专题02 因动点产生的等腰三角形问题-2019届突破中考数学压轴题讲义（解析版）

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1、【类型综述】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1已知线段

2、 AB5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？2已知线段 AB6 厘米，以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点 C已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC ，BABC ，CACB 三种情况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果ABC

3、的A（的余弦值）是确定的，夹A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法如图 1，如果 ABAC，直接列方程；如图 2，如果 BABC，那么 ；如图1cos2ACB3，如果 CACB，那么 cos2ABC代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来图 1 图 2 图 3 【典例分析】例 1 如图 1，在 RtABC 中，A90，AB6，AC8，点 D 为边 BC 的中点，DE BC 交边 AC于点 E，点 P 为射线 AB

4、 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且PDQ90（1）求 ED、EC 的长；（2）若 BP2，求 CQ 的长；（3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若PDF 为等腰三角形，求 BP 的长图 1 备用图思路点拨1第（2）题 BP2 分两种情况2解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系3第（3）题探求等腰三角形 PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形 CDQ满分解答图 2 图 3 图 4如图 3，当 BP2，P 在 BM 上时，PM1此时 所以 4QNM194CQN如图 4，当 BP2，P 在 MB 的延长线上时，PM5此时 所以

5、31534如图 6，当 QCQD 时，由 ，可得 cosCHQ5428所以 QNCNCQ （如图 2 所示） 25748此时 所以 36PMQN72536BPM不存在 DPDF 的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图 5，图 6 所示） 图 5 图 6考点伸展如图 6，当CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP 也是等腰三角形，PB PD在 BDP 中可以直接求解 学科网256BP例 2 如图 1，抛物线 yax 2bx c 经过 A(1,0) 、B(3, 0)、C (0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动

6、点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答所以点 P 的坐标为(1, 2) 图 2（3）点 M 的坐标为(1, 1) 、(1, )、(1, )或(1,0)6考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点 M 的坐标为(1,m) 在MAC 中，AC 210，MC 21( m3) 2，MA 24m 2如图 3，当 MAMC

7、 时，MA 2MC 2解方程 4m 21( m3) 2，得 m1此时点 M 的坐标为(1, 1) 如图 4，当 AMAC 时，AM 2AC 2解方程 4m 210，得 6此时点 M 的坐标为(1, )或 (1, )6如图 5，当 CMCA 时，CM 2CA 2解方程 1(m3) 210，得 m0 或 6当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0) 图 3 图 4 图 5例 3 如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此

8、抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起满分解答（3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y)当 OPOB 4 时，OP 216所以 4+y216解得 23当 P 在 时，B、O、P 三点共线（如图 2） (2,)当 BPBO 4 时，BP 216所以 解得 4()16y123y当 PBPO 时，PB 2PO 2

9、所以 解得 2223综合、，点 P 的坐标为 ，如图 2 所示(,)图 2 图 3考点伸展如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么DOA 与OAB 是两个相似的等腰三角形由 ，得抛物线的顶点为 23(4)()66yxx23(,)D因此 所以DOA 30，ODA120 2tanDOA例 4 如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B43yx（ 1） 求点 A 和点 B 的 坐标；（2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA 的 路 线 向 点 A 运 动 ；

10、同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或 线 段 AO 于 点 Q当 点 P 到 达 点 A 时 ， 点 P 和 直 线 l 都 停 止 运 动 在 运动 过 程 中 ， 设 动 点 P 运 动 的 时 间 为 t 秒 当 t 为何值时，以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由思路点拨1把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR 的面积等于 8，按照点 P 的位置分两种情况讨论事实上，P 在 CA 上运动

11、时，高是定值4，最大面积为 6，因此不存在面积为 8 的可能3讨论等腰三角形 APQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点 P 的每一种位置又要讨论三种情况满分解答图 2 图 3 图 4我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0t4如图 1，在AOB 中，B 45，AOB 45，OB 7， ，所以 OBAB因此2ABOABAOBB如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OPBRRQ ，所以 PQ/x 轴因此AQP45保持不变，PAQ 越来越大，所以只存在APQAQP 的情况此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上， OR2CA 6所以 BR1，t1我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情

