专题1.6 三角函数模型的简单应用-20届高中数学同步讲义人教版（必修4）

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1、第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用1三角函数模型的简单应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测等方面发挥着十分重要的作用.教材中的例3、例4对太阳光照以及潮汐问题的研究为我们展示了怎样运用模型化的思想建立三角函数模型的方法和过程.2三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题,根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决.步骤可记为：审读题意建立三角函数式根据题意求出某点的三角函数值解决实际问题.这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后

2、写出具体的三角函数解析式.学-科网3三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.K重点函数解析式与图象的对应问题以及函数解析式的应用K难点三角函数建模的应用K易错不能正确理解各个参数的实际意义1函数解析式与图象的对应问题（1）已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.（2）函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判

3、断的依据.【例1】函数的图象是【名师点睛】该题也可直接利用余弦函数的定义域得到，显然只有选项A满足题意，直接得到正确的选项.所以该类问题抓住函数的“特性”很重要.【例2】函数ysin|x|的图象是【答案】B【解析】令f(x)sin|x|，xR，则f(x)sin|x|sin|x|f(x)，函数f(x)sin|x|为偶函数，排除A；又当x时，ysin|sin1，排除D；当x时，ysin|sin1，排除C，故选B【名师点睛】解决函数图象与解析式对应问题的策略（1）解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据

4、（2）利用图象确定函数yAsin(x)的解析式，实质就是确定其中的参数A，其中A由最值确定；由周期确定，而周期由特殊点求得；由点在图象上求得，确定时，注意它的不唯一性，一般是求|中最小的2函数解析式的应用（1）已知实际问题的函数解析式解决相关问题,题目一般很容易,只需将具体的值代入计算即可.（2）三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理意义的考查.【例3】如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b(A0，0,0)，则该函数的表达式为_【答案】y10sin(x)20【解析】由题意可知，函数的周期T2(146)16，.又，y10sin(x)20.2010sin(1

5、0)20，sin()0，k，kZ.又00，0，|0,0,00,0,x0,4)的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP.求A,的值和M,P两点间的距离.6电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I=Asin(t+)(A0,0,00,0,|)在一个周期内的图象如图所示.（1）求函数f(x)的解析式;（2）求方程f(x)lg x=0的解的个数.13在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式dAsin(t)h（1）若从10月10日0：

6、00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系（2）10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3 m?14（2017年高考新课标卷文科）函数的部分图象大致为15（2016年高考浙江卷文科）函数y=sin x2的图象是ABCD12346789101415ACDAADADBDD1【答案】A【解析】3月份价格达到最高为9千元，7月份价格达到最低为5千元，当x=3时，函数有最大值为9；当x=7时，函数有最小值5，解得函数的周期T=2（73）=8，f（x）=2sin（x+）+7，当x

7、=3时，函数有最大值，即，结合，取k=0，得，f（x）的解析式为f（x）=2sin（x）+7（1x12，xN+）故选A2【答案】C【解析】本题主要考查函数的图象与性质.由函数的部分图象可知,函数是偶函数,故排除B;当时,故排除D;当x=1时,对于A选项,=,故排除A,因此选C3【答案】D【解析】本题主要考查三角函数模型的简单应用.由题意可知，单摆来回摆动一次所需的时间为三角函数的周期，故选D.5【解析】设T为函数y=Asin x的周期,由题意得,A=2=3,又T=,=.y=2sinx.当x=4时,y=2sin=3,M(4,3).又点P坐标为(8,0),P,M两点间的距离|MP|=5(km).【

8、名师点睛】由最高点得到A值,结合函数图象可得周期T,进而求得,则M的坐标易得,利用两点间的距离公式可得M,P的距离.6【答案】A【解析】由图象知A=10,T=,=100,I=10sin(100t+).又(,10)在图象上,100+=+2k,kZ.又0,=,I=10sin(100t+),当t=s时,I=5A,故选A7【答案】D【解析】3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，当x=3时，函数有最大值为9；当x=7时，函数有最小值5，A=2，B=7，函数的周期T=2（73）=8，由T=，得=，当x=3时，函数有最大值，3+=+2k，即=+2k，|0，0，0，2），由题意可知：A=50，B=1

9、1050=60，T=21，=，即f（t）=50sin（t+）+60，又f（0）=110100=10，即sin=1，故=，f（t）=50sin（t+）+60，f（7）=50sin（7+）+60=85故选B11【解析】（1）当时，当白昼时间最长时，取得最大值，即，此时，即6月20日(闰年除外) 白昼时间最长；当，即时，取得最小值，也就是12月20日白昼最短.（2）令，即，此时，由于，所以在波士顿一年中有243天的白昼时间超过10.5小时.【名师点睛】本题考查了三角函数的最值以及不等式的实际应用问题.在解三角不等式时一定注意变量的范围，可以借助于图象来解决.12【解析】（1）由题图,知A=2,由函数

10、图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin =,又|,所以=,易知点(,0)是五点作图法中的第五点,所以+=2,所以=2.因此所求函数的解析式为f(x)=2sin(2x+).（2）在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图.因为f(x)的最大值为2,所以令lg x=2,得x=100,令+k100,且+30+100,所以在区间(0,100内有31个形如+k,+k(kZ,0k30)的区间. 在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在,100上有231=62(个)交点.另外,两函数的图象在(0,)上还有一个交点,所以方程f(x)lg x

11、=0共有63个实数解.13【解析】（1）依题意知T12，故，h12.2，A1612.23.8，所以d3.8sin12.2又因为t4时，d16，所以sin1，所以，所以d3.8sin12.2（2）t17时，d3.8sin12.23.8sin12.215.5(m)（3）令3.8sin12.210.3，有sin，因此2kt2k(kZ)，所以2kt2k2，kZ，所以12k8t12k12令k0，得t(8,12)；令k1，得t(20,24)故这一天共有8 h水深低于10.3 m15【答案】D【解析】因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称，排除A、C选项；当，即时，排除B选项，故选D.【方法点睛】给定函数的解析式识别图象，一般从五个方面排除、筛选错误或正确的选项：（1）从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的周期性，判断函数的循环往复；（5）从特殊点出发，排除不符合要求的选项.