专题1.2 任意角的三角函数-20届高中数学同步讲义人教版（必修4）

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1、第一章 三角函数1.2任意角的三角函数1任意角的三角函数的定义（1）设角终边上任意一点P（原点除外）的坐标为（x，y），它与原点的距离为r，则sin =_，cos =_，tan =_（x0）（2）三角函数值在各象限内的符号上述符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦（3）利用单位圆定义三角函数若点P（x，y）为角的终边与单位圆的交点，如图，则sin =_，cos =_，tan =_（x0）2诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin（+2k）=_，cos（+2k）=_，tan（+2k）=_，其中kZ3三角函数线设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角的终边交于点P过点P作x轴的

2、垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线（或反向延长线）于T点，则有向线段MP，OM，AT分别叫作角的_、_、_各象限内的三角函数线如下：角所在的象限图形第一象限第二象限第三象限第四象限4同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2+cos2=1（2）商的关系：tan =（3）公式常见变形：sin2=1-cos2；cos2=1-sin2；sin =；cos =；sin =cos tan ；cos =；sin2=；cos2=K知识参考答案：1（1）， （3），2sin ，cos ，tan 3正弦线、余弦线、正切线K重点1理解任意角的正弦、余弦和正切的定义，并会利用定义求值；2结合单

3、位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号；3掌握握三角函数诱导公式一4掌握同角三角函数的基本关系式K难点1会使用三角函数线表示三角函数值，理解三角函数线的画法，掌握三角函数值的规律2能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明K易错三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P（x，y）在终边上的位置无关，只由角a的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关1对三角函数定义的理解（1）三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合（弧度制）到一个实数集合的对应；（2）三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围；（3）三角函数是比值，是一

4、个实数，这个实数的大小与点P（x，y）在终边上的位置无关，只由角a的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关【例1】已知角的终边上一点P（-，m）（m0），且sin =，求cos ，tan 的值【答案】当m=时，cos =-，tan =-；当m=-时，cos =-，tan =【例2】已知角的终边经过点（-8，-6），则cos 的值为ABCD【答案】C【解析】由题设知x=-8，y=-6，所以r=，所以cos =，故选C.【名师点睛】利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r若题目中已知角的终边在一条直线上，此

5、时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析学-科网2三角函数值的正负判断为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负【例3】确定下列各式的符号：（1）sin 103cos 220；（2）cos 6tan 6.【答案】（1）负号；（2）负号.【解析】（1）因为103、220分别是第二、第三象限的角，所以sin 1030，cos 2200，所以sin 103cos 2200，ta

6、n 60，所以cos 6tan 60.【名师点睛】准确记忆各三角函数值在各象限内的符号：3三角函数线（1）位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；（2）方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与a的终边（或其延长线）的交点；（3）正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值；（4）书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后【例4】角和角有相同的A正弦线B余弦线C正切线D不能确定【答案】C【解析】在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，它们的的正弦线及余弦线都相反，而正切线相等故选C【名师点睛】对三角函数定义

7、的考查有以下三种形式：（1）给定角的终边上一点，求某个三角函数值，直接利用定义即可；（2）给定角的某个三角函数值，求角的终边上一点的坐标，根据定义，列方程（组）求解；（3）给定角的终边所在直线，求三角函数值，在终边上取点，利用定义求解，当终边不定时，要分类讨论4同角三角函数的基本关系通过三角函数的定义探究同一个角a的正弦、余弦、正切值之间的关系，即同角三角函数的基本关系式，这些公式是三角函数化简、求值、证明的基础【例5】已知sin+cos=，（0，），则tan的值为A或BCD【答案】C【解析】sin+cos=，（0，），为钝角，结合sin2+cos2=1，sin=，cos=，则tan=，故选C

8、【名师点睛】（1）平方关系：sin2+cos2=1（2）商的关系：tan =（3）公式常见变形：sin2=1-cos2；cos2=1-sin2；sin =；cos =；sin =cos tan ；cos =；sin2=；cos2=5诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin（2k+）=sin （kZ）；cos（2k+）=cos （kZ）；tan（2k+）=tan （kZ）【例6】sin780=ABCD【答案】A【解析】sin780=sin（720+60）=sin60=，sin780=故选A【名师点睛】sin（+2k）=sin ，cos（+2k）=cos ，tan（+2k）=tan

9、，其中kZ1已知sin0，则的终边所在的象限是A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2若为第二象限的角，且tan=，则cos=ABCD3若角的终边经过点P（4，3），则cos=ABCD4已知sin，cos是方程3x22x+a=0的两根，则实数a的值为ABCD5若角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点（1，2），则tan的值为AB2CD6若角的终边与单位圆的交点为P（，），则tan=ABCD7如果角的终边经过点，那么tan的值是ABCD28已知角的终边经过点P（1，2），则sin=ABC2D9已知tan=1，则=A1B2C3D410已知角的终边过点P（t，3），且，则t的值是A

10、4B4C3D311已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点P（1，2），则tan的值为ABC2D12若tan=2，则=A5B6C7D713若角的终边落在直线x+y=0上，则sin的值为A1B1CD14已知角的终边过点（1，2），则sincos=ABCD15如果点P（sin，cos）位于第四象限，那么角所在的象限是A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限16若角终边经过点P（sin），则sin=ABCD17点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为ABCD18适合条件|sin|=sin的角是_19已知，x是第二、三象限角，则a的取值范围是_20

11、已知tan=，求：（1）的值；（2）2sincos+cos2的值21已知tan=，求的值22（1）已知cosb=，且b为第二象限角，求sinb的值；（2）已知tan=2，计算的值23已知tn=3，计算：（1）；（2）sincos24（2018全国）已知为第二象限的角，且tan=，则sin+cos=ABCD25（2018北京）在平面直角坐标系中，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边若tancos0，a=符合题意故选B5【答案】B【解析】由题意可得x=1，y=2，tan=2，故选B6【答案】D【解析】角的终边与单位圆的交点为P（，），则tan=故选D7【

12、答案】A【解析】角的终边经过点，则x=2，y=，tan=，故选A8【答案】B【解析】角的终边经过点P（1，2），则sin=，故选B9【答案】C【解析】由tan=1，得故选C12【答案】C【解析】tan=2，故选C学-科网13【答案】C【解析】角的终边落在直线x+y=0上，取x=1，得y=1，sin=取x=1，得y=1，sin=综上，sin=故选C14【答案】A【解析】角的终边过点（1，2），x=1，y=2，r=，则cos=，sin=，sincos=，故选A15【答案】B【解析】点P（sin，cos）位于第四象限，角所在的象限是第二象限故选B16【答案】C【解析】角终边经过点P（sin），即点P

13、（，），x=，y=，r=|OP|=1，则sin=y=，故选C17【答案】C【解析】点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以QOx=，所以Q（cos，sin），所以Q故选C20【答案】（1）；（2）【解析】（1）tan=，（2）由tan=，于是2sincos+cos2=21【答案】【解析】tan=，=22【答案】（1）；（2）【解析】（1）cosb=，且b为第二象限角，sinb=（2）已知tan=2，23【答案】（1）；（2）【解析】（1）tn=3，（2）tn=3，sincos=24【答案】C【解析】tan=，sin2+cos2=1，又为第二象限的角，sin0，cos0，联立，解得，则sin+cos=故选C25【答案】C【解析】A在AB段，正弦线小于余弦线，即cossin不成立，故A不满足条件B在CD段正切线最大，则cossintan，故B不满足条件C在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tancossin，D在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cossintan不满足tancossin故选C