专题1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积-20届高中数学同步讲义人教版(必修2)
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1、一、棱柱、棱锥、棱台的表面积1棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积之 ,因此,我们可以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积.2棱柱、棱锥、棱台的表面积(1)侧面积:棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个 、 、 所组成的.侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积(即侧面积).由此可知,棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和.(2)表面积:棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有 和 展开后形成的一个平面图形,因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见,棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些
2、几何体的各个平面的面积之和,也可表示为: ,.3直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积(1)直棱柱的侧面积:把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后,得到的侧面展开图是一个矩形.学科#网如图(1)所示,则直棱柱的侧面面积为 (c为底面周长,h为侧棱长).(2)正棱锥的侧面积:正棱锥(底面是正多边形,顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形.如图(2)所示,则正棱锥的侧面面积为 (c为底面周长,h为斜高,即侧面等腰三角形底边上的高). (3)正棱台的侧面积:正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形.如图(3)所示,则正棱台的侧面面积为 (c,c分别为上、
3、下底面周长,h为斜高,即侧面等腰梯形的高).二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r,母线长为l)圆锥(底面半径为r,母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r,r,母线长为l)侧面展开图底面面积S底=_S底=r2S上底=r2,S下底=r2侧面面积S侧=2rlS侧=_S侧=l(r+r)表面积S表=2r(r+l)S表=r(r+l)S表=_三、柱体、椎体、台体的体积1柱体、椎体、台体的高(1)棱柱(圆柱)的高是指两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.圆柱的 即圆柱的高.(2)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足(垂线与
4、底面的交点)之间的距离.(3)棱台(圆台)的高是指两个 之间的距离.2柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体= (S为底面面积,h为高),V圆柱=r2h(r为底面半径,h为高)锥体V锥体=Sh(S为底面面积,h为高),V圆锥= (r为底面半径,h为高)台体(S、S分别为上、下底面面积,h为高),V圆台=h(r2+rr+r2)(r、r分别为上、下底面半径,h为高)四、组合体的表面积与体积求组合体的表面积的问题,首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应该怎样求,然后根据公式求出各个面的面积,最后相加或相减.求体积时也要先弄清组成,求出各简单几何体的体积,再相加或相减.K知识参考答案
5、:一、1和 2平行四边形 三角形 梯形 侧面 底面 3ch ch (c+c)h二、r2 rl (r2+r2+rl+rl)三、1母线 底面 2Sh r2hK重点:柱体、锥体、台体的表面积和体积.K难点:组合体的表面积和体积.K易错:由三视图还原几何体时出错,表面积计算不全致错,忽视题干条件致错等.1K重点柱体的表面积和体积(1)圆柱和直棱柱的侧面展开图都是矩形,解决其侧面积问题时,只需求出相应底面周长及高,再代入侧面积公式求解即可. (2)求斜棱柱的侧面积一般有两种方法:一是定义法;二是公式法.所谓定义法就是利用侧面积为各侧面的面积之和来求,公式法即利用平行四边形面积公式进行求解.已知矩形中,把
6、这个矩形分别以所在直线为轴旋转一周,所成几何体的侧面积分别记为,则与的比值等于A BC D【答案】C【名师点睛】旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用,多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理学科*网2K重点锥体的表面积和体积某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的表面积为_,体积为_. 【答案】 【解析】由三视图还原原几何体如图,由此可知该几何体为三棱锥,底面三角形为直角三角形,侧棱为高,由,可得,由,可得,该几何体的表面积为,则该三棱锥的体积为故答案为;【名师点睛】(1)本题考查由三视图还原几何体并求几何体的表面积、体积,求解的关键是由三视图还原原几何体
