北京市2019年中考数学真题与模拟题分类汇编 专题14 图形的性质之解答题（3）（45道题）（原卷版）

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1、专题14 图形的性质之解答题（3）（45道题）一解答题（共45小题）1（2019顺义区一模）已知：如图，AB是O的直径，点C是O上一点，点P在AB的延长线上，且AP30（1）求证：PC是O的切线；（2）连接BC，若AB4，求PBC的面积2（2019海淀区一模）如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABBC2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF（1）求证：四边形CDEF为菱形；（2）连接DF交AC于点G，若DF2，CD，求AD的长3（2019顺义区一模）已知：如图，四边形ABCD是矩形，ECDDBA，CED90，AFBD于点F（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）若

2、AB4，AD3，求EC的长4（2019东城区一模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P求作：直线PE，使得PEBC作法：如图2在直线BC上取一点A，连接PA；作PAC的平分线AD；以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；作直线PE所以直线PE就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：AD平分PAC，PADCADPAPE，PAD ，PEA ，PEBC（ ）（填推理依据）5（2019顺义区一模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的

3、尺规作图过程已知：直线l及直线l外一点P求作：直线PQ，使得PQl作法：如图，在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；作直线PQ所以直线PQ为所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接PA，PB，QA，QBPAPBQAQB，四边形APBQ是菱形 （填推理的依据）PQAB （填推理的依据）即PQl6（2019东城区一模）如图，AB与O相切于点A，P为OB上一点，且BPBA，连接AP并延长交O于点C，连接OC（1）求证：OCO

4、B；（2）若O的半径为4，AB3，求AP的长7（2019海淀区一模）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图1，直线l及直线l外一点P求作：直线PQ，使PQl作法：如图2，在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A、B两点；连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；作直线PQ；所有直线PQ就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：连接PB、QBPAQB， PBAQPB（ ）（填推理的依据）PQl（ ）（填推理的依据）8（2019海淀区一模）如图，AB是

5、O的直径，弦CDAB于点E，在O的切线CM上取一点P，使得CPBCOA（1）求证：PB是O的切线；（2）若AB4，CD6，求PB的长9（2019海淀区一模）如图1，线段AB及一定点C、P是线段AB上一动点，作直线CP，过点A作AQCP于点Q，已知AB7cm，设A、P两点间的距离为xcm，A、Q两点间的距离为y1cm，P、Q两点间的距离为y2cm小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值 x/cm00.30.50.811.5234567y

6、1/cm00.280.490.7911.481.872.372.612.722.762.78y2/cm00.080.090.0600.290.731.82 4.205.336.41（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APQ中有一个角为30时，AP的长度约为 cm10（2019海淀区一模）如图，在等腰直角ABC中，ABC90，D是线段AC上一点（CA2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F（1）依题意补全图形；（2）若ACE，求ABD

7、的大小（用含的式子表示）；（3）若点G在线段CF上，CGBD，连接DG判断DG与BC的位置关系并证明；用等式表示DG、CG、AB之间的数量关系为 11（2019石景山区一模）如图，AB是O的直径，过O上一点C作O的切线CD，过点B作BECD于点E，延长EB交O于点F，连接AC，AF（1）求证：CEAF；（2）连接BC，若O的半径为5，tanCAF2，求BC的长12（2019西城区一模）如图，在ABC中，ACBC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若A75，AC4，求菱形DFCE的面积13（2019西城区一模）下面是小东设计的“作圆的

8、一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60”的尺规作图过程已知：O求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于O，且其对角线AC，BD的夹角为60作法：如图作O的直径AC；以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；连接BO并延长交O于点D；所以四边形ABCD就是所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：点A，C都在O上，OAOC同理OBOD四边形ABCD是平行四边形AC是O的直径，ABC90（ ）（填推理的依据）四边形ABCD是矩形AB BO，四边形ABCD四所求作的矩形14（2019石景山区一模）下面是小立设

9、计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图1，直线l及直线l外一点A求作：直线AD，使得ADl作法：如图2，在直线l上任取一点B，连接AB；以点B为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；作直线AD所以直线AD就是所求作的直线根据小立设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明（说明：括号里填推理的依据）证明：连接CDADCDBCAB，四边形ABCD是 （ ）ADl（ ）15（2019北京一模）下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程已知：直线l及直

10、线l外一点P求作：直线PQ，使得PQl，垂足为Q作法：如图，在直线l上任取一点A；以点P为圆心，PA为半径作圆，交直线l于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；连接PC交直线l于点Q则直线PQ就是所求作的垂线根据上述尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：PA ，AC ，PQl（ ）（填推理的依据）16（2019北京一模）如图，RtABC中，ACB90，点D在AC边上，以AD为直径作O交BD的延长线于点E，CEBC（1）求证：CE是O的切线；（2）若CD2，BD2，求O的半径17（2019北京一模）如图，ABCD中

