专题2.1 随机抽样-20届高中数学同步讲义人教版(必修3)
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1、第二章 统计2.1 随机抽样1抽样的必要性在实际中要全面了解总体的情况,往往难以做到,一般也不可能或没有必要对每个个体逐一进行研究因为:一些总体中包含的个体数通常是大量的甚至是无限的如不可能对所有的灯泡进行试验,记录每一个灯泡的使用寿命;一些总体具有破坏性如不可能对所有的炮弹进行试射;一些调查具有破坏性如不可能对地里所有的种子是否发芽都挖出来检验;全面调查(普查)往往要浪费大量的人力、物力和财力所以常通过从总体中抽取一部分个体,根据对这一部分个体的观察研究结果,再去推断和估计总体情况,即用样本估计总体一一这是统计学的一个基本思想2相关概念回顾(1)总体:统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成
2、的集合称为总体(2)个体:构成总体的每一个元素叫做个体(3)样本:从总体中抽取若干个个体进行考察,这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本容量3简单随机抽样(1)概念一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个_地抽取n个个体作为样本(),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都_,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样这样抽取的样本,叫做简单随机样本(2)两种常用的简单随机抽样方法抽签法(抓阄法):一般地,抽签法就是把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本抽签法简单易行,当总
3、体中的个体数_时,使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易,这时,每个个体有均等的机会被抽中,从而能够保证样本的代表性随机数法:随机数法,即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样这里仅介绍随机数表法随机数表由数字0,1,2,9组成,并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的学=科网随机数表法简单易行,不论总体容量是多少都可以使用,它很好地解决了用抽签法当总体容量较多时制签难的问题但是当总体容量很大时,需要的样本容量也很大时,利用随机数法抽取样本仍不方便注意:为了保证所选数字的随机性,需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置(3)简单随机抽样的特征:有限性:简单随机抽样要求被抽
4、取的样本的总体个数是有限的,便于通过样本对总体进行分析逐一性:简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取,便于实践中操作不放回性:简单随机抽样是一种不放回抽样,便于进行有关的分析和计算等可能性:简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等,从而保证了抽样方法的公平性4系统抽样(1)概念在抽样中当总体个体数_时,可将总体分成_的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取_个体,得到所需的样本,这种抽样方法叫做系统抽样(2)步骤一般地,假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,可以按下列步骤进行系统抽样:先将总体的N个个体编号,有时可直接利用个体自身所带的号码,如学号、准考证号、门牌号等确定分段间
5、隔k,对编号进行分段当(n是样本容量)是整数时,取在第1段用简单随机抽样的方法确定第一个个体编号按照一定的规则抽取样本,通常是将加上间隔k得到第2个个体编号,再加k得到第3个个体编号,依次进行下去,直到获取整个样本注意:若不是整数,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除另外,系统抽样适用于总体容量较大,且个体之间无明显差异的情况5分层抽样一般地,在抽样时,将总体分成_,然后按照_,从各层独立地抽取一定数量的个体,将_取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的6三种抽样方法的区别和联系三种抽样方法的特点及
