专题1.3.2 球的体积和表面积-20届高中数学同步讲义人教版(必修2)
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1、一、球的体积与表面积1球的体积 设球的半径为R,它的体积只与半径R有关,是以R为自变量的函数.事实上,如果球的半径为R,那么它的体积. 2球的表面积设球的半径为R,它的表面积由半径R唯一确定,即它的表面积S是以R为自变量的函数.事实上,如果球的半径为R,那么它的表面积 .二、球的截面1球的截面在解决球的相关计算问题中的作用(1)当截面过球心时,截面圆的半径即球的半径,此时球的截面就是球的大圆; (2)当截面不过球心时,截面圆的半径小于球的半径,此时球的截面就是球的小圆. 2球的截面的性质(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面; 学%科网(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足
2、关系式: .三、球的切、接问题(常见结论)(1)若正方体的棱长为,则正方体的内切球半径是;正方体的外接球半径是;与正方体所有棱相切的球的半径是(2)若长方体的长、宽、高分别为,则长方体的外接球半径是(3)若正四面体的棱长为,则正四面体的内切球半径是;正四面体的外接球半径是;与正四面体所有棱相切的球的半径是(4)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径(5)球与圆台的底面与侧面均相切,则球的直径等于圆台的高K知识参考答案:一、12K重点:球的体积和表面积.K难点:球的截面问题、球与几何体的切、接问题.K易错:空间能力想象不足、考虑不全出错等.1K重点球的体积与表
3、面积确定一个球的条件是球心和球的半径,已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积;反之,已知球的体积或表面积也可以求其半径. 若球的表面积膨胀为原来的倍,则膨胀后的球的体积为原来的A倍 B倍C倍 D倍【答案】C【解析】设球的半径为,则球的表面积为,球的体积为,膨胀后球的表面积为,球的半径为,膨胀后球的体积为,膨胀后球的体积变成了原来的倍,故选C.【名师点睛】本题是基础题,考查的是球的体积的计算,考查了计算能力.求解时,设出球的半径,求出膨胀后球的半径,即可得到体积比.2K难点球的截面问题当截面过球心时,截面圆的半径即球的半径,此时球的截面就是球的大圆;当截面不过球心时,截面圆的半径小于球的半径
4、,此时球的截面就是球的小圆.平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为,则此球的体积为ABCD【答案】B【技巧点拨】(1)解题时,利用平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为,求出球的半径,然后求解球的体积.(2)对于球的截面问题,注意:球心和截面圆心的连线垂直于截面;球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式:.学*科网3K难点球与几何体的切、接问题解决几何体的内切球问题:(1)找过切点和球心的截面;(2)体积法.解决几何体的外接球问题:(1)由球心和几何体抽象得出新几何体;(2)找过球心的截面.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体
5、积为A BC D【答案】D【归纳总结】球与几种特殊几何体的关系:(1)长方体内接于球,则球的直径是长方体的体对角线长;(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合,且半径之比为31;(3)直棱柱的外接球:找出直棱柱的外接圆柱,圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地,直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点;(4)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径;(5)球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高求解本题时,由三视图可知此空间几何体为三棱柱的切割体,相对于原三棱柱,只缺失了一个顶点,所以此几何体的外接球即为三棱柱外接球,由于底面为直角
6、三角形,所以该外接球可转化为长方体外接球,进而求出体积.4K易错问题考虑不全面出错已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12和16,则这两个截面圆间的距离为 .【错解】如图(1),设球的大圆为圆O,C,D分别为两截面圆的圆心,AB为经过点C,O,D的直径,由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.在RtCOE中,.在RtDOF中,.所以CD=OCOD=86=2,故这两个截面圆间的距离为2.【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准,考虑问题不全面而导致错误.事实上,两个平行截面既可以在球心的同侧,也可以在球心的两侧.1若两个球的表面积之比为14,则这两个球的体积之比为A12 B14C18
7、 D1162将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为A2B3C4D63某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为AB2CD44一个长方体共一顶点的三条棱长分别是,这个长方体的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是A12 B18C36 D65一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积是ABCD6圆柱形容器的内壁底面半径是10,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球,测得容器的水面下降了,则这个铁球的表面积为A BC D7表面积为的球的体积为_8若球的表面积为16,则与球心距离为的
8、平面截球所得的圆面面积为_.9在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a,求这个球的体积10如图是某几何体的三视图.(1)求该几何体外接球的体积;(2)求该几何体内切球的半径.11等体积的球与正方体,它们的表面积的大小关系是A BC D不能确定12一个球被两个平行平面截后所得几何体形如我国的一种民族打击乐器“鼓”,该“鼓”的三视图如图所示,则球的表面积为A BC D13已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若 则球的表面积为ABCD14如图,一几何体的正视图是高为的等腰三角形,它的俯视图是由三个等腰三角形组合成的边长为的正三角形,几何体的顶点均在球上,则
9、球的体积为A BC D15麻团又叫煎堆,呈球形,华北地区称麻团,是一种古老的中华传统特色油炸面食,寓意团圆.制作时以糯米粉团炸起,加上芝麻而制成,有些包麻茸、豆沙等馅料,有些没有.一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团,它们彼此相切,同时与长方体纸盒上、下底和侧面均相切,其俯视图如图所示,若长方体纸盒的表面积为576 ,则一个麻团的体积为_16(2018年高考新课标卷)设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为ABCD 17(2017年高考新课标卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为A B C D18
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