，b)与点A(5，2)的距离的最小值问题,即点A到直线xy3=0的距离问题.点A(5，2)到直线xy3=0的距离，此即所求代数式的最小值.解法二：设与l1，l2平行且距离相等的直线为l3：且，由两平行直线间的距离公式得，解得C0，即l3：xy0. 由题意得中点M在l3上，又点M在xy30上解方程组得，.又l过点A(2,4)，故由两点式得直线l的方程为5xy60.学科#网