6、其适用范围如下表:学-科=网抽样方法共同点特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等从总体中逐个抽取样本容量较小系统抽样将总体平均分成若干部分,按事先确定的规则在各部分中抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体容量较大分层抽样将总体分成互不交叉的层,然后分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成K知识参考答案:3(1)不放回 相等 (2)不多 4(1)较多 均衡 一个5互不交叉的层 一定的比例 各层K重点简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的特点和一般步骤K难点正确理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别和联系,灵活应用三种抽样方法抽样
7、K易错容易混淆三种抽样方法的适用条件,从而不能选择合适的方法进行抽样一、简单随机抽样要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样,关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义,即简单随机抽样的四个特点:有限性、逐一性、不放回性、等可能性.(1)总体是数值指标的全体,例如,要考察某班男生的身高,则总体为该班全部男生的身高数据,而不是该班的男生(2)个体是总体的一个元素,因此构成总体的每一个数值指标都为个体(3)样本是总体的一部分,因此样本中所含个体的数量不能超过总体的数量,样本中个体的来源为总体中的个体1抽签法(1)对于抽签法,注意:号签的大小、形状要完全相同.抽签前需将号签搅拌均匀(2)抽签法的优点:抽签
8、法简单易行,当总体中的个体数不多时,使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易,这时,每个个体有均等的机会被抽到,从而能够保证样本的代表性(3)抽签法的缺点:当总体中的个体数较多时,制作号签的成本就会增加,使得抽签的成本增加;)号签很多时,把它们搅拌均匀就比较困难,很难保证每个个体人选样本的等可能性,从而产生坏样本(即代表性差的样本)的可能性增加2随机数表法(1)对于随机数表法,注意:抽样过程中选定的初始数和读数的方向是任意的.若用题中所给的编号,但编号位数不统一时,可在位数少的数前添加“0”来调整.读数时应结合编号特点进行读取,如:编号为两位,则两位、两位地读取;编号为三位,则三位、三位地读取(2
9、)随机数表的形成随机数表由数字0,1,2,9组成,并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的(随机数表不是唯一的,只要符合各个位置出现各个数字的可能性相同的要求,就可以构成随机数表常用的方法是通过随机数生成器,例如使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能,可以生成一张随机数表,通常根据实际需要和方便使用的原则,将几个数组合在一起,如5个数一组,然后通过随机数表抽取样本)(3)随机数表法的步骤编号将N个个体编号,这里所谓的编号,实际上是编数字号码例如:将100个个体编号成00,01,02,99,而不是编号成0,1,2,99此外,将起始号码选为00,而不是01,这样可使100个个体都可用两
10、位数字号码表表示,便于运用随机数表取数选定初始值(数)为了保证所选数字的随机性,在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置选号从选定的数字开始按照一定的方向读下去,得到的号码若不在编号中或已被选用,则跳过,直到选满n个为止确定样本按步骤选出的号码从总体中找出与其对应的个体,组成样本(4)随机数表法的优缺点优点:简单易行,不论总体容量是多少都可以使用,它很好地解决了用抽签法当总体容量较大时制签难的问题缺点:当总体容量很大,需要的样本容量也很大时,利用随机数表法抽取样本仍不方便【例1】某单位举办一场活动,共有50名志愿者参与了报名,现要从中随机抽出6人参加一项活动,请用抽签法进行抽样,并写出过程.
11、【答案】答案详见解析.【名师点睛】一个抽样试验能否用抽签法,关键看制作号签是否方便以及号签是否容易被搅拌均匀.(1)用随机数表法抽取样本时,任选一个数作为开始,读数的方向可以向左,也可以向右、向上或向下,因此根据同一个随机数表所抽取的样本并不是唯一的(2)由于随机数表中各数出现的机会是相等的,因此利用随机数表法抽取的样本保证了个体被抽到的可能性是相等的(3)若个体的编号是三位数,则从随机数表中选定的数字开始,每次连续读取三个数为一个号码(4)由于需要编号,如果总体中的个体数目大多,采用随机数表法进行抽样就显得不太方便【例2】为了适应新高考改革,尽快推行不分文理科教学,对比目前文理科学生考试情况
12、进行分析,决定从80名文科同学中抽取10人,从300名理科同学中抽取50人进行分析.由于本题涉及文科生和理科生的混合抽取,你能选择合适的方法设计抽样方案吗?试一试.【答案】答案详见解析.【解析】文科生抽样用抽签法,理科生抽样用随机数表法,抽样过程如下:(1)先抽取10名文科同学:第一步,将80名文科同学依次编号为1,2,3,80;第二步,将号码分别写在形状、大小均相同的纸片上,制成号签;第三步,把80个号签放入一个不透明的容器中,搅拌均匀,每次从中不放回地抽取一个号签,连续抽取10次;第四步,与号签上号码相对应的10名同学的考试情况就构成一个容量为10的样本.(2)再抽取50名理科同学:第一步
