专题11 几何图形的三大变换问题-2019届突破中考数学压轴题讲义(解析版)
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1、【类型综述】本节内容每年中考都会选择一种变换作为压轴题的背景素材,可以对函数图象进行平移,可以对几何图形进行平移、旋转,考查学生的数学综合应用能力在选择、填空中也会涉及变换的概念和简单应用只要抓住全等变换的特点,找到变与不变的量就可以解决问题预计在 2018 年中考中仍会在压轴部分渗透变换,但是会有新情境的渗透【方法揭秘】1.平移的性质(1)平移前后,对应线段平行、对应角相等;(2)各对应点所连接的线段平行(或在同一直线上)或相等;(3)平移前后的图形全等,注意:平移不改变图形的形状和大小.平移的作图步骤:(1)根据题意,确定平移方向和平移距离;(2)找出原图形的关键点;(3)按平移方向和平移
2、距离、平移各个关键点,得到各关键点的对应点;(4)按原图形依次连接对应点,得到平移后的图形2.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前后的图形全等.旋转的作图步骤:(1)根据题意,确定旋转中心、旋转方向及旋转角度;(2)找出原图形的关键点;(3)连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角度将它们旋转,得到各关键点的对应点;(4)按原图形依次连接对应点,得到旋转后的图形3.中心对称的性质:在成中心对称的两个图形中,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分_成中心对称的两个图形全等.中心对称的作图步骤:(1)找出图形的关键点
3、;(2)作出关键点关于对称中心的对称点;(3)按原图形依次连接得到的各关键点的对称点【典例分析】例 1 如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,AD=12,将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线 l 上进行两次旋转,则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( ).A. B. 13C. 25 D. 25思路点拨连接 BD,BD,首先根据勾股定理计算出 BD 长,再根据弧长计算公式计算出 ,的长,然后再求和计算出点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长即可.满分解答考点伸展图形经历多次旋转时,要关注每次旋转的旋转中心,旋转角,否则易于出错. 此题主要考查了弧长计算,以及勾股定理的应用,关键是掌握弧长
4、计算公式 学科#网例 2 如图,在 RtABC 中,B=90,AB=3,BC=4,将 ABC 折叠,使点 B 恰好落在边 AC 上,与点 B重合,AE 为折痕,则 EB= . 思路点拨首先根据折叠可得 BE=EB,AB=AB=3,然后设 BE=EB=x,则 EC=4-x,在 RtABC 中,由勾股定理求得 AC 的值,再在 RtBEC 中,由勾股定理可得方程 x2+22=(4-x)2,再解方程即可算出答案.考点伸展图形的翻折类问题,要注意翻折前后的两个图形全等,相对应的对应边和对应角都相等.解决此类问题,注意抓住题中的不变量,以不变应万变,同时注意方程思想的应用.例 3 如图, 是边长为 的等
5、边三角形,边 在射线 上,且 ,点 从点 出发,ABC4cmABOM6AcmDO沿 的方向以 的速度运动,当 不与点 重合是,将 绕点 逆时针方向旋转 得到OM1/sDCD06,连接 .ED(1)求证: 是等边三角形;CDE(2)当 时,的 周长是否存在最小值?若存在,求出 的最小周长;610tBBDE若不存在,请说明理由.(3)当点 在射线 上运动时,是否存在以 为顶点的三角形是直角三角形?DOM,DEB若存在,求出此时 的值;若不存在,请说明理由.t思路点拨(1)由旋转的性质得到DCE=60,DC=EC,即可得到结论;( 2)当 6t 10 时,由旋转的性质得到BE=AD,于是得到 CDB
6、E=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到 DE=CD,由垂线段最短得到当 CDAB 时,BDE 的周长最小,于是得到结论;( 3)存在,当点 D 与点 B 重合时,D,B,E 不能构成三角形,当 0t6 时,由旋转的性质得到ABE=60,BDE60,求得BED=90,根据等边三角形的性质得到DEB=60,求得CEB=30 ,求得 OD=OADA=64=2,于是得到 t=21=2s;当 6t10s 时,此时不存在;当 t10s 时,由旋转的性质得到DBE=60,求得BDE60,于是得到 t=141=14sC DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知,