7、,是中档题(2)求解棱锥的表面积和体积时,注意棱锥的四个基本量:底面边长、高、斜高、侧棱,并注意高、斜高、底面边心距所组成的直角三角形的应用.3K重点台体的表面积和体积(1)求解正棱台的表面积和体积时,注意棱台的四个基本量:底面边长、高、斜高、侧棱,并注意两个直角梯形的应用.高、侧棱、上下底面外接圆半径所成的直角梯形;高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.学科网常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中去解决;二是把正棱台还原成正棱锥,利用正棱锥的有关知识来解决 (2)求解圆台的表面积和体积时,注意轴截面是等腰梯形的运用,求圆台的表面积关键在于求侧面积,“还台为锥”是解题的常用策略,利用
8、侧面展开图将空间问题平面化也是解决问题的重要途径.已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6,其侧面积等于两底面面积之和,则该正四棱台的高是A2BC3 D【答案】A【解析】如图【思路点拨】欲求棱台的高,根据题目中给出的侧面积和上、下底面面积的关系,可列等式求得侧面斜高,进而求出棱台的高4K难点组合体的表面积和体积(1)求组合体的表面积与体积,关键是弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的,然后由相应几何体的表面积或体积得出.需要注意,组合体的表面积,并不是简单几何体的表面积的和,因其接合部分并不裸露在表面.(2)组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积,其体积是各简单几
9、何体的体积之和(若是“挖去”,则是体积之差).某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A8 BC D4【答案】A【方法点睛】(1)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解. (2)需要注意:求组合体的表面积,并不是简单几何体的表面积的和,因其接合部分并不裸露在表面;求组合体的体积时,若所给定的几何体是组合体,不能直接利用公式求解,则常用等积法、分割法、补形法等进行求解.5K易错表面积计算不全致错由三视图还原几何体时要注意两点:一是图形的转化,在转化过程中注意图中各个数据的对应关系;二是特殊情况的处理,在求表面积时,要搞清几何体的特征,注意分割与拼补
10、的技巧,切不可漏掉某个面.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为A21+B18+C21D18【错解】B或C或D【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥后剩余的部分,B项计算三角形面积时出错;截取两个全等的小正三棱锥后剩余的部分,即除去了六个全等的等腰直角三角形,但C项忽略了几何体多了两个等边三角形面;D项计算三角形面积时出错,且计算时还少加了三棱锥的底面.学科*网1已知圆柱的侧面展示图是一个边长为2的正方形,那么这个圆柱的体积是A B C D2三角形中,以边所在直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积是A B C D3若某空间几何
11、体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是A BC D4下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积是ABCD5已知一个几何体的三视图如图所示,图中长方形的长为,宽为,圆半径为,则该几何体的体积和表面积分别为A, B,C, D,6正六棱柱的高为5 cm,最长的对角线为13 cm,则它的侧面积为_7如果一个正四面体与正方体的体积比是,则其表面积(各面面积之和)之比_8已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,高是3,求它的全面积9如图所示,正方体中,、分别是棱和的中点,过点、的截面将正方体分成两部分.(1)作出左上部分几何体的三视图;(2)求分正方体成两部分的几何体体积之比.10一个几何体的三视图如图所示,
12、则其表面积是A B C D11我国古代数学名著孙子算经中有如下问题:“今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺.问:须工几何?”意思是:“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为丈、下底为丈、高为丈,直棱柱的侧棱长为尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出立方尺,问:一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注:一丈等于十尺)A BC D12一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为,则A B C D13“降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态(经融化后)降水,未经蒸发、渗透、流失而水平面上积聚的深度,降水量以为单位为了测
13、量一次降雨的降水量,一个同学使用了如图所示的简易装置:倒置的圆锥雨后,用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示,则这一场雨的降水量为_ 14已知四棱锥PABCD的体积为,其三视图如图所示,其中正视图为等腰三角形,侧视图为直角三角形,俯视图是直角梯形(1)求正视图的面积;(2)求四棱锥PABCD的侧面积15如图,正方体的棱长为,连接,得到一个三棱锥求:(1)三棱锥的表面积与正方体表面积的比值;(2)三棱锥的体积16(2018年高考新课标I卷文)已知圆柱的上、下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为A BC D17(2018年浙江卷)某几何体的三视图如图
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