专题2.3 幂函数-20届高中数学同步讲义人教版（必修1）

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1、一、幂函数1幂函数的概念一般地，函数是常数）叫做幂函数，其中是自变量，是常数2幂函数的结构特征幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为13幂函数与指数函数的区别与联系函数解析式相同点不同点指数函数右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数底数是_，指数是_二、幂函数的图象与性质1几个常见幂函数的图象与性质函数图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上单调递增在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增在上单调递增在和上单调递减过定点过定点过定点【注】幂函数是常数）中，的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样注意是正分数或

2、负分数（正整数或负整数）时的不同2幂函数是常数）的指数对图象的影响（1）当_时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；（2）当_时，函数图象向x轴弯曲，类似于的图象；（3）当_时，函数图象向y轴弯曲，类似于的图象，而且逆时针方向指数在增大具体如下：1011，0时，a1；0a0时，0a1，0时，0a1；0a1，1；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形（2）给定一组数值，比较大小的步骤第一步：区分正负一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行第二步：正数通常

3、还要区分大于1还是小于1第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底（化同指）、或放缩、有时作商（或作差）、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等【例4】设，则的大小关系是AacbBabcCcabDbca【答案】A【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量5求出参数后，忽略检验致错【例5】已知幂函数的定义域为，且单调递减，则_【错解】因为幂函数的定义域为，且单调递

4、减，所以，解得又因为，所以或2学科*网【错因分析】错解中对求出的的值没有代回题目中进行检验，造成多解【正解】因为幂函数的定义域为，且单调递减，所以，解得又因为，所以或2当时，其定义域为，且函数单调递减，符合题意；当时，其定义域是，不符合题意，舍去综上，得【名师点睛】根据题目条件及幂函数的定义求出参数的值后，一定要把参数的值代回题目中进行检验，看是否满足题意，否则容易造成多解或错解1如果幂函数f（x）=x的图象经过点，则=A2B2CD2若幂函数f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值是A4B3C2D13幂函数的图象经过点，则f（2）的值等于A4BCD4函数的单调递增区间为A（，0B0，+）C（

5、0，+）D（，0）5若幂函数y=f（x）经过点，则此函数在定义域上是A增函数B减函数C偶函数D奇函数6若函数f（x）=（m2m1）xm是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f（x）A是偶函数B是奇函数C是单调递减函数D在定义域内有最小值7幂函数f（x）=x的图象经过点，则实数=_8幂函数y=f（x）的图象经过点，则的值为_9已知幂函数f（x）经过点（2，8），则f（3）=_10函数的单调递减区间为ABCD11已知点在幂函数f（x）=（a1）xb的图象上，则函数f（x）是A定义域内的减函数B奇函数C偶函数D定义域内的增函数12已知点（a，）在幂函数f（x）=（a1）xb的图象上，则函数f（x）是A奇

6、函数B偶函数C定义域内的减函数D定义域内的增函数13已知幂函数f（x）=xa的图象经过函数g（x）=ax2（a0且a1）的图象所过的定点，则幂函数f（x）不具有的特性是A在定义域内有单调递减区间B图象过定点（1，1）C是奇函数D其定义域是R14若函数f（x）=（m+2）xa是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=loga（x+m）的单调增区间为A（2，+）B（1，+）C（1，+）D（2，+）15已知函数，则A存在x0R，使得f（x）f（x2）16已知幂函数的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，则整数m的值为_17幂函数f（x）=（t3t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）=_18

7、已知，求实数m的取值范围19已知幂函数f（x）=x（mN*）的图象经过点（1）试求m的值，并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f（1+a）f（3）的实数a的取值范围20已知幂函数f（x）=（m3m+1）x的图象与x轴和y轴都无交点（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（x+1）f（x2）21已知f（x）=（m2m1）x5m1是幂函数，且在区间（0，+）上单调递增（1）求m的值；（2）解不等式f（x2）1622已知幂函数f（x）=x（R），且（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数23（2018上海）已知2，1，1，2，3，若幂函数f（x）=x为奇函数，且在（

8、0，+）上递减，则=_123456101112131415ACDDBBABADBB1【答案】A2【答案】C【解析】设幂函数f（x）=x，其图象过点（4，），4=，解得=，f（x）=，f（）=2故选C学科.网3【答案】D【解析】幂函数f（x）=xn的图象经过点，可得3n=，解得n=，则f（2）=2，故选D4【答案】D5【答案】B【解析】幂函数y=f（x）是经过点，设幂函数为y=x，将点代入可得3=，得到，此时函数是（0，+）的减函数故选B6【答案】B【解析】幂函数f（x）=（m2m1）xm的图象与坐标轴无交点，可得m2m1=1，且m0，解得m=1，则函数f（x）=x1是奇函数，在定义域上不是减函

9、数，且无最值故选B7【答案】【解析】幂函数f（x）=xa的图象经过点（3，），（3）a=，解得a=，故答案为：8【答案】4【解析】根据题意，设幂函数f（x）=xa，幂函数y=f（x）的图象经过点，则有=4a，则a=1，则f（x）=x1，=（）1=4；故答案为：49【答案】27【解析】设f（x）=xn，由题意可得2n=8，解得n=3，则f（x）=x3，f（3）=33=27，故答案为：2710【答案】A【解析】由题意，得，解得x2，故选A11【答案】B【解析】点（a，）在幂函数f（x）=（a1）xb的图象上，a1=1，解得a=2，故2b=，解得b=3，f（x）=x3，函数f（x）是定义域上的奇函数

10、，且在每一个区间内是减函数故选B12【答案】A【解析】点在幂函数f（x）=（a1）xb的图象上，a1=1，解得a=2，又2b=，解得b=1，f（x）=x1，函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数故选A学科&网13【答案】D14【答案】B【解析】由题意得：m+2=1，解得：m=1，故f（x）=xa，将（2，4）代入函数的解析式得：2a=4，解得：a=2，故g（x）=loga（x+m）=log2（x1），令x10，解得：x1，故g（x）在（1，+）递增，故选B15【答案】B【解析】由函数，知，在A中，f（x）0恒成立，故A错误；在B中，x（0，+），f（x）0，故B正确；在C中，

11、x1，x20，+），使得0，故C错误；在D中，当x1=0时，不存在x20，+）使得f（x1）f（x2），故D不成立故选B16【答案】1【解析】为幂函数，m22m2=1，解得m=1或m=3；当m=1时，函数y=x3的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，当m=3时，函数y=x21的图象关于原点对称，与x轴、y轴有交点，综上整数m的值为1故答案为：117【答案】2【解析】函数f（x）=（t3t+1）x3t+1是幂函数，t3t+1=1，解得t=0或t=1；当t=0时，f（x）=x是奇函数，满足题意；当t=1时，f（x）=x4是偶函数，不满足题意；当t=1时，f（x）=x2是偶函数，不满足题意综上，f（x）=x；f（2）=2故答案为：218【答案】m3，119【答案】（1）m=1，f（x）=，x0，+）；（2）（1，9【解析】（1）幂函数f（x）的图象经过点，即m2+m=2，解得m=1或m=2，mN*，故m=1，故f（x）=，x0，+）；（2）f（x）在0，+）递增，由f（1+a）f（3），得，解得1a9，故a的范围是（1，920【答案】（1）f（x）=x4；（2）x|xf（x2）成立，学科&网只需|x+1|x2|，解得x，又f（x）的定义域为x|x0，所以不等式的解集为x|x4或xx10，则，f（x2）f（x1），函数f（x）在定义域上是增函数23【答案】1