12、形，4t7在APQ 中， 为定值， ， 3cos57APt5203QOARt如图 5，当 APAQ 时，解方程 ，得 203t418如图 6，当 QPQA 时，点 Q 在 PA 的垂直平分线上，AP2(OR OP)解方程，得 72()4tt5t图 5 图 6 图 7考点伸展当 P 在 CA 上，QPQA 时，也可以用 来求解学科网2cosAPQ例 5 如图 1，在ABC 中， ACB90 ，BAC 60，点 E 是BAC 的平分线上一点，过点 E 作AE 的垂线，过点 A 作 AB 的垂线，两垂线交于点 D，连接 DB，点 F 是 BD 的中点，DHAC ，垂足为H，连接 EF， HF（1）如

13、图 1，若点 H 是 AC 的中点，AC ，求 AB、BD 的长；23（2）如图 1，求证：HFEF（3）如图 2，连接 CF、CE，猜想：CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由图 1 图 2思路点拨1把图形中所有 30的角都标注出来，便于寻找等角和等边2中点 F 有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了满分解答图 3 图 4 图 5（3）如图 5，作 FMAB 于 M，联结 CM由 FM/DA，F 是 DB 的中点，得 M 是 AB 的中点因此 FM ，ACM 是等边三角形12AD又因为 AE ，所以 FMEA又因为 CMCA，CMFCAE 30，所以

14、CMFCAE 所以MCFACE，CFCE 所以ECFACM60所以CEF 是等边三角形考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉如图 6，如图 7，当点 F 落在 BC 边上时，点 H 与点 C 重合图 6 图 7如图 8，图 9，点 E 落在 BC 边上如图 10，图 11，等腰梯形 ABEC图 8 图 9 图 10 图 11例 6 如图 1，已知 RtABC 中，C90 ，AC8，BC6，点 P 以每秒 1 个单位的速度从 A 向 C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 ABC 方向运动，它们到 C 点后都停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（1）在运动

15、过程中，求 P、Q 两点间距离的最大值；（2）经过 t 秒的运动，求 ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式；（3）P，Q 两点在运动过程中，是否存在时间 t，使得PQC 为等腰三角形若存在，求出此时的 t值，若不存在，请说明理由 （ ，结果保留一位小数）24.5图 1思路点拨1过点 B 作 QP 的平行线交 AC 于 D，那么 BD 的长就是 PQ 的最大值2线段 PQ 扫过的面积 S 要分两种情况讨论，点 Q 分别在 AB、BC 上3等腰三角形 PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长满分解答图 2 图 3 图 4（2）如图 2，当点 Q 在 AB 上时，0t5，S A

16、BD 15由AQPABD，得 所以 SS AQP 2()APBD 215()t3如图 3，当点 Q 在 BC 上时，5t8，S ABC 24因为 SCQP ，12C(162)t2(8)t所以 SS ABC S CQP 24 (t8) 2t 216t40（3）如图3，当点Q在BC上时，CQ2CP ，C 90，所以 PQC不可能成为等腰三角形当点Q在AB上时，我们先用 t表示PQC的三边长：易知CP8t如图2，由QP/BD，得 ，即 所以 QPABD53t35QPt如图4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQ sinA ，AH 6t8t在RtCQH中，由勾股定理，得CQ 2HC22()5tt图5

17、 图6 图7考点伸展第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：如图8，当点Q在AB上时， PQ 2QHP2268()5tt35t当Q与B重合时，PQ最大，此时t 5，PQ 的最大值为 3如图9，当点Q在BC上时，PQ 2C2()CP5(8)t当Q与B重合时，PQ最大，此时t 5，PQ 的最大值为 5综上所述，PQ的最大值为 3图 8 图 9【变式训练】1 （2017 四川省达州市）已知函数 的图象如图所示，点 P 是 y 轴负半轴上一动点，过点1203xyP 作 y 轴的垂线交图象于 A，B 两点，连接 OA、OB下列结论：若点 M1（x 1，y 1） ，M 2（x 2，

