2020年高考理科数学:《平面向量》题型归纳与训练
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1、2020年高考理科数学:平面向量题型归纳与训练【题型归纳】题型一 平面向量的线性运算例1:记maxx,yx,xyy,xy,minx,yy,xyx,xb0)的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A.B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若OP=mOA+nOB(m,nR),且mn=29,则该双曲线的渐近线为( )Ay=34x By=24x Cy=12x Dy=13x【答案】B【解析】由题意可知A(c,bca),B(c,-bca),代入OP=mOA+nOB,得P(m+n)c,(m-n)bca),代入双曲线方程中,整理的4e2mn=1;又因为mn=29,可得e=324,ba=
2、e2-1=24,所以该双曲线的渐近线为y=24x,故B为正确答案.【易错点】A、B、P三点坐标的确定,离心率的概念。【思维点拨】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性.题型三 平面向量数量积的概念与计算例1.如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则ADDB( )A.3 B.-3 C.3 D.-3【答案】 D【解析】根据正六边形性质,有ADB30,于是向量AD与DB所成角为150;且AD=2,|DB|=3,所以ADDB=|AD|DBcos15023-32=-3,选D【易错点】正六边形的性质及平面向量的加减法运算法则的应用;【思维点拨】利用定义求两个非零向量数量积,关键要搞清向量
3、的数量积和模,尤其在求向量夹角时,要判断其起点是否共点例2.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinC2=63,a=b=3,点P是边AB上的一个三等分点,则CPCB+CPCA=( )A.0 B.6 C.9 D.12【答案】 B【解析】过点C作COAB,垂足为O如图所示, C0,3.,sinC2=63,cosC2=1-sin2C2=33,CO=3.AO=OB=33-32=6.取点P靠近点B的三等分点则P63,0.CPCB+CPCA=CP2CO=263,-30,-3=6同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6CPCB+CPCA=6【易错点】坐标系的建立,点坐标的确定;【思维点拨】用坐
4、标法求平面向量数量积可以简化解题过程,坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键例3.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径, BF=2FO,则FDFE的值是( )A-34 B-89 C-14 D-49【答案】 B【解析】BF=2FO,r=1,FO=13,FDFE=FO+ODFO+OE=FO2+FOOE+OD+ODOE=132+0-1=-89.故选B.【易错点】平面向量线性运算性质的应用,共线性质的应用;【思维点拨】利用线性运算将待求量转化到利用B.O.C,D.O.E共线的向量表示,利用同向或是反向解决问题;题型四 平面向量的夹角与模的计算例1.若非零向量a,b满足|a|22
5、3|b|,且(ab)(3a+2b),则a与b的夹角为()A.4B. 2C. 34D【答案】 A【解析】设bx,a,b,则a223x,ab=223x2cos. (ab)(3a2b),(ab)(3a2b)0,3a2+2ab3ab2b20,即389x2223x2cos2x20, 223cos=23,cos=22,0,=4.故选A.【易错点】垂直关系的转化,比例关系的应用,夹角的范围;【思维点拨】利用垂直得出a,b的等式关系,借助长度关系建立关于夹角余弦值方程即可解决;题型五 平面向量中的范围、最值问题例1.在边长为2的等边三角形ABC中,D是AB的中点,E为线段AC上一动点,则EBED的取值范围为
6、【答案】见解析;【解析】由题意可得,AE与AB的夹角是60,D是AB的中点,设AE=x,EBED=AB-AEAD-AE=ABAD-AB+ADAE+|AE|2 =2|AD|2-3ADAE+AE2=2-32x+x2;由于E为线段AC上的一动点,故0x2,令f(x)= 2-32x+x2=x-342+2316;当x=34时,f(x)min=2316;当x=2时, f(x)max=3,EBED的取值范围为2316,3)【易错点】线性转化,函数关系的构造,取值范围的确定;【思维点拨】将EBED用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性.例2.已知向量a,b,c满足: a=4,b=22,
7、 a与b的夹角为4, c-ac-b=-1,则|c-a|的最大值为( )A.2+12 B. 2+22 C. 2+12 D. 2+1【答案】 D【解析】设OA=a,OB=b,OC=c;以OA所在直线为x,O为坐标原点建立空间直角坐标系,a=4,b=22,a与b的夹角为4,则A(4,0),B(2,2),设C(x,y),c-ac-b=-1,x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心,以1为半径的圆,|c-a|表示点AC的距离,即圆上的点与点A(4,0)的距离;圆心到B的距离为:(4-3)2+(0-1)2=2, |c-a|的最大值为2+1,故选:D【易错点】题
8、干条件的转化,几何意义的应用;【思维点拨】夹角已知向量模已知的情况下,即可将线性运算转化为坐标运算,将问题具体化.例3. 已知向量OA与OB的夹角为,OA=2,OB=1,OP=tOA,OG=1-tOB,|PQ|在t0时取得最小值,当0t015时,夹角的取值范围为( )A.(0,3) B. (3,2) C. (2,23) D. (0,23)【答案】 D【解析】由题意知, OAOB=21cos=2cos,PQ=OQ-OP=1-tOB-tOA;PQ2=1-t2OB2+t2OA2-2t1-tOAOB=1-t2+4t2-4t(1-t)cos; 5+4cost2+-2-4cost+1;由二次函数图像及其性
9、质知,当上式取得最小值时, t0=1+2cos5+4cos.由题意可得,01+2cos5+4cos15,求得-12cos0,所以2cos23,故应选C.【易错点】转化方向的确定,函数关系的建立;【思维点拨】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解.例4.已知a=,2,b=(-3,5),且a与b的夹角为锐角,则的取值范围是 【答案】 0,且a与b不共线同向,由ab0-3+100,解得103,当向量a与b共线时,得5=-6,得=-65,因此的取值范围是0且cos1,而三角形内角为锐角,则cos0题型六 平面向量在三角函数中的
10、应用例1.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(22,-22),nsinx,cos x;x0,2.若mn,求tanx的值;若m与n的夹角为3,求x的值.【答案】 见解析;【解析】m=(22,-22),nsinx,cos x,mn.mn=22sinx-22cos x=0,即sinxcosx,tanx=sinxcosx=1.由题意知,m222+-222=1,nsinx2+cosx21,mn=22sinx-22cos x=sin(x-4).而mn|m|n|cosm,ncos312.sin(x-4)12,又x0,2,x-4-4,4,x-4=6,x=512.【易错点】运算出错,角度范围不明确;【思维点
11、拨】利用平面向量坐标运算性质及垂直关系建立等式即可得出结果。【巩固训练】题型一 平面向量的线性运算1.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD12AB,BE23BC.若DE1AB+2AC(1,2为实数),则1+2的值为_【答案】:12【解析】:DEDB+BE=12AB+23BC=12AB+23AC-AB=23AC-16AB;又DE1AB+2AC,1=-16,2=23,1+2=12.2.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12AB+AC,则AB与AC的夹角为_【答案】:90【解析】:由AO=12AB+AC可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以BAC=9
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