专题2.2 对数函数-20届高中数学同步讲义人教版（必修1）

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1、一、对数1对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作_，其中a叫做对数的底数，N叫做真数（2）常用对数：通常我们将以_为底的对数叫做常用对数，并把记为lg N（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2718 28为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把记为ln N2对数与指数的关系当a0，且a1时，即3对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；（3）底数的对数等于1，即二、对数的运算1基本性质若，则（1）_；（2）_2对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）三、换底公式及公式的推广1对

2、数的换底公式【注】速记口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子2公式的推广（1）（其中a0且；b0且）；（2）（其中a0且；b0）；（3）（其中a0且；b0）；（4）（其中a0且；b0）；（5）（其中a，b，c均大于0且不等于1，d0）四、对数函数1对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_2对数函数的结构特征（1）对数符号前面的系数是1；（2）对数的底数是不等于1的正实数（常数）；（3）对数的真数仅有自变量x五、对数函数的图象与性质1一般地，对数函数的图象和性质如下表所示：图象定义域值域奇偶性非奇非偶函数过定点过定点，即时，单调

3、性在上是_函数在上是_函数函数值的变化情况当时，；当时，当时，；当时，【注】速记口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数只能大于0，等于1了可不行；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过（1，0）点2对数函数中的底数对其图象的影响在直线x=1的右侧，当a1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0a1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”学科#网六、反函数根据指数与对数的关系，将指数式（其中是自变量，且，是的函数，）化成对数式，即，于是对于任意一个，通过式子都有唯一一个与之对应，这样将看成自变量，是的函数，这时我们就说是函数的反函数由于习惯上将

4、看成自变量，而将看成因变量，因此，我们将中的，互换，写成，即对数函数是指数函数的反函数，它们的图象关于直线对称K知识参考答案：一、1（1）（2）10 二、1（1） （2） 2（1） （2） （3）四、1五、1减增K重点1对数，对数的运算性质，换底公式；2对数函数的概念、对数函数的图象与性质K难点1对数的运算性质；2对数型复合函数的性质及其应用K易错1对于对数运算，不仅要注意“真数大于0”这一隐含条件，还应准确掌握对数的运算法则，保证对数运算的每一步都是等价的；2关于对数函数常见的易错点有三个：（1）忽略对数函数定义域的限制；（2）对于字母为底数的对数函数不加讨论；（3）解有关对数函数的不等式时

5、，忽略真数大于0这一基本条件，使解集扩大1对数的概念解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系学科.网【例1】在对数式中，实数的取值范围应该是A1x1且x2Cx3D1x0，且a1）的复合函数，其值域的求解步骤如下：分解成y=logau，u=f（x）两个函数；求f（x）的定义域；求u的取值范围；利用y=logau的单调性求解【例8】讨论函数的单调性【答案】答案详见解析【解析】由3x22x10，得函数的定义域为x|x1或x1时，若x1，u=3x22x1为增函数，f（x）=lo

6、ga（3x22x1）为增函数若x，u=3x22x1为减函数，f（x）=loga（3x22x1）为减函数当0a1，则f（x）=loga（3x22x1）为减函数，若x，则f（x）=loga（3x22x1）为增函数【名师点睛】求复合函数单调性的具体步骤是：（1）求定义域；（2）拆分函数；（3）分别求y=f（u），u=（x）的单调性；（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性9K易错忽略真数大于0【例9】已知，求的值【错解】因为，所以，即，即，解得或所以或【错因分析】错解中，与对的取值范围要求是不同的，即求解过程不等价，因此，得出解后要代入原方程验证【正解】同错解，得到或由知，当时，此时无意义，所以，即

7、应舍去；当时，【名师点睛】求解有关对数恒等式或不等式的过程中，经常需要将对数符号“脱掉”，此时很容易忽略原式中对数的真数大于0这一隐性限制条件，从而导致求出的最终结果中产生增根或范围扩大，因此要求我们对于此类题，一定要将求出的结果代入原式中进行检验10K易错忽略对底数的讨论【例10】不等式的解集是_【错解】，原不等式等价于，解得x2不等式的解集为【错因分析】错解中的底数的值不确定，因此要分类讨论另外，求解时要保证真数大于0【名师点睛】解对数不等式时，要防止定义域扩大，途径有两种：一是不同解变形，最后一定要检验；二是解的过程中加上限制条件，如正解，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解不等

8、式组得到原不等式的解，这样得出的解就不用检验了1等于A1B2C5D62实数的值为A1B2C3D43已知函数f（x）=log2（3+x）+log2（3x），则f（1）=A1Blog26C3Dlog294若，则有Aa=2bBb=2aCa=4bDb=4a5设，则f（3）的值是A128B256C512D86log5+log53等于A0B1C1Dlog57若a=，b=，c=log23，则a，b，c大小关系是AabcBbacCbcaDcba8若a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则AbacBcabCacbDcb0D3abbcBbacCacbDbca20若正实数x，y满足log2（x+3y）=l