18、y 2）在图象上，且 x1x 2 0，则 y1y 2；当点 P 坐标为（0，3）时，AOB 是等腰三角形；无论点 P 在什么位置，始终有 SAOB =7.5，AP=4BP；当点 P 移动到使AOB =90时，点 A 的坐标为（ ， ） 26其中正确的结论个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C正确设 P（0，m） ，则 B（ ，m） ，A（ ，m ） ， PB= ，PA= ，PA=4PB，S AOB=S312312mOPB+SOPA = =7.5，故 正确312正确设 P（0，m） ，则 B（ ，m） ，A（ ，m ） ，312PB= ，PA= ，OP=m，AOB =90，OPB =OPA

19、 =90，BOP+AOP=90，AOP+OPA=90，BOP=OAP，OPBAPO， ，OP 2=PBPA，m 2= （ ） ，m 4=36，m0，m= ，A（OPBA3126， ） ，故正确，正确，故选 C26考点：1反比例函数综合题；2综合题学科网2 （2017 浙江省绍兴市）如图，AOB=45，点 M、N 在边 OA 上，OM =x，ON=x+4，点 P 是边 OB 上的点若使点 P、M、N 构成等腰三角形的点 P 恰好有三个，则 x 的值是 【答案】x=0 或 x= 或 4242x当 0x4 时，如下图，圆 N 与 OB 相切时，NP 2=MN=4，且 NP2OB，此时 MP3=4，则

20、 OM=ON-MN= NP2-4= 当 MD=MN=4 时，圆 M 与 OB 只有一个交点，此时 OM= MD= ，故 4x 22与 OB 有两个交点 P2 和 P3，故答案为：x=0 或 x= 或 4x 22考点：1相交两圆的性质；2分类讨论；3综合题3 （2017 四川省南充市）如图 1，已知二次函数 （a、b、c 为常数，a0）的图象过点2yO（0，0）和点 A（4，0） ，函数图象最低点 M 的纵坐标为 ，直线 l 的解析式为 y=x3（1）求二次函数的解析式；（2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l，l 与线段 OA 相交于点 B，与 x 轴下方的抛物线相交于点 C，过点 C

21、作 CEx 轴于点 E，把BCE 沿直线 l折叠，当点 E 恰好落在抛物线上点 E时（图 2） ，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，l 与 y 轴交于点 N，把BON 绕点 O 逆时针旋转 135得到BON，P 为l上的动点，当PBN为等腰三角形时，求符合条件的点 P 的坐标【答案】 （1） ；（2）y=x3；（3）P 坐标为（0，3）或（ ，83y 32）或（ ， ） 322（3）分两种情形求解即可当 P1 与 N 重合时，P 1BN是等腰三角形，此时 P1（0，3） 当N=NB 时，设 P（m，m3） ，列出方程解方程即可；试题解析：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2， ） ，设抛

22、物线的解析式为 ，把32()yax（0，0）代入得到 a= ，抛物线的解析式为 ，即 232()3yx283yx（2）如图 1 中，设 E（m，0 ） ，则 C（m ， ） ，B（ ，0） ，2821mE在抛物线上，E、B 关于对称轴对称， =2，解得 m=1 或 6（舍弃） ，21()3mB（3，0） ，C（1，2） ， 直线 l的解析式为 y=x3考点：1二次函数综合题；2几何变换综合题；3分类讨论；4压轴题学科网4.（2017 四川省广安市）如图，已知抛物线 与 y 轴相交于点 A（0，3） ，与 x 正半轴相交2yxbc于点 B，对称轴是直线 x=1（1）求此抛物线的解析式以及点 B

23、的坐标（2）动点 M 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，同时动点 N 从点 O 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达 A 点时，M、N 同时停止运动过动点 M 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 Q，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形当 t0 时，BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由【答案】 （1） ，B 点坐标为（3，0） ；（2）；2yx【解析】试题分析：（1）由对称轴公式可求得 b，由 A 点坐标可求得 c，则可求得抛物线解析式；再令 y=0 可

24、求得B 点坐标；（2）用 t 可表示出 ON 和 OM，则可表示出 P 点坐标，即可表示出 PM 的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值；由题意可知 OB=OA，故当BOQ 为等腰三角形时，只能有 OB=BQ 或 OQ=BQ，用 t 可表示出 Q 点的坐标，则可表示出 OQ 和 BQ 的长，分别得到关于 t 的方程，可求得 t 的值A（0，3） ，B（3，0） ，OA=OB =3，且可求得直线 AB 解析式为 y=x+3，当 t0 时，OQOB ，当 BOQ 为等腰三角形时，有 OB=QB 或 OQ=BQ 两种情况，由题意可知OM=2t， Q（ 2t，2t+

