专题4.2 直线、圆的位置关系-20届高中数学同步讲义人教版（必修2）

《专题4.2 直线、圆的位置关系-20届高中数学同步讲义人教版（必修2）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题4.2 直线、圆的位置关系-20届高中数学同步讲义人教版（必修2）（30页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、一、直线与圆的位置关系及判断1直线与圆的位置关系（1）直线与圆_，有两个公共点；（2）直线与圆_，只有一个公共点；（3）直线与圆_，没有公共点2直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何判定法：设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：dr圆与直线_；dr圆与直线_；dr圆与直线_（2）代数判定法：由消元，得到一元二次方程的判别式，则直线与圆_；直线与圆_；直线与圆_二、弦长问题设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法：（1）几何法:如图（1）,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有,即 .（2）代数法:如图（2）,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是,则

2、(直线的斜率存在).几何法比代数法运算量小,也比较直观、简单,故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题三、圆与圆的位置关系1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,如图所示：外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.两圆相离没有公共点，两圆相切有惟一公共点，两圆相交有两个不同的公共点.2圆与圆位置关系的判断（1）几何法位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆相离0两圆内含两圆相交2两圆内切1两圆外切其中和分别是圆和圆的半径, .（2）代数法联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:方程组解的个数210两圆的公共点个数210两圆的位置关系 .

3、 相离或内含四、直线和圆的方程的应用直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用,用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过 ,解决代数问题;第三步:把 结果“翻译”成几何结论.名师提醒用坐标法解决几何问题时应注意以下几点：（1）应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系，不可随便建立；（2）在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围；（3）最后一定要将代数结果转化成几何结论.K知识参考答案：三、2（2）相交 外切或内切 学&科网四、坐标和方程 代数运算 代数运算

4、K重点1直线与圆的位置关系及判定；2圆与圆位置关系及判定K难点1直线与圆位置关系的综合问题；2直线与圆的方程的应用K易错1忽视隐含条件致错；2两圆的位置关系考虑不全面致错1直线与圆的位置关系及判定判定直线与圆位置关系的常用方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断（3）直线系法：若动直线过定点，则点在圆内时，直线与圆相交；当在圆上时，直线与圆相切或相交；当在圆外时，直线与圆位置关系不确定【例1】判断直线x2y10与圆（x1）2（y3）21的位置关系【解析】方法一：（代数法）将直线与圆的方程联立，得，消去x得5y22y

5、120，445122360，则直线与圆相离方法二：（几何法）圆（x1）2（y3）21的圆心为（1，3），半径为1，则圆心到直线x2y10的距离，故直线与圆相离【例2】已知直线方程，圆的方程当为何值时，圆与直线：（1）有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点？方法二：已知圆的方程可化为，即圆心为，半径学科*网圆心到直线的距离（1）当，即或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；（2）当，即或时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；（3）当，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点2弦长问题涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：（1）几何法：利用半径长、弦心距、弦长的一半

6、构成的直角三角形求解（2）代数法：将直线方程与圆的方程组成方程组，设出交点坐标，若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解；若交点坐标不易求，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可求弦长【例3】已知圆的方程为，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦（1）当时，求的长；（2）当弦被点平分时，写出直线的方程方法二：（代数法）当时，直线的方程为，即，代入，得所以，所以（2）如图，当弦被点平分时， ，因为，所以，所以直线的方程为，即【例4】已知圆过点，且圆心在直线上（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程及的最小值（2）直线的方程可化为点斜式，

7、所以过定点又点在圆内，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦最小因为，所以的斜率，所以的方程为，即，因为，所以3求圆的切线方程求切线方程的常用方法：（1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程若或不存在，则可直接得切线方程为或（2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法：几何方法设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出代数方法设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出学科*网注意过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的值只有一个时，则另一条切

8、线的斜率一定不存在，可由数形结合求出【例5】求圆x2+y2=10的切线方程，使得它经过点M（2，）【例6】过点作圆的切线，求此切线的方程【解析】，点在圆外（1）若所求直线的斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为因为圆心到切线的距离等于半径1，所以，解得所以切线方程为，即（2）若切线斜率不存在，圆心到直线的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线的方程为综上，所求切线的方程为或4利用直线与圆的位置关系求最值或范围问题（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题