9、og4x2+log2（2y），则x+3y的最小值是A12B10C8D621对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是Algylgx=lgBlg（x+y）=lgx+lgyClgx3=3lgxDlgx=22设函数y=f（x）的图象与y=log2（x+a）的图象关于直线y=x对称，且f（2）+f（1）=2，则a=A3B1C2D423已知函数f（x）=ln（x22x+3），则f（x）的增区间为A（，1）B（3，1）C1，+）D1，1）24已知函数，则函数f（x）的减区间是A（，2）B（2，+）C（5，+）D（，1）25已知R上的奇函数f（x）满足当xb1，m=loga（logab），则m，n，l的大小关

10、系为AmlnBlnmCnlmDlmn27函数f（x）=loga（3ax）（a0且a1）在区间（a2，a）上单调递减，则a的取值范围为_28已知函数f（x）=a2x+3a（aR）的反函数为y=f1（x），则函数y=f1（x）的图象经过的定点的坐标为_29若函数f（x）=loga（x2ax+1）（a0且a1）没有最小值，则a的取值范围是_30（1）；（2）31求函数f（x）=log（x23）的单调区间32已知函数f（x）=lg（x+1）lg（1x）（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性33已知函数f（x）=loga（1+x）loga（1x），其中a0且a1（1）求函数f（x）

11、的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（）=2，求使f（x）0成立的x的集合34（2018天津）已知a=log2e，b=ln2，c=，则a，b，c的大小关系为AabcBbacCcbaDcab35（2018天津）已知a=log3，b=，c=，则a，b，c的大小关系为AabcBbacCcbaDcab36（2018新课标）设a=log0.20.3，b=log20.3，则Aa+bab0Baba+b0Ca+b0abDab0a+b37（2018上海）设常数aR，函数f（x）=1og2（x+a）若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=_38【2018年全国卷文】已知函数，则_1

12、23456789101617BCCCBAADAADC181920212223242526343536DDDBDBCCBDDB1【答案】B【解析】原式=2故选B2【答案】C【解析】=1+lg4+lg25=1+lg100=3故选C3【答案】C【解析】f（1）=log24+log22=2+1=3故选C4【答案】C【解析】，得，即a=4b故选C5【答案】B【解析】设log2x=t，则x=2t，所以f（t）=，即f（x）=则f（3）=故选B6【答案】A【解析】原式=log51=0故选A7【答案】A【解析】a=1，则ab1，b=0.43（0，1），c=log0.430，则cbb0，ln（ab）与0的大小关

13、系不确定，3ab1因此只有A正确故选A11【答案】（1，+）【解析】应该满足，即2+x1，解得x1，所以函数的定义域为（1，+）故答案为：（1，+）12【答案】y=10x【解析】函数y=lgx，可得x=10y，所以函数y=lgx的反函数是y=10x故答案为：y=10x学科&网13【答案】（0，e【解析】函数的定义域为：x|，解得0xe故答案为：（0，e14【答案】【解析】由2x=5y=m，得x=log2m，y=log5m，由=2，得，即logm2+logm5=2，logm10=2，m=故答案为：15【答案】116【答案】D【解析】由得：x（10，10），故函数f（x）的定义域为（10，10），

14、关于原点对称，又由f（x）=lg（10x）+lg（10+x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，而f（x）=lg（10+x）+lg（10x）=lg（100x2），y=100x2在（0，10）递减，y=lgx在（0，10）递增，故函数f（x）在（0，10）递减，故选D17【答案】C【解析】6a=2b，aln6=bln2，=1+=1+log23，1log232，2ca故选D20【答案】D【解析】log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），log2（x+3y）=log2x+log2（2y），即x+3y=2yx可得：x+3y=3yx（x+3y），当且仅当x=3y时取等令x+3y=t，（t0）

15、，则6tt2，解得：t6，即x+3y6故选D21【答案】B22【答案】D【解析】函数y=f（x）的图象与y=log2（x+a）的图象关于直线y=x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y=x对称的点为（y，x），把（y，x）代入y=log2（x+a），得x=log2（y+a），f（x）=2x+a，f（2）+f（1）=2，22+a2+a=2，解得a=4故选D23【答案】B【解析】由x22x+30，解得：3x0可得x5或x0，x0，f（x）为R上的奇函数，且xb1，m=loga（logab），0=loga1logablogaa=1，m=loga（logab）loga1=0，0

16、=2logabm，n，l的大小关系为lnm故选B27【答案】a|10且a1）在区间（a2，a）上单调递减，求得1a，故答案为：a|10，即x或x0时，y=logu是减函数，故函数y=log（x23）的单减区间是（，+），单增区间是（，）32【答案】（1）（1，1）；（2）f（x）为奇函数【解析】（1）要使原函数有意义，需满足，解得1x0，则log2（x+1）log2（1x），x+11x0，解得0x1，0b=ln2log2e=a，则a，b，c的大小关系cab，故选D35【答案】D【解析】a=log3，c=log35，且5，则b=，cab故选D学科￥网36【答案】B37【答案】7【解析】常数aR，函数f（x）=1og2（x+a）f（x）的反函数的图象经过点（3，1），函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），log2（1+a）=3，解得a=7故答案为：738【答案】【解析】，则，故答案为：2