专题10 几何中的最值与定值问题-2019届突破中考数学压轴题讲义(解析版)
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1、【类型综述】线段和差的最值问题,常见的有两类:第一类问题是“两点之间,线段最短”两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是“两点之间,线段最短” 结合“ 垂线段最短”【方法揭秘】两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”(如图 1) 三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面” (如图 2) 两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是第三边的长如图 3,PA 与 PB 的差
2、的最大值就是 AB,此时点 P 在 AB 的延长线上,即 P解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题图 1 图 2 图 3如图 4,正方形 ABCD 的边 长为 4,AE 平分BAC 交 BC 于 E点 P 在 AE 上,点 Q 在 AB 上,那么BPQ周长的最小值是多少呢?如果把这个问题看作“牛喝水”问题,AE 是河流,但是点 Q 不确定啊第一步,应用“两点之间,线段最短”如图 5,设点 B 关于“河流 AE”的对称点为 F,那么此刻 PFPQ 的最小值是线段 FQ第二步,应用“垂线段最短” 如图 6,在点 Q 运动过程中,FQ 的最小值是垂线段 FH这样,因
3、为点 B 和河流是确定的,所以点 F 是确定的,于是垂线段 FH 也是确定的图 4 图 5 图 6【典例分析】例 1 如图 1,二次函数 ya(x 22mx3m 2)(其中 a、m 是常数,且 a0,m0)的图像与 x 轴分别交于 A、B(点 A 位于点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C(0,3),点 D 在二次函数的图像上,CD/AB,联结AD过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E,AB 平分 DAE(1)用含 m 的式子表示 a;(2)求证: 为定值;DE(3)设该二次函数的图像的顶点为 F探索:在 x 轴的负半轴上是否存在点 G,联结 GF,以线段GF、AD、AE 的长度为
4、三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点 G 即可,并用含 m 的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由图 1思路点拨1不算不知道,一算真奇妙通过二次函数解析式的变形,写出点 A、B、F 的坐标后,点 D 的坐标也可以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的2在计算的过程中,第(1)题的结论 及其变形 反复用到21am21a3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数( 5,3,4) ,因此过点 F 作 AD 的平行线与x 轴的交点,就是要求的点 G满分解答(1)将 C(0,3)代入 ya(x 22mx 3m 2),得33am 2因此 21am所以
5、 am(x3m)1结合 ,于是得到 x4m 21a当 x4m 时,ya(xm)(x 3m)5am 25所以点 E 的坐标为(4m, 5)所以 5ADE图 2 图 3(3)如图 3,由 E(4m, 5)、D(2m ,3)、F(m ,4),可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点,就是符合条件的点 G证明如下:作 FFx 轴于 F,那么 3GAD因此 所以线段 GF、AD 、AE 的长围成一个直角三角形534AEG此时 GF4m所以 GO3m,点 G 的坐标为(3m, 0)考点伸展第(3)题中的点 G 的另一种情况,就是 GF
6、为直角三角形的斜边此时 因此 534AEDF34m所以 此时 (1)Om(,0)例 2 如图 1,已知抛物线的方程 C1: (m0)与 x 轴交于点 B、C,与 y 轴交于点 E,(2)yx且点 B 在点 C 的左侧(1)若抛物线 C1 过点 M(2, 2),求实数 m 的值;(2)在(1)的条件下,求BCE 的面积;(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点 H,使得 BHEH 最小,求出点 H 的坐标;(4)在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C 、F 为顶点的三角形与 BCE 相似?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由图 1思路点拨1第(3)题是典型的
7、“牛喝水”问题,当 H 落在线段 EC 上时,BH EH 最小2第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线 BF,作CBF EBC45 ,或者作 BF/EC再用含m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于 m 的方程满分解答设对称轴与 x 轴的交点为 P,那么 HEOC因此 解得 所以点 H 的坐标为 234HP323(1,)2由 ,得 2BCEF22(4)()m整理,得 016此方程无解图 2 图 3 图 4如图 4,作CBF45交抛物线于 F,过点 F 作 FFx 轴于 F,由于EBC CBF,所以 ,即 时, BCEBFCBEC2BE在 RtBFF中,由 FFBF
8、 ,得 1()xmx解得 x2m所以 F 所以 BF2m2, (2,0) 2()F由 ,得 解得 BCE ()综合 、 ,符合题意的 m 为 考点伸展第(4)题也可以这样求 BF 的长:在求得点 F、F 的坐标后,根据两点间的距离公式求 BF 的长例 3 如图 1,抛物线 yax 2bx c 经过 A(1,0) 、B(3, 0) 、C (0 ,3)三点,直线 l 是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点 P 是直线 l 上的一个动点,当PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标;图 1 思路点拨第(2)题是典型的“牛喝水”问题,点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小满分解答当点