7、CDE 是等边三角形,DE=CD,C DBE=CD+4,由垂线段最短可知,当 CDAB 时,BDE 的周长最小,此时,CD=2 cm,3BDE 的最小周长=CD+4=2 +4;3当 6t10s 时,由DBE=12090,此时不存在;当 t10s 时,由旋转的性质可知, DBE=60 ,又由(1)知CDE=60,BDE=CDE+BDC=60+BDC,而BDC0,BDE60,例 4 如图,已知抛物线的对称轴是 y 轴,且点(2,2) , (1, )在抛物线上,点 P 是抛物线上不与顶点54N 重合的一动点,过 P 作 PAx 轴于 A,PCy 轴于 C,延长 PC 交抛物线于 E,设 M 是 O
8、关于抛物线顶点 N 的对称点,D 是 C 点关于 N 的对称点(1)求抛物线的解析式及顶点 N 的坐标;(2)求证:四边形 PMDA 是平行四边形;(3)求证:DPE PAM,并求出当它们的相似比为 时的点 P 的坐标3思路点拨(1)由已知点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式,可求得其顶点 N 的坐标;(2)设 P 点横坐标为 t,则可表示出 C、D 、M、A 的坐标,从而可表示出 PA 和 DM 的长,由 PA=DM 可证得结论;(3)设 P 点横坐标为 t,在 RtPCM 中,可表示出 PM,可求得 PM=PA,可知四边形 PMDA 为菱形,由菱形的性质和抛物线的对称性可得PDE=
9、APM,可证得结论,在 RtAOM 中,用 t 表示出 AM 的长,再表示出 PE 的长,由相似比为 可得到关于 t 的方程,可求得 t 的值,可求得 P 点坐标3(3)解:同(2)设 P(t, ) ,则 C(0, ) ,PA = ,PC=|t| ,M (0,2) ,CM=214214t214t2= ,在 RtPMC 中,由勾股定理可得 PM= = =14t2t 2PC21()4t= =PA,且四边形 PMDA 为平行四边形,四边形 PMDA 为菱形,2()t 214tAPM =ADM=2 PDM , PE y 轴,且抛物线对称轴为 y 轴,DP=DE ,且PDE=2PDM,PDE=APM,且
10、 , DPEPAM;OA=|t |,OM=2,AM =PDEAM,且 PE=2PC=2|t|,当相似比为 时,则 = ,即 = ,解得 t= 或24t3324t323t= ,P 点坐标为( ,4)或( ,4) 322例 5 如图,抛物线 l:y= (x h) 22 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,将抛物线 在 x 轴下方部分沿轴翻折,x 轴上方的图象保持不变,就组成了函数 的图象(1)若点 A 的坐标为(1, 0) 求抛物线 l 的表达式,并直接写出当 x 为何值时,函数 的值 y 随 x 的增大而增大;如图 2,若过 A 点的直线交函数 的图象于另外两点 P,Q,
11、且 SABQ=2SABP,求点 P 的坐标;(2)当 2x3 时,若函数 f 的值随 x 的增大而增大,直接写出 h 的取值范围思路点拨(1)利用待定系数法求抛物线的解析式,由对称性求点 B 的坐标,根据图象写出函数 的值 y 随 x 的增大而增大(即呈上升趋势)的 x 的取值;如图 2,作辅助线,构建对称点 F 和直角角三角形 AQE,根据 SABQ=2SABP,得 QE=2PD,证明PAD QAE,则 ,得 AE=2AD,设 AD=a,根据 QE=2FD 列方程可求得 a 的值,并计算 P 的坐标;(2)先令 y=0 求抛物线与 x 轴的两个交点坐标,根据图象中呈上升趋势的部分,有两部分:
12、分别讨论,并列不等式或不等式组可得 h 的取值如图 2,作 PDx 轴于点 D,延长 PD 交抛物线 l 于点 F,作 QEx 轴于 E,则 PDQE,由对称性得:DF=PD,S ABQ=2SABP, ABQE=2 ABPD,QE=2PD ,PDQE,PAD QAE, ,AE=2AD,设 AD=a,则 OD=1+a,OE=1+2a ,P(1+a, (1+a 3) 22) ,点 F、Q 在抛物线 l 上,PD=DF= (1+a 3) 22,QE= (1+2a3) 22, (1+2a3) 22=2 (1+a3) 22,解得:a= 或 a=0(舍) , P( , ) ;综上所述,当 3h4 或 h0
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