25、3） ，OQ= = ，BQ = =22()tt2819t22(3)()tt|2t3|，又由题意可知 0t 1，当 OB=QB 时，则有 |2t3|=3，解得 t= （舍去）或 t=64；64当 OQ=BQ 时，则有 = |2t3|，解得 t= ；2819t34综上可知当 t 的值为 或 时，BOQ 为等腰三角形634考点：1二次函数综合题；2动点型；3分类讨论；4压轴题5. （2017 四川省眉山市）如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知2yaxbA（3，0） ，且 M（1， ）是抛物线上另一点83（1）求 a、b 的值；（2）连结 AC，设点 P 是 y 轴

26、上任一点，若以 P、A、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 P 点的坐标；（3）若点 N 是 x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与 O、A 重合） ，过点 N 作 NHAC 交抛物线的对称轴于 H 点设 ON=t，ONH 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式【答案】 （1） ；（2）P 点的坐标 1（0，2）或（0， ）或（0， ）或（0， ） ；34ab 13254132（3） 2(01)31ttS（3）过 H 作 HGOA 于 G，设 HN 交 Y 轴于 M，根据平行线分线段成比例定理得到 OM= ，求得抛物23t线的对称轴为直线 x= = ，得到 OG= ，求得 GN=

27、t ，根据相似三角形的性质得到 HG=15230130130，于是得到结论2135t试题解析：（1）把 A（3，0） ，且 M（1， ）代入 得： ，解得：832yaxb93208ab；234ab（2）在 中，当 x=0 时y=2，C （0，2） ，OC=2，如图，设 P（0，m） ，则2yaxbPC=m+2，OA=3，AC= = ，分三种情况：231当 PA=CA 时，则 OP1=OC=2，P 1（0，2） ；当 PC=CA= 时，即 m+2= ，m= 2，P 2（0， 2） ；313当 PC=PA 时，点 P 在 AC 的垂直平分线上，则AOCP3EC， ，P 3C= ，m= ，P 3（0

28、， ） ，当 PC=CA= 时，31214554m=2 ，P 4（0， 2 ） ，综上所述，P 点的坐标 1（0，2）或（0， ）或（0， ）13254或（0， ） ；13（3）过 H 作 HGOA 于 G，设 HN 交 Y 轴于M，NHAC， ， ，OM= ，抛物线的对称轴为直线 x= ONCA23Mt2t 1523= ，OG= ，GN=t ，GHOC，NGHNOM， ，即 ，13010HGNOM10tHG= ，S= ONGH= t（ t ）= t2 t（0t3） 2315t 21(01)33ttS考点：二次函数综合题学科网6. （2017 广东省）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边

29、形 ABCO 是矩形，点 A，C 的坐标分别是A（0，2）和 C（ ，0） ，点 D 是对角线 AC 上一动点（不与 A，C 重合） ，连结 BD，作 DEDB，交23x 轴于点 E，以线段 DE，DB 为邻边作矩形 BDEF（1）填空：点 B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点 D，使得 DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证： = ；EB3设 AD=x，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（可利用的结论） ，并求出 y 的最小值【答案】 （1） （ ，2） ；（2）AD 的值为 2 或 ；（3）证明见解析；3 ，当 x=

30、3 时，y 有最小值 4yx（3）由（2）可知，B、D 、E、C 四点共圆，推出DBC=DCE=30，由此即可解决问题；作 DHAB 于 H想办法用 x 表示 BD、DE 的长，构建二次函数即可解决问题；试题解析：（1）四边形 AOCB 是矩形，BC=OA =2，OC=AB= ，BCO=BAO=90，B（3，2） 3故答案为：（ ，2） （2）存在理由如下：连接 BE，取 BE 的中点 K，连接 DK、KCBDE=BCE=90，KD=KB =KE=KC，B、D 、E 、C 四点共圆，DBC=DCE，EDC=EBC，tanACO= = ，ACO=30，ACB=60AO3（3）由（2）可知，B、D

