专题1.1 任意角和弧度制-20届高中数学同步讲义人教版（必修4）

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1、第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制1任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条_绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形我们规定：按_方向旋转形成的角叫做正角，按_方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_（2）象限角：角的顶点与_重合,角的始边与x轴的_重合,那么角的终边在第几象限,就认为这个角是第几象限角具体表示如下：象限角角的表示第一象限的角|k360k360+90,kZ第二象限的角|k360+90k360+180,kZ第三象限的角|k360+180k360+270,kZ第四象限的角|k36090k360,kZ（3）轴线角：若角的终边在坐标轴上,就认为

2、这个角不属于任何一个象限具体表示如下：轴线角角的表示终边在x轴非负半轴上的角|=2k,kZ终边在x轴非正半轴上的角|=(2k1),kZ终边在y轴非负半轴上的角|=2k+2,kZ终边在y轴非正半轴上的角|=2k2,kZ终边在x轴上的角|=k,kZ终边在y轴上的角|=k+2,kZ终边在坐标轴上的角|=k2,kZ（4）终边相同的角：所有与角终边相同的角连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ=|=+2k,kZ2弧度制（1）定义：把长度等于_的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作_,这种用弧度作单位来度量角的单位制叫作弧度制（2）角的弧度数公式：|=(弧长用l表示)（3）角度与弧度的换算：1=

3、_ rad;1 rad=_（4）弧长公式：弧长l=_学=科网（5）扇形面积公式：S=_K知识参考答案：1（1）射线 逆时针 顺时针 零角（2）原点 非负半轴 2（1）半径 1 rad （3） （4）|r （5）lr=|r2 K重点1理解并掌握正角、负角、零角的概念；2掌握终边相同的角的表示方法及判定方法；3了解弧度制，能进行弧度与角度的互化；4由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数K难点1把终边相同的角用集合表示出来；2可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制；3掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算K易错注意从六十进制与十进制区别角度制与

4、弧度制1任意角角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形角的表示：如图，（1）始边：射线的起始位置OA；（2）终边：射线的终止位置OB；（3）顶点：射线的端点O；（4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”【例1】自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是_度【答案】540【解析】因为大链轮转过一周时，小链轮转36齿而小链轮有24齿，故小链轮转周，一周为360，而大链轮和小链轮转动的方向相反，故小链轮转过的角度为360=540，故答案为：540【名师点睛】（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向（2）为了简单起见

5、，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记成“”（3）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；但当角的始边相同时，若终边也相同，则角不一定相等2角的分类在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向一一顺时针方向和逆时针方向习惯上规定：名称定义图形正角一条射线按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角【例2】时针走过2时40分，则分针转过的角度是A80B80C960D960【答案】D【解析】4060=，360=240，由于时针都是顺时针旋转，时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为236

6、0240=960，故选D【名师点睛】（1）正确理解正角、负角、零角的定义，关键是抓住角的终边的位置是由角的始边所对应的射线按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转还是没有旋转得到的（2）高中阶段所说的角实际上是初中所学概念“由一点出发的两条射线组成的图形叫做角”的推广对于角的形成过程，既要知道旋转量又要知道旋转方向学科网（3）角的概念推广后，角度的范国不再限于0360（4）正常情况下，如果果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角3象限角、轴线角、终边相同的角（1）在平面直角坐标系中，如果角的顶点在在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，便称此角为第几

7、象限角（2）轴线角：若角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限（3）终边相同的角：所有与角终边相同的角连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ=|=+2k,kZ（4）确定角（nN）终边所在象限的方法：已知角终边所在的象限，确定（nN）终边所在象限的常用方法有以下两种：一是分类讨论法利用已知条件写出的范围（用k表示），由此确定的范围，然后对k进行分类讨论，从而确定所在象限二是几何法先把各象限均分为n等份，再从x轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四，一、二、三、四，则原来是第几象限角，标号为几的区域即终边所在的区域【例3】已知锐角，那么2是A小于180的正角

8、B第一象限角C第二象限角D第一或二象限角【答案】A【解析】锐角，090，02180，故选A【例4】与终边相同的角的集合是_4弧度制与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度（1）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系（2）如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是即的值就是弧长中有多少个半径这里，的正负由角的终边的旋转方向决定（3）角度与弧度的换算：1= rad0.01745 rad，1 rad=()57.3

9、0=5718特别地，弧度，弧度【例5】300化为弧度是ABCD【答案】B【解析】300= rad= rad，故选B【名师点睛】（1）把弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，但把度()作为单位表示角时，度()一定不能省略；（2）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零；（3）在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用（4）特殊角的度数与弧度数的对应表：度030456090120135150180270360弧度05弧长及扇形面积公式（1）弧长公式：弧长l=|r （2）扇形面积公式：S=lr=|r2【例6】已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是ABCD【答案

10、】C【解析】因为扇形面积为，半径是1，S=lr，所以扇形的弧长为，因为l=|r ，所以扇形的圆心角为故选C【名师点睛】在应用弧长公式l=|r 及扇形面积公式S=lr时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果已知角是以“度”为单位的，则必须先把它化成以“弧度”为单位后再代入计算1下列角中，终边与123相同的角是A237B123C483D4832若=835，则角的终边在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3在0到2范围内，与角终边相同的角是ABCD4有小于360的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是A90B180C270D90，180或2705手表时针走过1小时，时针