9、目要用到数形结合的思想（2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法几何法的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值 代数法的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值【例7】已知实数x、y满足x2+y2+4x+3=0，求：（1）的最大值与最小值；（2）（x-3）2+（y-4）2的最值【解析】（1

10、）如图 （a），点M（x，y）在圆C：（x+2）2+y2=1上，Q（1，2），设k=，即kx-y-k+2=0学科!网过点Q作圆C的两条切线QA、QB，则直线QM夹在两切线QA、QB之间，所以kQAkQMkQB又由C（-2，0）到直线kx-y-k+2=0的距离为1，得=1，解得k=所以的最大值为，最小值为（a） （b）【例8】已知点在圆上 （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值与最小值；（3）求的最大值与最小值 【解析】方程变形为（1）表示圆上的点与原点连线的斜率，显然（为原点）与圆相切时，斜率最大或最小设切线方程为，即，由圆心到切线的距离等于半径长2，可得，解得，所以的最大值为，最小值为

11、学科*网（2），它表示圆上的点到的距离的平方再加2，所以，当点与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点在圆的外部，所以点与点距离的最大值为，点与点距离的最小值为又，所以的最大值为，最小值为5圆与圆的位置关系及判定判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆连心线的长，若，两圆外切；时，两圆内切；时，两圆外离；时，两圆内含；时，两圆相交根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径长的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况【例9】已知两圆：，判断圆与圆的位置关系【解析】方法一：把圆的方程

12、化为标准方程，得所以圆的圆心坐标为，半径长把圆的方程化为标准方程，得圆的圆心坐标为，半径长圆和圆的圆心距，又圆与圆的两半径长之和是，两半径长之差是而，即，所以，两圆的位置关系是相交 【例10】试分别确定圆C1：与C2：外切、内切、相交、内含、外离时，k的取值范围【解析】将两圆的一般方程化为标准方程，C1：，C2：圆C1的圆心坐标为C1（-2，3），半径长r1=1；圆C2的圆心坐标为C2（1，7），半径长r2=（k50）从而圆心距d=5当两圆外切时，即1+=5，解得k=34；当两圆内切时，即|1-|=5，解得k=14；当两圆相交时，即|1-|51+， 解得14k5，解得k14；当两圆外离时，即1

13、+5，解得34k0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x1）2+（y1）2=1的位置关系是A内切B相交C外切D相离35（2018新课标）直线y=x+1与圆x2+y2+2y3=0交于A，B两点，则|AB|=_36（2017全国）直线被圆x2+y22x=0截得的线段长为_37（2016新课标）已知直线l：mx+y+3m=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=_12345678910BAABABACDC2021222324252634DACCBDAB1【答案】B【解析】直线和直线x+2y+1=0平行，设切线方程

14、为即x+2y+b=0，圆心坐标为（0，0），半径R=2，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d=2，解得b=2或b=2，故切线方程为x+2y+2=0或x+2y2=0故选B2【答案】A3【答案】A【解析】以点（2，1）为圆心且与直线x+y+5=0相切的圆的半径，为此点到直线x+y+5=0的距离，即=3，故选A4【答案】B【解析】圆x2+y22y=0化为x2+（y1）2=1，圆心坐标为（0，1），直线x+y+a=0是圆x2+y22y=0的一条对称轴，0+1+a=0，即a=1故选B5【答案】A【解析】圆C：x2+y22x4y4=0可化为：（x1）2+（y2）2=9，圆心C（1，2），半径为3，|AB|

15、6，直线l：y=mx2过圆心，2=m2，m=4故选A6【答案】B【解析】两圆的半径分别为r=6cm和R=8cm，圆心距为d=5cm，则：2=RrdR+r=14，则两圆相交故两圆的公切线有两条故选B7【答案】A【解析】两圆的半径分别为6cm和8cm，圆心距为2cm，圆心距等于半径差，即两圆内切，故两圆的公切线有1条，故选A学科&网8【答案】C【解析】圆x2+y2+6x4y=0的圆心O1（3，2），半径r1=2，圆x2+y26x+12y19=0的圆心O2（3，6），半径r2=4，|O1O2|=10，|r1r2|O1O2|r1+r2，两圆相交故选C9【答案】D【解析】这两圆相切，O1与O2的位置关系