9、 P 落在线段 BC 上时,PAPC 最小, PAC 的周长最小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H由 ,BO CO ,得 PHBH2BHOC所以点 P 的坐标为(1, 2) 图 2考点伸展在直线 l 上是否存在点 M,使 MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由如图 5,当 CMCA 时,CM 2CA 2解方程 1( m3) 210,得 m0 或 6当 M(1, 6)时,M、A、C 三点共线,所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0) 图 3 图 4 图 5例 4 如图 1,已知 A、B 是线段 MN 上的两点, 4MN, 1A, B以 A
10、 为中心顺时针旋转点M,以 B 为中心逆时针旋转点 N,使 M、N 两点重合成一点 C,构成 ABC,设 x(1)求 x 的取值范围;(2)若ABC 为直角三角形,求 x 的值;(3)探究:ABC 的最大面积?图 1思路点拨1根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组,可以求得 x 的取值范围2分类讨论直角三角形 ABC,根据勾股定理列方程,根据根的情况确定直角三角形的存在性3把ABC 的面积 S 的问题,转化为 S2 的问题AB 边上的高 CD 要根据位置关系分类讨论,分 CD 在三角形内部和外部两种情况满分解答(1)在ABC 中, , , ,所以 解得 1AC
11、xBxC3.31,x21x边平方,得 整理,得 两边平方,得222 1)3( hxhx 4312xhx整理,得16491(2hx 648x所以 ( ) 2xxS 2)3(当 时(满足 ) , 取最大值 ,从而 S 取最大值 23 2S12图 2 图 3如图 3,若点 D 在线段 MA 上,则 xhx221)3(同理可得, ( ) 462412xhS 43易知此时 综合得, ABC 的最大面积为 2考点伸展第(3)题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以避免烦琐的运算:设 ,aAD例如在图 2 中,由 列方程 22BDCA 222)()3(1xa整理,得 所以xa421a22164843xx因此46)
12、1(4222 aS例 5 如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 yax 22ax 3a(a0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B的左侧) ,经过点 A 的直线 l:ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为 D,且CD4AC(1)直接写出点 A 的坐标,并求直线 l 的函数表达式(其中 k、b 用含 a 的式子表示) ;(2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点,若ACE 的面积的最大值为 ,求 a 的值;54(3)设 P 是抛物线的对称轴上的一点,点 Q 在抛物线上,以点 A、D 、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点 P 的坐标;若不能,请说明
13、 理由图 1 备用图思路点拨1过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F,那么 AEF 与 CEF 是共底的两个三角形2以 AD 为分类标准讨论矩形,当 AD 为边时,AD 与 QP 平行且相等,对角线 APQD;当 AD 为对角线时,AD 与 PQ 互相平分且相等满分解答(1)由 yax 22ax 3aa (x1)( x3) ,得 A(1, 0) 由 CD4AC,得 xD4所以 D(4, 5a)由 A(1, 0) 、D(4, 5a),得直线 l 的函数表达式为 yaxa由 yDy Ay P yQ,得 yP26a所以 P(1, 26a)由 AP2QD 2,得 22(26 a)28 2(16a)
14、 2整理,得 7a21所以 此时 P 767(1),如图 3,如果 AD 为矩形的对角线,那么 AD 与 PQ 互相平分且相等由 xDx Ax P xQ,得 xQ2所以 Q(2,3a)由 yDy Ay P yQ,得 yP8a所以 P(1, 8a)由 AD2PQ 2,得 52(5 a)21 2(11a) 2整理,得 4a21所以 此时 P (14),图 1 图 2 图 3考点伸展第(3)题也可以这样解设 P(1,n)如图 2,当 AD 时矩形的边时,QPD 90 ,所以 ,即 AMDNP53an解得 所以 P 所以 Q 5an235(1,)a3(4,)a将 Q 代入 ya(x 1)(x 3) ,
15、得 所以 3(4,)17如图 3,当 AD 为矩形的对角线时,先求得 Q(2,3a)由AQD 90,得 ,即 解得 AGQKD2512【变式训练】1 (2017 年山东省泰安市第 20 题)如图,在 ABC中, 90, 1ABcm, 8Cc,点P从点 A沿 C向点 以 1/cms的速度运动,同时点 Q从点 沿 向点 以 2/s的速度运动(点Q运动到点 B停止),在运动过程中,四边形 P的面积最小值为( )A 219cm B 216 C. 215m D 21 【答案】C【解析】PABQ 的面积取最小值,最小值为 15故选:C考点:二次函数的最值2 (2017 年湖北省宜昌市第 23 题) 正方形
16、 ABCD的边长为 1,点 O是 BC边上的一个动点(与 ,BC不重合),以 O为顶点在 BC所在直线的上方作 90MON.(1)当 M经过点 A时,请直接填空: N (可能,不可能)过 D点;(图 1 仅供分析)如图 2,在 上截取 E,过 点作 EF垂直于直线 BC,垂足为点 F,册 EHCD于 ,求证:四边形 EFCH为正方形.(2)当 OM不过点 A时,设 OM交边 AB于 G,且 1O.在 N上存在点 P,过 点作 K垂直于直 线 BC,垂足为点 K,使得 4PKBGS,连接 P,求四边形 KB的最大面积.【答案】 (1)不可能 证明见解析( 2) 94【解析】求得四边形 PKBG
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