11、，E，F分别是边BC，AD的中点，BAC90（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BC4，B60，求四边形AECF的面积18（2019北京一模）如图，等边ABC的边长为3cm，点N在AC边上，AN1cmABC边上的动点M从点A出发，沿ABC运动，到达点C时停止设点M运动的路程为xcm，MN的长为ycm小西根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小西的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；x/cm00.511.522.533.544.555.56y/cm10.8711.322.182.652.291.81.731.82（2

12、）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当MN2cm时，点M运动的路程为 cm19（2019门头沟区一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P，给出如下定义：点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点如果以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60后与线段MN有公共点，我们就称点P是线段MN的“关联点”如图，M（1，2），N（4，2）（1）在点P1（1，3），P2（4，0），P3（3，2）中，线段MN的“关联点”有 ；（2）如果点P在直线yx+1上，且点P是线段MN的“关联点”

13、，求点P的横坐标x的取值范围；（3）如果点P在以O（1，1）为圆心，r为半径的O上，且点P是线段MN的“关联点”，直接写出O半径r的取值范围20（2019平谷区一模）如图，点P是所对弦AB上一动点，点Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，作射线PQ交于点C，连接BC已知AB6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm（当点P与点A重合时，x的值为0）小平根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小平的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值

14、；x/cm0123456y1/cm5.374.062.83m3.864.835.82y2/cm2.683.574.905.545.725.795.82经测量m的值是（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当BCP为等腰三角形时，AP的长度约为 cm21（2019房山区一模）如图，AB为O直径，点C是O上一动点，过点C作O直径CD，过点B作BECD于点E已知AB6cm，设弦AC的长为xcm，B，E两点间的距离为ycm（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）小冬根据学

15、习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小冬的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm00.991.892.602.98m0经测量m的值为 ；（保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE2时，AC的长度约为 cm22（2019门头沟区一模）下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程已知：如图1，O求作：正方形ABCD，使正方形ABCD内接于O作法：如图2，过点O作直线AC，交O于点A和C；

16、作线段AC的垂直平分线MN，交O于点B和D；顺次连接AB，BC，CD和DA；则正方形ABCD就是所求作的图形根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：AC是O的直径，ABCADC ，又点B在线段AC的垂直平分线上，ABBC，BACBCA 同理DAC45BADBAC+DAC45+4590DABABCADC90，四边形ABCD是矩形（ ）（填依据），又ABBC，四边形ABCD是正方形23（2019通州区一模）已知：如图1，在ABC中，ACB90求作：射线CG，使得CGAB下面是小东设计的尺规作图过程作法：如图2，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分

17、别交AC，AB于D，E两点；以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在FCB内部交于点G；作射线CG所以射线CG就是所求作的射线根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接FG、DEADE ，DAE CGAB（ ）（填推理的依据）24（2019平谷区一模）下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程已知：如图，AOB求作：AOB的角平分线OP作法：如图，在射线OA上任取点C；作ACDAOB；以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P；作射线OP；所以射线OP即为所求根据小

18、元设计的尺规作图过程，完成以下任务（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：ACDAOB，CDOB（ ）（填推理的依据）BOPCPO又OCCP，COPCPO（ ）（填推理的依据）COPBOPOP平分AOB25（2019平谷区一模）如图，AB是O的直径，AC切O于点A，连接BC交O于点D，点E是的中点，连接AE交BC于点F（1）求证：ACCF；（2）若AB4，AC3，求BAE的正切值26（2019延庆区一模）对于图形M、N，给出如下定义：在图形M中任取一点A，在图形N中任取两点B、C（A、B、C不共线），将BAC的最大值（0180）叫作图形M对图形N的视角问题解决：在平面直角坐标系xOy中，已

19、知T（t，0），T的半径为1（1）当t0时，求点D（0，2）对O的视角；直线l1的表达式yx+2，且直线l1对O的视角，求sin（2）直线l2的表达式yx+t，若直线l2对T的视角，且6090，直接写出t的取值范围27（2019门头沟区一模）如图，在ABD中，ABDADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，连接BC，DC和AC，AC与BD交于点O（1）用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形；（2）如果AB5，cosABD，求BD的长28（2019通州区一模）如图，在ABC中，ACB90，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平

20、分EAD（1）求证：四边形EADB是菱形；（2）连接EC，当BAC60，BC2时，求ECB的面积29（2019平谷区一模）如图，在ABC中，ABAC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AEBC，CEAD交于点E，连接DE，交AC于点O（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB10，sinCOE，求CE的长30（2019通州区一模）如图，ABC内接于O，AB为O的直径，过点A作O的切线交BC的延长线于点E，在弦BC上取一点F，使AFAE，连接AF并延长交O于点D（1）求证：BCAD；（2）若CE2，B30，求AD的长31（2019房山区一模）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直