13、,将300名理科同学依次编号为001,002,300;第二步,拿出随机数表前先确定起始位置,并确定读数方向(可以向上、向下、向左或向右),然后每次读取三位,凡不在001300范围内的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读,依次下去,可以得到50个号码;第三步,这50个号码所对应的同学的考试情况就构成一个容量为50的样本.【名师点睛】利用随机数表法抽取个体时,关键是确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点,以哪个方向作为读数的方向.二、系统抽样解决系统抽样问题的关键步骤为:(1)分组的方法应依据抽取比例而定,即根据定义每组抽取一个样本.(2)起始编号的确定应用随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其
14、他编号便随之确定了【例3】某电视机厂每天生产1000台电视机,要求质检员每天抽取30台,检查其质量状况,请你设计一个调查方案【答案】答案详见解析.【解析】我们可采用系统抽样,方案如下:第一步,把一天生产的电视机分成30组, 由于的商是33,余数是10,所以每组有33台电视机,还剩10台,抽样间隔为33;第二步,用简单随机抽样的方法从总体中抽取10台电视机,不进行检验;第三步,将剩下的电视机进行编号,编号分别为0,1,2,989;第四步,从第一组(编号为0,1,2,3,32)的电视机中按照简单随机抽样的方法抽取1台电视机,比如说其编号为k;第五步,顺序地抽取编号分别为下面数字的电视机:k+33,
15、k+66,k+99,k+2933,这样总共抽取了30个样本,对这30个样本进行检验.【名师点睛】系统抽样不一定就是等距离的抽样,即系统抽样只要按照一定的规则在每段内抽出一个样本即可,样本与样本之间的间隔距离可以不相等三、分层抽样若总体中已经分成差异明显的几层,则适合用分层抽样法抽取样本.对于分层抽样中的比值问题,求解时,常用的技巧为:,总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.【例4】某校高一年级500名学生中,血型为O型的有200人,血型为B型的有125人,血型为AB型的有50人,血型为A型的有125人为了研究血型与色弱之间的关系,要从中抽取一个容量为20的样本,应如何抽样?请
16、写出抽样过程【答案】答案详见解析【解析】应采用分层抽样法,具体步骤如下:第一步,分层.按血型分为4层第二步,确定各层抽取的人数因为抽样比为,所以从血型为O型的人中抽取(人),从血型为B型的人中抽取(人),从血型为AB型的人中抽取(人),从血型为A型的人中抽取(人)第三步,按分层抽样抽取分别在4种血型的人中用简单随机抽样的方法抽取样本【名师点睛】在分层抽样中,确定抽样比是抽样的关键1对于简单随机抽样,下列说法中正确的为它要求被抽取样本的总体的个数有限,以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析;它是从总体中按排列顺序逐个地进行抽取;它是一种不放回抽样;它是一种等概率抽样,不仅每次从总体中抽取一个个体
17、时,各个个体被抽取的概率相等,而且在整个抽样过程中,各个个体被抽取的概率也相等,从而保证了这种方法抽样的公平性ABCD2某校期中考试后,为分析该校高二年级2000名学生的学习成绩,从中随机抽取了200名学生的成绩单,下面说法正确的是A2000名学生是总体B每个学生是个体C200名学生的成绩是一个个体D样本容量是2003总体由编号为00,01,02,48,49的50个个体组成,利用下面的随机数表选取8个个体,选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出的第4个个体的编号为附:第6行至第9列的随机数表:26 35 79 00 33 70 91 60 16 2
18、0 38 82 77 57 49 5032 11 49 19 73 06 49 16 76 77 87 33 99 74 67 3227 48 61 98 71 64 41 48 70 86 28 88 85 19 16 2074 77 01 11 16 30 24 04 29 79 79 91 96 83 51 25A3B16C38D494某年级文科班共有4个班级,每班各有40位学生(其中男生8人,女生32人)若从该年级文科生中以简单随机抽样抽出20人,则下列选项中正确的是A每班至少会有一人被抽中B抽出来的女生人数一定比男生人数多C已知小文是男生,小美是女生,则小文被抽中的概率小于小美被抽中
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