2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练
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1、2020年高考理科数学直线与圆题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线和.试确定、的值,使:(1)与相交于点;(2);(3),且在轴上的截距为1.【答案】(1),.(2),时或,时,.(3),【解析】(1)由题意得,解得,.(2)当时,显然不平行于;当时,由,得或.即,时或,时,.(3)当且仅当,即时,.又,.即,时,且在轴上的截距为1.【易错点】忽略对的情况的讨论【思维点拨】遇到直线类题型,首先要注意特殊情况如斜率不存在时或时,并且对于直线平行和垂直时与和间的关系要熟练记忆。例2如图,设一直线过点(1,1),它被两平行直线l1:x2y10,l2:x2y30所截
2、的线段的中点在直线l3:xy10上,求其方程【答案】.【解析】与、平行且距离相等的直线方程为.设所求直线方程为,即.又直线过,.解.所求直线方程为.【易错点】求错与、平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到、平行且距离相等的直线方程,再利用这条直线求出和第三条支线的交点,从而求解本题.题型二 圆的方程(对称问题、圆的几何性质运用)例1已知实数、满足方程.(1)求的最大值和最小值;(2)求的最大值和最小值【答案】(1)的最大值为,最小值为.(2)的最大值为,最小值为.【解析】(1)原方程化为,表示以点为圆心,以为半径的圆设,即,当直线与圆相切时,斜率取最大值和最小值,此时,解得.故
3、的最大值为,最小值为. (2)设,即,当与圆相切时,纵截距取得最大值和最小值,此时,即.故的最大值为,最小值为.【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义,在利用题中的条件解决问题。例2已知点,为圆上一动点,当点在圆上运动时,的中点的轨迹方程是.【答案】.【解析】设点为所求轨迹上任意一点,.因为M为PQ的中点,所以即又因为点在圆上,所以,故所求的轨迹方程为.【易错点】中点的错误应用【思维点拨】求出中点横纵坐标的方程及求出所求的直线题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系例1在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y-3)2=2,点A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆
4、C于P,Q两点,则线段PQ长的取值范围是.【答案】PQ.【解析】设PCA=,所以PQ=2sin .又cos =,AC3,+),所以cos ,所以cos2,sin2=1-cos2,所以sin ,所以PQ.【易错点】直接去求线段的长度【思维点拨】转化思想,把要求的线段长度转化为角度的关系,从而解决问题.例2已知圆(1)若圆的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆外一点向该圆引一条切线,切点为为坐标原点,且有求使得取得最小值时点的坐标 【答案】(1),或.(2)【解析】(1)将圆配方得.当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为 ,由,解得,得.当直线在两坐标轴上的截距不为零时,
5、设直线方程为,由,得,. 直线方程为,或. (2)由,得,即点在直线上 当取最小值时,即取得最小值,直线,直线的方程为.得点的坐标为.【易错点】没有分类讨论【思维点拨】考查用点斜式、斜截式求直线的方法,利用分类讨论思想来解决问题题型四 定点定值轨迹问题例1已知tR,圆C:x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0.(1)若圆C的圆心在直线x-y+2=0上,求圆C的方程.(2)圆C是否过定点?如果过定点,求出定点的坐标;如果不过定点,请说明理由.【答案】(1)圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.(2)过定点,定点坐标为【解析】(1)由原方程配方得(x-t)
6、2+(y-t2)2=t4+t2-4t+4,其圆心为C(t,t2).依题意知t-t2+2=0,所以t=-1或2.即圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.(2)整理圆C的方程为(x2+y2-4)+(-2x+4)t+(-2y)t2=0,令所以圆C过定点(2,0).【易错点】漏解【思维点拨】判定圆是否过定点,或是求圆所过定点坐标的问题,可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程,结合恒等式的关系,再构造关于x,y的方程组求该点的坐标.若方程组有解,则说明圆过定点,否则圆不过定点.例2如图,已知圆C:x2+(y-3)2=4,一动直线l过点A(-1,0)与圆C相交于P,
7、Q两点,M是PQ的中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于点N.(1)求证:当l与m垂直时,l必过圆心C.(2)当PQ=2时,求直线l的方程.(3)探索是否与直线l的倾斜角有关?若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.【答案】(1)见解析(2)x=-1或4x-3y+4=0.(3)与直线l的倾斜角无关,且=-5.【解析】(1)因为l与m垂直,且km=-,所以kl=3.又kAC=3,所以当l与m垂直时,l的方程为y=3(x+1),l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-1,符合题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.因为PQ=2 ,所以CM=
8、1,则由CM=1,得k=,所以直线l:4x-3y+4=0,从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.(3) 因为CMMN,所以=(+)=+=.当l与x轴垂直时,易得N,则=.又=(1,3),所以=-5;当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),则由得N,则=,所以=+=-5.综上,与直线l的倾斜角无关,且=-5.【易错点】忽略对斜率不存在情况的讨论【思维点拨】一般地,涉及到圆的切线或考虑其弦长问题时,若需要求直线的方程,则务必要全面考虑问题,即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况.【巩固训练】题型一直线方程、两直线的位置关系1.已知直线l1:ax2y60和直线l2:x(a
9、1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)l1l2时,求a的值【答案】(1)当a1时,l1l2,否则l1与l2不平行(2)a【解析】(1)由A1B2A2B10,得a(a1)120,由A1C2A2C10,得a(a21)160,l1l2,故当a1时,l1l2,否则l1与l2不平行(2)由A1A2B1B20得a2(a1)0a.2.已知A(4,3),B(2,1)和直线l:4x3y20,在坐标平面内求一点P,使PAPB,且点P到直线l的距离为2.【答案】P的坐标为或【解析】设点P的坐标为(a,b),A(4,3),B(2,1),线段AB的中点M的坐标为(3,2),线段AB的垂直平分线方程为y2
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