专题02 因动点产生的等腰三角形问题-2019届突破中考数学压轴题讲义（原卷版）

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1、【类型综述】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1已知线段

2、 AB5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？2已知线段 AB6 厘米，以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点 C已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC ，BABC ，CACB 三种情况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果ABC

3、的A（的余弦值）是确定的，夹A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法如图 1，如果 ABAC，直接列方程；如图 2，如果 BABC，那么 ；如图1cos2ACB3，如果 CACB，那么 cos2ABC代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来图 1 图 2 图 3 【典例分析】例 1 如图 1，在 RtABC 中，A90，AB6，AC8，点 D 为边 BC 的中点，DE BC 交边 AC于点 E，点 P 为射线 AB

4、 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且PDQ90（1）求 ED、EC 的长；（2）若 BP2，求 CQ 的长；（3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若PDF 为等腰三角形，求 BP 的长图 1 备用图例 2 如图 1，抛物线 yax 2bx c 经过 A(1,0) 、B(3, 0)、C (0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 例

5、 3 如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 1例 4 如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B43yx（ 1） 求点 A 和点 B 的 坐标；（2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA 的 路

6、 线 向 点 A 运 动 ； 同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或 线 段 AO 于 点 Q当 点 P 到 达 点 A 时 ， 点 P 和 直 线 l 都 停 止 运 动 在 运动 过 程 中 ， 设 动 点 P 运 动 的 时 间 为 t 秒 当 t 为何值时，以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由例 5 如图 1，在ABC 中， ACB90 ，BAC 60，点 E 是BAC 的平分线上一点，过点 E 作AE 的

7、垂线，过点 A 作 AB 的垂线，两垂线交于点 D，连接 DB，点 F 是 BD 的中点，DHAC ，垂足为H，连接 EF， HF（1）如图 1，若点 H 是 AC 的中点，AC ，求 AB、BD 的长；23（2）如图 1，求证：HFEF（3）如图 2，连接 CF、CE，猜想：CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由图 1 图 2例 6 如图 1，已知 RtABC 中，C90 ，AC8，BC6，点 P 以每秒 1 个单位的速度从 A 向 C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 ABC 方向运动，它们到 C 点后都停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（1）在运

8、动过程中，求 P、Q 两点间距离的最大值；（2）经过 t 秒的运动，求 ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式；（3）P，Q 两点在运动过程中，是否存在时间 t，使得PQC 为等腰三角形若存在，求出此时的 t值，若不存在，请说明理由 （ ，结果保留一位小数）24.5图 1【变式训练】1 （2017 四川省达州市）已知函数 的图象如图所示，点 P 是 y 轴负半轴上一动点，过点1203xyP 作 y 轴的垂线交图象于 A，B 两点，连接 OA、OB下列结论：若点 M1（x 1，y 1） ，M 2（x 2，y 2）在图象上，且 x1x 2 0，则 y1y 2；当点 P 坐标

9、为（0，3）时，AOB 是等腰三角形；无论点 P 在什么位置，始终有 SAOB =7.5，AP=4BP；当点 P 移动到使AOB =90时，点 A 的坐标为（ ， ） 26其中正确的结论个数为（ ）A1 B2 C3 D42 （2017 浙江省绍兴市）如图，AOB=45，点 M、N 在边 OA 上，OM =x，ON=x+4，点 P 是边 OB 上的点若使点 P、M、N 构成等腰三角形的点 P 恰好有三个，则 x 的值是 3 （2017 四川省南充市）如图 1，已知二次函数 （a、b、c 为常数，a0）的图象过点2yO（0，0）和点 A（4，0） ，函数图象最低点 M 的纵坐标为 ，直线 l 的解

10、析式为 y=x3（1）求二次函数的解析式；（2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l，l 与线段 OA 相交于点 B，与 x 轴下方的抛物线相交于点 C，过点 C 作 CEx 轴于点 E，把BCE 沿直线 l折叠，当点 E 恰好落在抛物线上点 E时（图 2） ，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，l 与 y 轴交于点 N，把BON 绕点 O 逆时针旋转 135得到BON，P 为l上的动点，当PBN为等腰三角形时，求符合条件的点 P 的坐标4.（2017 四川省广安市）如图，已知抛物线 与 y 轴相交于点 A（0，3） ，与 x 正半轴相交2yxbc于点 B，对称轴是直线 x=1（1）

11、求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标（2）动点 M 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，同时动点 N 从点 O 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达 A 点时，M、N 同时停止运动过动点 M 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 Q，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形当 t0 时，BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由5. （2017 四川省眉山市）如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知2yaxbA（3，0） ，且 M（1，

12、 ）是抛物线上另一点83（1）求 a、b 的值；（2）连结 AC，设点 P 是 y 轴上任一点，若以 P、A、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 P 点的坐标；（3）若点 N 是 x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与 O、A 重合） ，过点 N 作 NHAC 交抛物线的对称轴于 H 点设 ON=t，ONH 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式6. （2017 广东省）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点 A，C 的坐标分别是A（0，2）和 C（ ，0） ，点 D 是对角线 AC 上一动点（不与 A，C 重合） ，连结 BD，作 DEDB，交23x

13、 轴于点 E，以线段 DE，DB 为邻边作矩形 BDEF（1）填空：点 B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点 D，使得 DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证： = ；EB3设 AD=x，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（可利用的结论） ，并求出 y 的最小值7. （2017 广西四市）如图，已知抛物线 与坐标轴交于 A，B ，C 三点，其中axay932C（0，3） ，BAC 的平分线 AE 交 y 轴于点 D，交 BC 于点 E，过点 D 的直线 l 与射线 AC，AB 分别交于点 M，N（1）直接写出 a 的值、

14、点 A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点 P 为抛物线的对称轴上一动点，若PAD 为等腰三角形，求出点 P 的坐标；（3）证明：当直线 l 绕点 D 旋转时， 均为定值，并求出该定值ANM18. （2017 重庆市 B 卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两233yx点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，点 E（4，n）在抛物线上（1）求直线 AE 的解析式；（2）点 P 为直线 CE 下方抛物线上的一点，连接 PC，PE当PCE 的面积最大时，连接 CD，CB，点 K是线段 CB 的中点，点 M 是 CP 上的一点，点

15、N 是 CD 上的一点，求 KM+MN+NK 的最小值；（3）点 G 是线段 CE 的中点，将抛物线 沿 x 轴正方向平移得到新抛物线233yxy，y经过点 D，y的顶点为点 F在新抛物线 y的对称轴上，是否存在一点 Q，使得FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由9. （2017 湖南张家界第 23 题）已知抛物线 c1 的顶点为 A（1，4） ，与 y 轴的交点为 D（0，3） （1）求 c1 的解析式；（2）若直线 l1：y =x+m 与 c1 仅有唯一的交点，求 m 的值；（3）若抛物线 c1 关于 y 轴对称的抛物线记作 c2，平行于 x 轴的直线记作 l2：y=n试结合图形回答：当 n为何值时，l 2 与 c1 和 c2 共有：两个交点；三个交点；四个交点；（4）若 c2 与 x 轴正半轴交点记作 B，试在 x 轴上求点 P，使 PAB 为等腰三角形