31、 、E、C 四点共圆，DBC=DCE=30，tanDBE= ， = B3如图 2 中，作 DHAB 于 H在 Rt ADH 中，AD=x，DAH=ACO=30，DH= AD= x，AH= = ，122ADH3xBH= ，在 RtBDH 中，BD = = ，322BHD23()xDE= BD= ，矩形 BDEF 的面积为 y= 32213()xx3= ，即 ，2213()xx2(61)x2343yx ，2()3y 0，当 x=3 时，y 有最小值 3考点：1相似形综合题；2最值问题；3二次函数的最值；4动点型；5存在型；6分类讨论；7压轴题7. （2017 广西四市）如图，已知抛物线 与坐标轴交

32、于 A，B ，C 三点，其中axay932C（0，3） ，BAC 的平分线 AE 交 y 轴于点 D，交 BC 于点 E，过点 D 的直线 l 与射线 AC，AB 分别交于点 M，N（1）直接写出 a 的值、点 A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点 P 为抛物线的对称轴上一动点，若PAD 为等腰三角形，求出点 P 的坐标；（3）证明：当直线 l 绕点 D 旋转时， 均为定值，并求出该定值ANM1【答案】 （1）a= ，A（ ，0） ，抛物线的对称轴为 x= ；（2）点 P 的坐标为（ ，2）或（333，0）或（ ，4） ；（3） 32试题解析：（1）C（0，3） ，9a=3，解得：a= 13令

33、 y=0 得： ，a0， ，解得：x= 或 x= ，点 A 的2ax290x3坐标为（ ，0） ，B（ ，0） ，抛物线的对称轴为 x= 33（2）OA= ，OC=3， tanCAO= ，CAO=60AE 为BAC 的平分线，DAO =30，DO= AO=1，点 D 的坐标为（0，1） 3设点 P 的坐标为（ ，a） 3依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a2，DP 2=3+（a1） 2当 AD=PA 时，4=12+a 2，方程无解当 AD=DP 时，4=3+（a1） 2，解得 a=2 或 a=0，点 P 的坐标为（ ，2）或（ ，0） 33当 AP=DP 时，12+a 2

34、=3+（a1） 2，解得 a=4，点 P 的坐标为（ ，4） 综上所述，点 P 的坐标为（ ，2）或（ ，0）或（ ，4） 3MAG=60，AGM =90，AM=2AG = = ，423k2k = = = = ANM1321kk3(1)考点：1二次函数综合题；2旋转的性质；3定值问题；4动点型；5分类讨论；6压轴题8. （2017 重庆市 B 卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两233yx点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，点 E（4，n）在抛物线上（1）求直线 AE 的解析式；（2）点 P 为直线 CE 下方抛物线上

35、的一点，连接 PC，PE当PCE 的面积最大时，连接 CD，CB，点 K是线段 CB 的中点，点 M 是 CP 上的一点，点 N 是 CD 上的一点，求 KM+MN+NK 的最小值；（3）点 G 是线段 CE 的中点，将抛物线 沿 x 轴正方向平移得到新抛物线233yxy，y经过点 D，y的顶点为点 F在新抛物线 y的对称轴上，是否存在一点 Q，使得FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2）3；（3）Q 的坐标为（3， ）或（3， ）或yx4214213（3， ）或（3， ） 25（2）设直线 CE 的解析式为 y=mx ，将点 E 的

36、坐标代入求得 m 的值，从而得到直线 CE 的解析式，3过点 P 作 PF y 轴，交 CE 与点 F设点 P 的坐标为（x， ） ，则点 F（x，233x） ，则 FP= 由三角形的面积公式得到EPC 的面积= ，23x234x 283利用二次函数的性质可求得 x 的值，从而得到点 P 的坐标，作点 K 关于 CD 和 CP 的对称点 G、H，连接G、H 交 CD 和 CP 与 N、M然后利用轴对称的性质可得到点 G 和点 H 的坐标，当点 O、N、M、H 在条直线上时，KM+MN+NK 有最小值，最小值=GH；（2）设直线 CE 的解析式为 y=mx ，将点 E 的坐标代入得：4m = ，解得：m= ，直33523线 CE 的解析式为 2x过点 P 作 PF y 轴，交 CE 与点 F