专题2.2.3 向量数乘运算及其几何意义-20届高中数学同步讲义人教版(必修4)
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1、第二章 平面向量2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1向量的数乘一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做_,记作_它的长度和方向规定如下:(1);(2)时,的方向与的方向相同;当时,与的方向相反;时,温馨提示:(1)对于:从代数角度看,是实数,是向量,它们的积仍然是向量的条件是或从几何的角度看,对于长度来说,当时,意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍;当时,意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍(2)实数与向量可以求积,但不能进行加减运算,如,都无意义2向量数乘的运算律实数与向量的积满足下面的运算律:设、是实数,、是向量,则:结合律:_;第一分配律:_
2、;第二分配律:_3向量共线定理(1)内容:向量与非零向量共线,则有且只有一个实数,使_(2)向量共线定理的注意问题:定理的运用过程中要特别注意特别地,若,实数仍存在,但不唯一定理的实质是向量相等,应从大小和方向两个方面理解,借助于实数沟通了两个向量与的关系定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法要证三点共线或两直线平行,任取两点确定两个向量,看能否找到唯一的实数使向量相等即可学科-网K知识参考答案:1向量的数乘2;3K重点1掌握向量数乘的定义2了解向量数乘的运算律3理解向量数乘的几何意义K难点掌握向量共线定理K易错能熟练地进行实数与向量的积的运算,利用向量数乘的几何意义判断两向量共线,
3、能在深刻理解向量数乘运算的基础上综合运用1“姐妹式”巧解向量问题我们经常会遇到这样一些基本图形:两条相交直线及两条直线外的点(作为多条向量的起点)(如下例1中的图)解与此相关的向量分解、计算、证明等问题的核心往往是抓住交点分其所在线段(直线)被从同一起点出发的向量所截得两线段的比两次应用上述结论得到一对“姐妹式”,“殊途同归”后利用共线向量定理得到一个方程组,最后或解方程组或设而不求整体消元,则问题可迎刃而解【例1】如图,在AOB的边,上分别有,已知,连接,设它们交点为,若,试用,表示【答案】【名师点睛】“姐妹式”在处理两直线相交且与这两条直线外点有关的向量分解、计算、证明等问题时有着广泛的应
4、用2用向量证明三线共点与三点共线问题实数与向量的积的定义我们可以看作是数与数的积的推广,学习实数与向量的积及运算律时,应联想数与数的积的定义及运算律,加深理解,并注意到实数与向量的积仍是一个向量,化简向量代数式时可类比多项式的合并同类项【例2】如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N是BD上一点,BN=BD,求证:M,N,C三点共线【答案】证明详见解析【解析】设,=3,又,有公共点M,M,N,C三点共线学-科网【名师点睛】两向量共线是我们研究向量间一种比较重要的位置关系,应掌握常见的向量共线的判定方法用解释;用解释或与共线证明三点共线,可先在三点中选择起点和终点确定两个向量,看
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