11、转过的角度A60B60C30D306经过2小时，钟表上的时针旋转了A60B60C30D3072018的终边在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限845=ABCD9150的弧度数是ABCD10半径为 cm，圆心角为150的扇形的弧长为ABCD11已知集合|2k+2k+，kZ，则角的终边落在阴影处（包括边界）的区域是ABCD12下列说法中正确的是A120角与420角的终边相同B若是锐角则2是第二象限的角C240角与480角都是第三象限的角D60角与420角的终边关于x轴对称13下列命题中正确的是A终边在x轴负半轴上的角是零角B第二象限角一定是钝角C第四象限角一定是负角D若=+k360（kZ），

12、则与终边相同14若角满足=45+k180，kZ，则角的终边落在A第一或第二象限B第一或第三象限C第二或第四象限D第三或第四象限15若一段圆弧的长度等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆心角弧度为ABCD16的角化为角度制的结果为_，135的角化为弧度制的结果为_17你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是_18如图，已知扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，则扇形的圆心角（02）的弧度数是_19已知角=390（1）角的终边在第几象限；（2）写出与角终边相同的角的集合；（3）在360720范围内，写出与终边相同的角20已知角的终边在直线y=x

13、上（1）写出角的集合S；（2）写出S中适合不等式360360的元素21已知=1090（1）把写成+k360（kZ，0360）的形式，并指出它是第几象限角（2）写出与终边相同的角构成的集合S，并把S中适合不等式360360的元素写出来22已知=（1）写出所有与终边相同的角；（2）写出在（4，2）内与终边相同的角；（3）若角与终边相同，则是第几象限的角？23已知=1690，（1）把表示成2k+的形式（kZ，0，2）（2）求，使与的终边相同，且（4，2）12345678910CCCDDBCBAD1112131415BDDBC1【答案】C【解析】终边与123相同的角的集合为|=123+k360，kZ取

14、k=1，得=483故选C2【答案】C【解析】因为835=2360115，由角的定义得115的终边在第三象限，所以角的终边在第三象限，故选C3【答案】C【解析】与角终边相同的角是2k+（），kZ令k=1，可得与角终边相同的角是，故选C4【答案】D【解析】设这个角为，则5=k360+，kZ，解得=k90，又0360，=90，180或270故选D5【答案】D【解析】由于时针顺时针旋转，故时针转过的角度为负数360=30，故选D6【答案】B【解析】钟表上的时针旋转一周是360，其中每小时旋转=30，所以经过2小时应旋转60故选B9【答案】A【解析】1=rad，150=故选A10【答案】D【解析】150

15、=，所以扇形的弧长l=（cm）故选D11【答案】B【解析】对于集合A=|2k+2k+，kZ，当k=0时，表示B=|；当kZ，表示与集合B终边相同的角，故选B学-科网12【答案】D【解析】A，420=360+60，420与60角的终边相同，A不正确；B，若是锐角，则090，02180则2不一定是第二象限的角，B不正确；C，480=360+120，480与120角的终边相同，是第二象限的角，C不正确；D，420=36060，420与60角的终边相同，60角与420角的终边关于x轴对称，D正确故选D13【答案】D【解析】A，终边在x轴负半轴上的角是零角，例如180，不是零角，所以A不正确；B，第二象

16、限角不一定是钝角，例如：460是第二象限角，但是不是钝角，所以B不正确；C，第四象限角不一定是负角，也可以是正角，例如：300是第四象限角，是正角，所以C不正确；D，若=+k360（kZ），则与终边相同，满足终边相同角的表示方法，正确故选D14【答案】B【解析】=45+k180，kZ；当k为偶数时，为第一象限角，特别地，如当k=0时，=45；当k为奇数时，为第三象限角，特别地，如当k=1时，=225角的终边落在第一或第三象限故选B15【答案】C【解析】不妨设等边ABC的外接圆的半径为2，如图，取BC的中点D，连接OD，OC，则OCB=30由垂径定理的推论可知，ODBC，在RtOCD中，OD=O

17、C=1，CD=，边长BC=2设该圆弧所对圆心角的弧度数为，则由弧长公式可得2=2，=故选C16【答案】300；【解析】=300；135=135故答案为：300；17【答案】4【解析】由于经过2分钟，秒针转过2圈，一个周角为2，又由顺时针旋转得到的角是负角，故秒针转过的角的弧度数是4，故答案为：4学-科网18【答案】【解析】设半径为r，由题意可得：2r+r=10，=4，02化为2217+8=0解得=故答案为：19【解析】（1）390=360+30，30是第一象限角，角的终边在第一象限；（2）所有和角终边相同的角的集合为|=k360+30，kZ；（3）=k360+30，当k=1时，=330，当k=

18、0时，=30，当k=1时，=390，在360720范围内，与终边相同的角是330，30，39020【解析】（1）直线y=x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0360范围内终边在直线y=x上的角有两个：135，315因此，终边在直线y=x上的角的集合S=|=135+k360，kZ|=315+k360，kZ=|=135+2k180，kZ|=135+（2k+1）180，kZ=|=135+n180，nZ（2）由于360360，即360135+n180360，nZ解得n，nZ所以n=2，1，0，1所以集合S中适合不等式360360的元素为：1352180=225；1351180=45；135+0180=135；135+1180=31522【解析】（1）所有与终边相同的角可表示为|=2k+，kZ（2）由（1）令42k+2（kZ），则有2k1又kZ，取k=2，1，0故在（4，2）内与终边相同的角是、（3）由（1）有=2k+（kZ），则=k+（kZ），当k为偶数时，在第一象限，当k为奇数时，在第三象限是第一、三象限的角