21、径的O分别交AC，BC于点D，E，过点B作O的切线，交AC的延长线于点F（1）求证：CBFCAB；（2）若CD2，tanCBF，求FC的长32（2019房山区一模）已知：RtABC中，ACB90，ACBC（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BEAD，交AD的延长线于点E，连接CE若BAD，求DBE的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BEAD，垂足E在线段AD上，连接CE依题意补全图2；用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明33（2019通州区一模）数学活动课上，老师提出问题：如图1，在RtABC

22、中，C90，BC4cm，AC3cm，点D是AB的中点，点E是BC上一个动点，连接AE、DE问CE的长是多少时，AED的周长等于CE长的3倍设CExcm，AED的周长为ycm（当点E与点B重合时，y的值为10）小牧根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小牧的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.511.522.533.54y/cm8.07.77.57.4 8.08.69.210（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出上表中对应值为坐标的点，画出该函数的图象，如图2；（3）结合画

23、出的函数图象，解决问题：当CE的长约为 cm时，AED的周长最小；当CE的长约为 cm时，AED的周长等于CE的长的3倍34（2019门头沟区一模）如图，在ABC中，ABAC，D是AB的中点，P是线段BC上一动点，连接AP和DP如果BC8cm，设B，P两点间的距离为xcm，D，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm小明根据学习函数经验，分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请将它补充完整：（1）按下表中自变量x值进行取点、画图、测量，得到了y1和y2与x几组对应值：x/cm012345678y1/cm2.501.801.501.803.3

24、54.275.226.18y2/cm5.004.243.613.163.003.163.614.245.00（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y2）和（x，y1），并画出函数y1和y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当DPAP时，BP的长度约为 cm（结果精确到0.01）35（2019延庆区一模）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E、F分别是边BC上的两点，且EOF45，将EOF绕点O逆时针旋转，当点F与点C重合时，停止旋转，已知，BC6，设BEx，EFy小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的

25、探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点，画图、测量，得到了y与x的几组对应值：x00.511.522.53y32.77 2.502.552.65 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当EF2BE时，BE的长度约为 36（2019延庆区一模）已知：四边形ABCD中，ABC120，ADC60，ADCD，对角线AC、BD相交于点O，且BD平分ABC，过点A作AHBD，垂足为H（1）求证：ADBACB；（2）判断线段BH、DH、BC之间的数量关系，并证明37（2019延庆

26、区一模）如图，AB是O的直径，点C在O上，点P是AB上一动点，且与点C分别位于直径AB的两侧，tanCPB，过点C做CQCP交PB的延长线于点Q；（1）当点P运动到什么位置时，CQ恰好是O的切线？（2）若点P与点C关于直径AB对称，且AB5，求此时CQ的长38（2019延庆区一模）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点D，且ACBC，点E是BC延长线上一点，连接DE（1）求证：四边形ACED为矩形；（2）连接OE，如果BD10，求OE的长39（2019延庆区一模）下面是小东设计的“已知两线段，求作直角三角形”的尺规作图过程已知：如图1，线段a及线段b（ab）求作：RtABC，使得a

27、、b分别为它的直角边和斜边作法：如图2，作射线CM，在CM上顺次截取CBBDa；分别以点C、D为圆心，以b的长为半径画弧，两弧交于点A；连接AB、AC，则ABC就是所求作的直角三角形根据小东设计的尺规作图过程（1）补全图形，保留作图痕迹；（2）完成下面的证明证明：连接AD AD，CB ABC90（ ）（填推理依据）40（2019房山区一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE（1）求证：四边形AOBE是菱形；（2）若EAO+DCO180，DC2，求四边形ADOE的面积41（2019北京模拟）文艺复兴时期，意大利艺术大师达芬奇研究过用圆

28、弧围成的部分图形的面积问题已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积证明：S矩形ABCDS1+S2+S32，S4 ，S5 ，S6 + ，S阴影S1+S6S1+S2+S3 42（2019北京模拟）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CEDF，ECBD，ACFD求证：AEFB43（2019房山区二模）如图：ABC是O的内接三角形，ACB45，AOC150，过点C作O的切线交AB的延长线于点D（1）求证：CDCB；（2）如果O的半径为，求AC的长44（2019门头沟区一模）如图，点D在O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DCAB于点C（1）求证：DB平分PDC；（2）若DC6，tanP，求BC的长45（2019怀柔区二模）如图，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD），D90，BCCD12，ABE45，若AE10求CE的长度