16、是内切或外切，O1O2=5，O1的半径r1=2，所以外切：r1+r2=5解得r2=3或内切：r2r1=5，解得r2=7故选D10【答案】C11【答案】相交【解析】根据圆心（0，0）到直线y=x+1的距离为，小于半径1，可得直线和圆相交，故答案为：相交12【答案】2x2y+7=0【解析】圆x2+y2+4x6y+4=0与圆x2+y2+2x4y3=0，将两圆方程相减可得2x2y+7=0，故答案为：2x2y+7=013【答案】4【解析】由题意，O1：x2+y2=5与O2：（x5）2+y2=20作差，可得公共弦方程为：x=1，由，解得A（1，2），B（1，2）|AB|=4故答案为：414【答案】x+y+

17、2=0【解析】经过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y4=0的交点的圆系方程为：（x2+y2+6x+4y）+（x2+y2+4x+2y4）=0，令=1，可得公共弦所在直线方程为：x+y+2=0故答案为：x+y+2=015【答案】相交【解析】圆x2+y22x+y3=0的圆心坐标为（1，），半径为，圆x2+y2=2的圆心坐标为（0，0），半径为，圆心距为：，大于半径差，小于半径和，故两圆相交，故答案为：相交16【答案】8【解析】由反射定律，得点A（1，1）关于x轴的对称点B（1，1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，最短距离为|BC|R=2=102=8，故光线从点A经x轴反射到圆周

18、C的最短路程为817【答案】（1）50a50；（2）a=50；（3）a5018【答案】，0，2【解析】将两圆分别化为标准方程得：（xm）2+y2=4以及（x+1）2+（y2m）2=9，圆心坐标分别为A（m，0）和B（1，2m），半径分别为2和3，由两圆相切，得到|AB|=3+2或|AB|=32，即=5或=1，整理得（5m+12）（m2）=0或m（5m+2）=0，解得m=或2或0或，则实数m的所有取值组成的集合为，0，219【答案】最大值为4，最小值为2【解析】由题意可知当直线AC与直线xy+4=0垂直时，垂足为D，且与圆交于A、B两点，此时圆上的点与直线xy+4=0的最大值为|AD|，最小值为

19、|DB|，由圆的方程可得圆心坐标为（1，1），半径r=|AC|=|BC|=，而圆心C到直线xy+4=0的距离d=|CD|=3则圆上的点与直线xy+4=0距离的最大值|AD|=|AC|+|CD|=+3=4，最小值|BD|=|CD|CB|=3=2学科%网20【答案】D【解析】圆x2+y2+4x6y+4=0的圆心为M（2，3），半径为r=3，CM=5，圆C的半径为53=2，圆C的标准方程为：（x2）2+y2=4，即x2+y24x=0故选D21【答案】A22【答案】C【解析】由题意，|CM|，（51）2+（t4）220，2t6，故选C23【答案】C【解析】由题意可得ABC是等腰直角三角形，圆心C（1，

20、a）到直线ax+y1=0的距离等于rsin45=，再利用点到直线的距离公式可得，a=1，故选C24【答案】B【解析】圆C的方程为x22x+y21=0即（x1）2+y2=2，表示以（1，0）为圆心、半径r=的圆求出圆心到直线的距离为d=10），则圆心为（0，a），半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=，圆M：x2+y22ay=0（a0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，2=2=2=2，即，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2，圆N：（x1）2+（y1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则MN=，R+r=3，Rr=1，RrMNR+r，即两个圆相交故选B35【答案】2【解析】圆x2+y2+2y3=0的圆心（0，1），半径为：2，圆心到直线的距离为：，所以|AB|=2=2故答案为：236【答案】37【答案】4【解析】由题意，|AB|=2，圆心到直线的距离d=3，=3，m=，直线l的倾斜角为30，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，|CD|=4故答案为：4